Cálculo de area de la figura

Se debe calcular el área sombreada de la siguiente figura,
considerando que el lado del cuadrado “abcd” mide 8 cm:
8 cm
a
b c
d
1Sergio Migliorisi - sdmigliorisi@gmail.com

Para esto debemos
averiguar el radio “r”.
A
C
B
a
b c
d
Sabemos que el
circulo “A” tiene 3
tangentes, las
llamaremos 1, 2 y 3.
2
-
- 3
- 1
r
Cálculo el área de la figura (A):
2
Sergio Migliorisi - sdmigliorisi@gmail.com

Primero, calculamos el valor
de la diagonal, que a su vez,
es la hipotenusa del
triángulo “bcd”:
C
B
a
b c
d
Aplicando Pitágoras:
A
(bd)2 = (bc)2 + (cd)2
bd = (bc)2 + (cd)2
bd = (8cm)2 + (8cm)2
bd = 11,314 cm
3

Ahora que sabemos cuanto
vale la diagonal “bd”,
podemos saber la distancia
entre “b-1” :
C
B
a
b c
d
- 1
A
bd = 2.b1
bd = b1
2
11,314 cm = b1
2
b1 = 5,657 cm
4

Podemos ver que la
distancia del vértice
“b” a la tg 1, es igual a
la distancia entre el
mismo punto y la tg 2.
C
B
a
b c
d
2
-
- 1
A
b1 = b2 = 5,657 cm
b1 = b2
b1
b2
5

c2 = 2,34 cm
Dado que:
b1 = b2
bc = 8 cm ; b2 = 5,66 cm
y c2 = bc – b2
C
B
a
b c
d
2
- 1
A
b2 c2
bc
b1
siendo:
c2 = 8 cm – 5,66 cm
resolvemos:
6

AA = 17,246 cm2
Podemos ver que:
c2 = r
AA = π. r2
C
B
a
b c
d
2
A Entonces calculamos el
área del circulo A:
c2
r
AA = 3,14. (2,34 cm)2
7

C
B
A
A’
Ahora calcularemos el área
de la figura B, o sea AB.
( Siendo: AA’ = AA )
Interpretemos que B es un
cuadrado menos ¼ del
circulo A’.
Primero debemos hallar el
área de ese cuadrado A
y después restarle ¼ del
área de A’:
AB = A – ¼ AA’
¼ A’
Cálculo el área de la figura (B):
AA = 17,25 cm2 8

Podemos ver que la figura
B tiene una base b y una
altura h.
C
B
A
r
r = b = h
A’
r
r
AA = 17,25 cm2
Y que cada una de ellas es
igual al radio del circulo A’ y
de mismo valor que el radio
del circulo A:
9
h
b

Calculando el área del
cuadrado:
C
B
A
A’
¼ A’
AB = 5,47 cm2 – ¼ . 17,246 cm2
Entonces:
AB = 1,16 cm2
h
b
A = b . h
A = 2,34 cm . 2,34 cm
A = 5,47 cm2
AB = A – ¼ AA’
AA = 17,25 cm2 10

Cálculo el área de la figura (C):
Para calcular el área de la
figura C, debemos conocer
el área del triángulo “abd”
C
B
A
Entonces:
a
b c
d
A = ( b . h ) / 2
A = ( 8 cm . 8 cm ) / 2
A = 32 cm2
A = 32 cm2
AB = 1,16 cm2AA = 17,25 cm2 11

C
B
A
a
b c
d
Ahora, utilizaremos los
datos que ya tenemos de
las áreas de cada figura.
Teniendo el área del
triángulo “abd”, A :
AB = 1,16 cm2AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 12

C
B
A
a
b c
d
Le restamos el área del
circulo AA :
AB = 1,16 cm2AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 13

C
B
A
a
b c
d
Le restamos el área del
circulo AA :
Después le restamos el área
de la figura AB :
AB = 1,16 cm2AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 14

Podemos ver que nos
quedan 2 figuras iguales, de
las cuales solo necesitamos
saber el área de una de
ellas.
C
B
A
a
b c
d
Entonces dividiremos por 2
y así obtendremos el área
de C.
AB = 1,16 cm2AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 15

Algebraicamente:
C
B
A
a
b c
d
AC = A - AA - AB
2
Reemplazando:
AC = 32 cm2 - 17,25 cm2 – 1,16 cm2
2
AC = 6,795 cm2
AB = 1,16 cm2AA = 17,25 cm2 A = 32 cm2 16

Finalmente sumamos las
áreas que nos interesan:
C
B
A
a
b c
d
AB = 1,16 cm2
AA = 17,25 cm2
AC = 6,8 cm2
Atotal = 25,21 cm2
Obteniendo el resultado
final:
17

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