Sostituzioni notevoli per l'integrazione [santi caltabiano]

1. Santi Caltabiano
SOSTITUZIONI NOTEVOLI
Le seguenti sostituzioni risultano di fondamentale importanza. Infatti nella
maggior parte dei casi, applicandole una o più volte, in un integrale assegnato, lo si
riconduce ad un integrale di una funzione razionale.
1 SOSTITUZIONE NOTEVOLE
1) Integrali del tipo:
 R(f(x)) f (x) dx
dove R è una funzione dipendente dall’argomento f. Ad esempio:
3 ln 2 ( x )  3 ln( x)  5
 dx
x
La sostituzione da fare è:
t= f (x)
2 SOSTITUZIONI PER LA RAZIONALIZZAZIONE D’INTEGRALI
IRRAZIONALI
La sostituzione da ricercare in un integrale irrazionale è quella che razionalizza il
radicando.
2) Integrali del tipo:
m m2 mn
  ax  b  1  ax  b   ax  b  
 R  x, 
  ,
  cx  d 
 ,…, 
 cx  d 
  dx
  cx  d      
con m1,…, mn numeri razionali e a,b,c,d numeri reali e dove R è una funzione
razionale dipendente dagli n argomenti. Ad esempio:
x2 x 5
 dx oppure  x sen( x ) dx
x 3 x5
La sostituzione da fare è:
ax  b
tN=
cx  d
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dove N è il m.c.m. dei denominatori di m1,…, mn. Si esplicita la x in funzione di t, si
differenzia e si sostituisce.
3) Integrali del tipo:
 
 R  x, a  x 2
  dx

 
con a>0 e dove R è una funzione razionale dipendente dai due argomenti. Ad
esempio:
x2 3 x2
 dx
2 2
5x  2 x  1  3  x
La sostituzione da fare è:
x= a sin(t) oppure x= a cos(t)
4) Integrali del tipo:
 
 R  x, x 2  a
  dx

 
con a>0 e dove R è una funzione razionale dipendente dai due argomenti. Esempio:
x2 x2 3
 dx
2 2
5x  2 x  1  x  3
La sostituzione da fare è:
x= a cosh(t)
5) Integrali del tipo:
 
 R  x, x 2  a
  dx

 
con a>0 e dove R è una funzione razionale dipendente dai due argomenti. Ad
esempio:
x2 x2  3
 dx
2 2
5x  2 x  1  x  3
La sostituzione da fare è:
x= a sinh(t)
2

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6) Integrali del tipo:
 
 R  x, ax 2  bx  c
  dx

 
con a,b,c reali con a0 e tali che se :=b2–4ac0 allora a>0 e dove R è una funzione
razionale dipendente dai due argomenti. Ad esempio:
x2  2 x 2  7 x  1
 dx
2 2
5x  2 x  1   2x  7 x  1
Evidentemente tale tipo d’integrale ingloba gli integrali del tipo: 3), 4), 5). Se :=0
allora ax2+bx+c si può scrivere come un quadrato perfetto cioè del tipo a(x–)2, ed in
tal caso non è necessaria alcuna sostituzione. Mettiamoci quindi nel caso 0.
Osservando che:
 2 2
2 b     b   
ax +bx+c= a  x    2  = sgn(a)|a|  x    2 

 2a  4a 
 
 2a  4a 

pertanto facendo la sostituzione:
b
t= x 
2a
si ricade in un’integrale del tipo: 3), 4), 5).
Vediamo qualche metodo alternativo.
Se a>0 (e ovviamente 0) una sostituzione efficace è:
ax 2  bx  c = a (x+t)
quadrando:
ax2+bx+c=a(x+t)2
si esplicita la x in funzione di t, si differenzia, si sostituisce ax 2  bx  c con
a (x+t) ed x con l’espressione di x in funzione di t.
Se >0, allora dette  e  le radici (reali e distinte) del polinomio ax2+bx+c,
osserviamo che:
x 
ax 2  bx  c = a ( x   )( x   ) = ( x   ) a
x
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e si ricade quindi nell’integrale del tipo 2).
7) Integrali del tipo:
 
 R  x, ax  b , cx  d
  dx

 
con a,b,c,d numeri reali e dove R è una funzione razionale dipendente dai tre
argomenti. Ad esempio:
3x  2
 dx
2  2  7x
La sostituzione da fare è:
t= ax  b
quadrando:
t2=ax+b
si esplicita la x in funzione di t, si differenzia, si sostituisce ax  b con t ed x con
l’espressione di x in funzione di t. E si ricade così in un integrale del tipo 6).
8) Integrali del tipo: (integrali di un differenziale binomio)
 xm(axn+b)pdx
dove m,n,p razionali. Gli integrale del tipo 3), 4), 5) risultano un caso particolare di
quest’ultima tipologia di integrali. Si presentano tre casi:
 Se p è intero, la sostituzione da fare è:
tN=x
dove N è il m.c.m. dei denominatori di m ed n.
m 1
 Se è intero, la sostituzione da fare è:
n
tN= axn+b
dove N è il denominatore di p. Si esplicita la x in funzione di t, si differenzia e si
sostituisce.
m 1
 Se +p è intero, la sostituzione da fare è:
n
tN=a+bx–n
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dove N è il denominatore di p. Si esplicita la x in funzione di t, si differenzia e si
sostituisce.
3 SOSTITUZIONI PER INTEGRALI DI FUNZIONI ESPONENZIALI E
LOGARITMICHE
1) Integrali del tipo:
 R(ex)dx
dove R è una funzione dipendente dall’argomento ex. Ad esempio:
e2x  1
 dx
2e x
La sostituzione da fare è:
t=ex
2) Integrali del tipo:
 R(ln(x))dx
dove R è una funzione dipendente dall’argomento ln(x). Ad esempio:
ln 2 ( x )  1
 dx
2 ln( x)
La sostituzione da fare è:
t=ln(x)
4 SOSTITUZIONI PER INTEGRALI DI FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
1) Integrali del tipo:
 R(sin(x),cos(x),tg(x))dx
dove R è una funzione dipendente dai tre argomenti. Ad esempio:
sin 2 ( x )  cos( x)  1
 dx
2 tg ( x)
La sostituzione da fare è:
 x
t= tg 
2
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Ricordando che:
2t 1 t2 1 t2
sin(x)= ; cos(x)= ; tg(x)=
1 t2 1 t2 2t
2) Integrali del tipo:
 R(sin2(x),cos2(x),tg(x))dx
dove R è una funzione dipendente dai tre argomenti. Ad esempio:
sin 2 ( x ) cos 2 ( x)  1
 dx
2 tg ( x )
La sostituzione da fare è:
t=tg(x)
Ricordando che:
2 t2 1
sin (x)= e cos2(x)=
1 t2 1 t2
Evidentemente quest’ultimo tipo d’integrale è inglobato dall’integrale del tipo 1).
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