Presentazione Pi day degli studenti della classe VB_ABACUS ITS "Einaudi" Montebelluna
1. PI GRECO DAY – 15 MARZO 2010 – ITIS EINAUDI
Progetto creato da
Alberto Zanatta, Alex Cavallin, Garbin Filippo, Pellizzer Desy
sotto la supervisione dei professori Sorbaioli Francesco e
Reginato Michele, con la collaborazione della classe 3B Abacus
2. È OVUNQUEÈ OVUNQUE
Sono stati scrittiSono stati scritti LIBRILIBRI, girati, girati FILMFILM,,
organizzateorganizzate CONFERENZECONFERENZE......
Addirittura a Pi Greco è stato dedicato unAddirittura a Pi Greco è stato dedicato un
giorno dell’annogiorno dell’anno......
6. La storia di
è conosciuto fin dall'antico Egitto, nel
3000 a.C. 2
8
4 3,16049...
9
π
= × = ÷
Nel 200 a.C. Archimede si avvicinò a con un
errore minore allo 0,03%...
10 13 3
71 7
π+ < < +
7. = 4*(1 - 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9…
∑
∞
= +
−
0 12
)1(
4
k
k
k
=
È uguale a
James gregory
Da sistemare.
8. 1593: Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII:
si raggiungono le 10 cifre decimali dopo
la virgola.
Ludolph Von Ceulen ( † 1610)
3,141592 6272 < π < 3,141592 8320
Willebrord Snell
Willebrord Snell
(1580-1626)
(1580-1626)
3,14159265 33 < π < 3,14159265 38
Christiaan Huygens
Christiaan Huygens(1629-1695)
(1629-1695)
9.
10. 1947 – Ferguson: 808 cifre
1948 - Smith e Wrench: 1000 cifre
1949 – ENIAC: 2037 cifre
1954 – NORC: 3089 cifre51,5 miliardi nel 1997
1 milione nel 1973
1 miliardo nel 1989
2002:
12
1,2411 10× cifre
11. Se fino al 1700 si credeva che fosse
un numero finito, nel 1761
dimostra che è un
numero IRRAZIONALE
12. Joseph Liouville
Nei primi anni del 1800
Dimostra l'esistenza dei numeri trascendenti
Charles Hermite
nel 1873
trova e, primo esemplare dei numeri
trascendenti
13. non può avere soluzioni algebriche.
L’equazione
Ma Euler ha dimostrato
che
per cui π non può essere
ALGEBRICO.
1 0ix
e + =
1 0i
e π
+ =
Questo risultato mette fine al problema della
quadratura del cerchio.
Era impossibile trovare il quadrato
equivalente ad un cerchio dato
tramite le regole classiche.
15. Qualche coincidenza:
dobbiamo meravigliarci?
Che in π possa trovarsi tutto, cosa che
non è matematicamente stabilita, non
significa che tutto ciò che si trova in π sia
banale.
Ecco alcune stranezze osservate dagli
appassionati; ci guarderemo bene dal
prenderle sul serio.
16. • Lo “0” fa la sua comparsa per la prima volta soltanto
nella 32a posizione dopo la virgola, dopo che tutte le
altre cifre si sono presentate già almeno una volta nei
primi 13 decimali. Perché questo ritardo dello “0”?
• Le cifre decimali di π a partire dalla 762a cifra sono
“999999”. Non sarebbe sorprendente se ci fosse una
sequenza di sei “9” consecutivi nel primo milione di
decimali di π, ma non è eccezionale che ciò si verifichi
prima del millesimo decimale?
• Sommando le prime 144 cifre decimali di π si
ottiene 666. Dobbiamo concludere che π è
diabolico?
17. • Sommando i primi 20 decimali di π dopo la virgola, si
ottiene 100.
• Fra i primi 1.000 interi ottenuti prendendo i decimali di π
nell'ordine 3, 31, 314, 3141, 31415, …, solo quattro sono i
numeri primi.
• Il gruppo di tre decimali che termina nella posizione
315 è 315, e quello che termina nella posizione 360 è
360.
• Se, nell'alfabeto scritto in cerchio, si colorano le lettere che
hanno un asse di simmetria
verticale(...HIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGH...), le lettere
non colorate formano gruppi di 3, 1, 4, 1 e 6 lettere.
