Este documento describe las desigualdades y las inecuaciones. Explica que una inecuación es una desigualdad condicional que contiene una o más incógnitas. Detalla las propiedades de las desigualdades y cómo resolver inecuaciones lineales, cuadráticas, racionales e inecuaciones con valor absoluto. Incluye ejemplos para ilustrar cada tipo de inecuación.

1. DESIGUALDAD: Es una expresión que indica
que una cantidad es mayor o menor que otra.
INECUACIÓN: Es una desigualdad en la que hay
una o más incógnitas y que sólo se verifica para
determinados valores de las incógnitas. Las
inecuaciones también se llaman
DESIGUALDADES CONDICIONALES.
EJEMPLO: La desigualdad 2x – 3 > x + 5 es una
inecuación porque tiene la incógnita x.
Es condicional, porque es cierta para cualquier valor de x
mayor que 8, pero es falsa si x es menor o igual que 8.

2. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES.
PROPIEDADES FUNDAMENTALES:
1. Si a > b Λ 𝑏 > 𝑐 ⇒ 𝑎 > 𝑐
2. Si a > b ⇒ 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 Λ 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐
3. Si a > b Λ 𝑐 > 0 ⇒ 𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 Λ
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
4. Si a > b Λ 𝑐 < 0 ⇒ 𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 Λ
𝑎
𝑐
<
𝑏
𝑐

3. INECUACIONES SIMULTANEAS
Son inecuaciones que tienen soluciones comunes
Ejemplo:
¿Para qué valores de x se verifican simultáneamente las
inecuaciones 10x – 15 < 0 y 5x > 3 ?
Resolviendo las inecuaciones nos queda:
Por consiguiente, los valores mayores que
3
5
y menores que
3
2
verifican simultáneamente ambas inecuaciones

4. SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN O
DESIGUALDAD.
EJEMPLO: 6x – 10 > 3x + 5
Pasamos los términos semejantes a un lado de la inecuación:
6x – 3x > 5 + 10
Reduciendo términos semejantes nos queda:
3x > 15 Despejando x:
El intervalo de solución es (5, + ∞)
x >
15
3
x = 5

5. Resolver la inecuación:
6+𝑥
3
<
5𝑥 −7
5
Multipliquemos a la inecuación por 3: 3(
6+𝑥
3
) < 𝟑(
5𝑥 −7
5
)
Simplificando y operando:6 + x <
15𝑥 −21
5
Multipliquemos a ambos lados por 5: 5(6 + x) < 5(
15x −21
5
)
30 + 5x < 5x – 21 ⇒ 30 + 21 < 15𝑥 − 5𝑥
51 < 10x Si dividimos para 10:
51
10
<
10𝑥
10
51
10
< 𝑥

6. INECUACIONES CUADRATICAS
EJEMPLO:
Resolver la desigualdad: x2 – 5x – 6 > 0
SOLUCION: Se factoriza el trinomio (x – 6)(x + 1) > 0
Determinamos los ptos críticos:
x – 6 = 0 x = 6
x + 1 = 0 x = - 1
con estos valores se determinan los intervalos:

7. - 2 0 7
x – 6 - - +
x + 1 - + +
(x – 6)(x + 1) + - +
- 1 0 6
Por lo tanto el conjunto solución será:
x ∈ −∞, −1 ∪ 6, + ∞

8. INECUACIONES RACIONALES
Ejemplo: Resolver la desigualdad:
2
3𝑥 −6
< 0
Solución: Como el numerador es positivo, entonces
para que la desigualdad sea negativa (menor que
cero) el denominador debe ser negativo, es decir:
3x – 6 < 0
Si despejamos x: 3x < 6 x <
6
3
x < 2
El intervalo de solución será: − ∞, 2

9. Resolver la inecuación:
3
2𝑥+3
<
1
𝑥 −2
Solución: Agrupamos los términos en un solo lado de la
desigualdad y realizamos las operaciones, como:
3
2𝑥 + 3
−
1
𝑥 − 2
3 𝑥 − 2 − 2𝑥 + 3
2𝑥 + 3 𝑥 − 2
< 0
3𝑥 − 6 − 2𝑥 − 3
2𝑥 + 3 𝑥 − 2
< 0
𝑥 − 9
2𝑥 + 3 𝑥 − 2
< 0
Ahora nos queda por determinar los ptos críticos ( = 0 ) y
tomar en cuenta que el denominador no puede ser cero
x – 9 = 0 x = 9
2x + 3 = 0 x = −
3
2
x – 2 = 0 x = 2
2x + 3 ≠ 0 𝑥 ≠ −
3
2
Λ 𝑥 ≠ 2

10. - 2 0 7
x – 9 - - +
2x + 3 - - + +
x – 2 -
(2x + 3)(x – 2) + - +
𝑥 −9
2𝑥+3 𝑥−2
_
-
3
2
0 2 9
Solución: −∞, −
3
2
∪ 2, 9

11. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real x denotado por 𝑥 , se
define por:
𝐱 =
𝐱 𝐬𝐢 𝐱 ≥ 𝟎
− 𝐱 𝐬𝐢 𝐱 < 𝟎
Ejemplos: 5 = 5
−7 = − −7 = 7
−
1
9
= − −
1
9
=
1
9
0,985 = 0,985
0 = 0

12. Propiedades
Si x es un numero real y a > 0, entonces:
1. |x| ≤ a ↔ - a ≤ x ≤ a
2. |x| ≥ a ↔ x ≥ a ó x ≤ − a
x ∈ −𝒂, 𝒂
x ∈ −∞, 𝒂 (∪ 𝒂, +∞

13. Resolver |x| = 7
Por la definición de valor absoluto, tenemos:
x = 7 o x = - 7
Resolver |2x + 8| = 5
Ejemplos:
2x + 8 = 5 ó 2x + 8 = -5
2x = 5 – 8 2x = - 8 – 5
2x = - 3 2x = - 13
x =
−3
2
x =
−13
2

14. Resolver |x - 10| = - 3
Como el valor absoluto nunca es negativo, esta
ecuación no tiene solución.
Ejercicios
Resolver las inecuaciones siguientes:
1. 7𝑥2
+ 21𝑥 − 28 < 0 6. 𝑥 + 2 2
≤ 𝑥 + 8
2. 4𝑥2 − 16 ≥ 0 7.
𝑥+3
𝑥 −2
≥ 2
3.
𝑥2−1
𝑥2−4
≤ 0 8.
4𝑥 −3
5
−
4𝑥
3
< 𝑥 + 8
4.
𝑥+3
𝑥 −2
< 2
5.
1
𝑥+2
≥
1
3 −𝑥