1. Ecuación de
Cauchy-Euler

2. Forma de ecuación de Cauchy-Euler
n dny n −1 d n−1 y dy
an x n
+ an−1 x n −1
+  + a1 x + a0 y = g ( x)
dx dx dx
Método de solución
Probamos y(x) = xm, donde debemos determinar m,
para
dk y
resolver la ecuación homogénea asociada: Observa que: m − k
k
ak x k k
= ak x m(m − 1)(m − 2)(m − k + 1) x
dx
= ak m(m − 1)(m − 2)(m − k + 1) x m
( an m(m − 1)(m − 2) (m − n + 1) + ... + a1m + a0 ) x m = 0

3. ECUACIÓN AUXILIAR d2y dy
ax 2
2
+ bx + cy = g ( x)
dx dx
Para n = 2, y = xm, tenemos Observa que
tenemos que ax2
(am(m – 1) + bm + c)xm = 0, o es igual a cero en
am2 + (b – a)m + c = 0 x = 0. Para
asegurar
existencia y
unicidad,
Caso 1: Raíces reales y distintas tomaremos
m1 m2 I = (0, ∞).
y = c1 x + c2 x
2 d2y dy
Resolver x 2
− 2x − 4 y = 0
dx dx
Solución:
Tenemos a = 1, b = -2 , c = -4
m2 – 3m – 4 = 0, m = -1, 4,
y = c1x-1 + c2x4

4. CASO 2: RAÍCES REALES REPETIDAS
m1
Dedujimos y2 = x ln x
Luego
m1 m1
y = c1 x + c2 x ln x
2 d2y dy
Resolver 4 x 2 + 8 x + y = 0
dx dx
Solución:
Tenemos a = 4, b = 8, c = 1
4m2 + 4m + 1 = 0, m = -½ , -½
−1/ 2 −1/ 2
y = c1 x + c2 x ln x

5. CASO 3: RAÍCES COMPLEJAS
CONJUGADAS
Orden superior: multiplicidad k
m1 m1 m1 2 m1 k −1
x , x ln x , x (ln x) ,  , x (ln x)
Caso 3: raíces complejas conjugadas
m1 = α + iβ , m2 = α – iβ ,
y = C 1x ( α + i β ) + C 2x ( α - i β )
Como
xiβ = (eln x)iβ = eiβ ln x = cos(β ln x) + i sen(β ln x)
x-iβ = cos (β ln x) – i sen (β ln x)
Luego
y = c1xα cos(β ln x) + c2xα sen(β ln x)
= xα [c1 cos(β ln x) + c2 sen(β ln x)]

6. 1
Resolver 4 x y′′ + 17 y = 0, y (1) = −1, y ' (1) = −
2
2
Solución:
Tenemos a = 4, b = 0 , c = 17
4m2 − 4m + 17 = 0, m = ½ + 2i
y = x1/ 2 [c1 cos(2 ln x) + c2 sin( 2 ln x)]
Aplicando y(1) = -1, y’(1) = 0, tenemos que c1 = -1, c2 = 0,
1/2
y = − x cos( 2 ln x)

7. 3 d3y 2 d2y dy
x 3
+ 5x 2
+ 7x + 8y = 0
dx dx dx
Resolver
2
Solución: dy m −1 d y
Sea y = xm, = mx , 2 = m(m − 1) x m−2 ,
dx dx
d3y
3
= m(m − 1)(m − 2) x m−3
dx
Luego tenemos xm(m + 2)(m2 + 4) = 0
m = -2, m = 2i, m = -2i
y = c1x-2 + c2 cos(2 ln x) + c3 sin(2 ln x)

8. x 2 y"−3 xy '+3 y = 2 x 4e x
Resolver
Solución:
Tenemos (m – 1)(m – 3) = 0, m = 1, 3
y c = c 1x + c 2x 3
Usando variación de parámetros,
yp = u1y1 + u2y2, donde y1 = x, y2 = x3
3 3
Escribimos la ED como y′′ − y′ + 2 y = 2 x 2e x
x x
Luego P(x) = -3/x, Q(x) = 3/x2, f(x) = 2x2ex

9. x x3 3
W= 2
= 2x ,
1 3x
0 x3 5 x x 0
W1 = = −2 x e , W2 = = 2 x 3e x
2 x 2e x 3x 2 1 2 x 2e x
Así
2 x 5e x 2 x 5e x
′
u1 = − ′
= − x 2e x , u2 = = ex
2 x3 2 x3
2 x x
u1 = − x e + 2 xe − 2e , x u2 = e x
Hallamos
yp = u1 y1 + u2 y2 = (− x 2e x + 2 xe x − 2e x ) x + e x x3
= 2 x 2e x − 2 xe x
3 2 x x
y = yc + y p = c1 x + c2 x + 2 x e − 2 xe

10. Una ecuación de Cauchy-Euler siempre se puede escribir
como un lineal de coeficientes constantes haciendo el
cambio de variable: x = et. Por ejemplo: Resuelve así:
x y′′ − xy′ + y = ln x
2
x = et
t = ln x
dy dy dt 1 dy
= =
dx dt dx x dt
d 2 y d  1 dy  1 dy 1  d  dy   1 dy 1  d  dy  
=  =− 2 +    = − 2
 dx dt  +    =
dx 2
dx  x dt  x dt x     x dt x  dt  dx  
 
1 dy 1  d  1 dy   1  d 2 y dy 
− 2  dt x dt   = x 2  dt 2 − dt 
+  
x dt x     
  

11. x 2 y′′ − xy′ + y = ln x
d2y dy
2
−2 + y =t
dt dt
y = c1et + c2te t + 2 + t
y = c1 x + c2 x ln x + 2 + ln x