18. Questa constatazione sorprendente fu l'origine di un pesce d'aprile
che venne fatto a persone molto serie. Nell'aprile del 1995, in un articolo di
una pagina, la rivista Pour la science si è divertita a “riportare” la scoperta
di un'equipe di ricercatori norvegesi: questi biologi avevano identificato in
un cromosoma di un pesce chiamato dipneusta una sequenza di geni
corrispondente al numero π scritto in base 4.
La scoperta, affermava l'articolo, era dovuta alle straordinarie capacità di
memorizzazione di uno studente che aveva riconosciuto π nella
successione di lettere A, C, G, T della sequenza del DNA. Si precisava che le
ricerche proseguivano su altri animali, e in particolare sulla piovra, il
piccione e il picchio verde.
S’incontra π in
matematica e in
fisica,
ma non in biologia.
19. Spesso, i pesci d'aprile pongono domande serie. Cosa c'è
d’inverosimile e di ridicolo nel credere che π possa essere contenuto
nel gene di un pesce? Perché troviamo normale incontrare π in campi
della matematica che non hanno nulla a che fare con il cerchio, un po'
dappertutto in fisica (in una formula riguardante il movimento del
pendolo, per esempio), e non in biologia?
Si possono proporre moltissime spiegazioni: s’intuisce che effettivamente le
cose del mondo vivente non hanno la rigidità matematica delle cose fisiche,
e perciò π non può essere codificato nel gene del pesce, né in quello di alcun
animale. Questa spiegazione, come le ultime altre, appare insoddisfacente.
Forse un giorno si comprenderà meglio la natura di questi problemi. A meno
che non si finisca per trovare davvero π in un gene! Infatti, se l'articolo pesce
d'aprile non avesse parlato con insistenza del porto peschereccio di
Hammerfest e non avesse contenuto parecchi indizi sospetti come il nome
degli autori (K. Arp, R. Abbit), nessuno avrebbe potuto scorgervi con certezza
uno scherzo.
20. Il messaggio nascosto in π di Carl Sagan
Il futuro ci permetterà forse di
capire perché è impossibile che
π costituisca un messaggio
contenuto in un gene. Si potrà
anche scoprire che π contiene a
sua volta un messaggio? Nel suo
romanzo intitolato Contact,
pubblicato una decina di anni
fa, Carl Sagan – famoso
collaboratore della NASA
recentemente scomparso –
immagina, esplorando le cifre di
π, di trovarci un messaggio.
Eccone un brano, in cui la
conclusione sta nella scoperta:
21. <<Se all’interno del numero trascendente si
nasconde qualcosa, questo qualcosa non può essere
stato introdotto che all’origine, nella geometria
dell’universo.[…] L’anomalia apparve chiaramente
nello scrivere π in base 11, in cui esso si presenta
come una successione di zero e di uno.[…] Il
programma dispose le cifre secondo una matrice. La
prima riga era costituita da una sequenza
ininterrotta di zeri da sinistra a destra. La seconda
era costituita da un solo uno, esattamente nel
mezzo, circondato da zeri da ogni lato. Dopo qualche
riga, si vide tracciata, senza alcun dubbio, la curva di
un arco composto da numeri uno. La figura
geometrica elementare carica di promesse si costruì
rapidamente, riga dopo riga. Arrivò infine l’ultima
riga, unicamente composta da zeri eccetto che nel
suo centro, dove si trovava un solo uno. La riga
successiva era costituita solo da zeri, che formavano
semplicemente una cornice. Nascosto nei motivi
alternati, profondamente sepolto all’interno del
numero trascendente, c’era un cerchio perfetto, la
cui forma emergeva grazie alle sue unità in un
campo di nullità, l’universo aveva una cornice
intenzionale, ecco quel che diceva il cerchio. […]
Molto al di sopra degli esseri umani, degli dei e dei
demoni, […] esiste un’intelligenza che ha preceduto
l’universo>>.
22. Sagan, che dà l’impressione di credere che π sia soprattutto una costante fisica
(poiché egli parla di geometria dell’Universo) e sembra confondere la base 11
con la base 2, introduce un’idea divertente.
Tuttavia, il messaggio contenuto in π che egli considera la prova di
“un’intelligenza che ha preceduto l’Universo” è assai semplice: se l’intelligenza
che ha preceduto l’Universo non ha che questo da comunicarci, ciò è deludente.
Numerosi matematici sono persuasi che, anche senza miracoli, ciò che si può
trovare in π è molto più profondo e interessante del “messaggio intravisto dal
romanziere scientifico. D’altronde, se π è normale,in qualche parte delle sue
cifre si trova realmente il cerchio che immagina Sagan. Poiché numerosi
matematici ritengono che π sia normale, il fatto che serve da conclusione al
romanzo non merita davvero lo stupore, posto che questa figura non arrivi
presto, cosa che Sagan non precisa nel suo libro.
23. Studiando i decimali appena ottenuti, i calcolatori di
π hanno regolarmente notato certe stranezze di cui
riportiamo la lista, senza dubbio non esaustiva.
24. Rarità di “0” proprio all’inizio della successione. Il primo “0” appare solamente in
posizione 32, e ci sono soltanto due “0” nei primi 50 decimali di π. Tuttavia nei primi 100
se ne trovano già 8 e nei primi 200 ce ne sono ben 19. Più lontano ancora, si trovano
999440 “0” nei primi 10 milioni di decimali, poi 599963005 “0” nei primi 6 miliardi di
decimali di π; la proporzione di “0” resta leggermente al di sotto dell’atteso , d’un modo
sempre più insensibile e finalmente non significativo.
Rarità di “7”. Nei primi 500 decimali se ne trovano 36, che sembrano davvero pochi;
nei primi 1000 decimali ci sono 95 “7” ne mancano dunque solo 5; nei primi 10 milioni di
decimali si trovano 1000207 “7” e nei primi 6 miliardi, 600009044 “7”. La mancanza iniziale
diventa un leggero soprannumero che si troverebbe perfettamente banale se si trattasse
di cifre scelte a caso.
Presenza di successioni ripetute straordinarie. La presenza della sequenza
999999 tra le posizioni 762 e 767 è inattesa. Nei primi 2 miliardi si trovano anche una
sequenza di otto “8” consecutivi, una sequenza di nove “7” consecutivi, e anche una
sequenza di dieci “6” consecutivi, come pure la successione “123456789”. Tuttavia sono
fenomeni isolati la cui probabilità non è trascurabile in una successione casuale.
25. Non c’è dunque nulla da ricercare: i tests più sistematici
non rivelano niente di rimarchevole nella frequenza
delle successioni ripetute.
I fratelli Chudnovsky hanno fatto notare che la media
degli n primi decimali, che ci si aspetta di trovare vicina a
4,5 poiché è la media di 10 cifre
è dapprima leggermente superiore a questo valore nel
primo miliardo poi leggermente inferiore nel secondo;
tuttavia essi esitano a considerare questo fenomeno
come significativo. Essi spiegano anche che
“l’osservazione di π - talvolta realizzata associando alle
cifre di π grafici tridimensionali in forma di superficie –
dà la “sensazione di qualche cosa di sistematico, di cui
noi non sappiamo se esso ha una vera origine in π o se
risulta solamente da un lavoro che fa il cervello per
organizzare strutture disordinate”; i paesaggi ottenuti
dai Chudnovsky sembrano loro diversi da ciò che
produrrebbe il semplice caso, senza poterne trarre
constatazioni certe: “Ci sono meno picchi e meno valli
di quelli che ci si aspetterebbe di trovare se π fosse
veramente aleatorio”.
5,4
1 0
9876543210
=
+++++++++
26. La loro conclusione è che, malgrado questa sensazione vaga, e poiché nulla di chiaro è
stato provato fino a oggi, bisogna andare a vedere più lontano.
I fratelli Chudnovsky sperano che le regolarità, della cui esistenza sembrano persuasi,
non si presenteranno troppo lontano, e in ogni caso non al di là di ciò che le nostre
macchine future potranno calcolare. Essi infatti valutano, prendendo per base la
grandezza dell’Universo visibile, che non si potranno superare le cifre di π (ciò che
ci lascia ancora del margine, perché siamo a 2 X ): “Se π non mostra alcun
comportamento sistematico prima della posizione sarebbe veramente un disastro, ma
ciò nonostante non bisognerebbe rinunciarvi; ci deve pur essere un mezzo per
superare l’ostacolo”. Questo mezzo è senza alcun dubbio da ricercarsi nei nuovi
risultati di matematica pura e la nuova formula di calcolo di π di P. Borwein, D. Bailey e
S. Plouffe ne è forse il segno annunciatore.
10
10
77
10
27. A causa dei limiti legati alla
fisica del nostro mondo
(dimensione degli elettroni,
dimensione dell’Universo,
velocità della luce, ecc.) taluni
valutano che non potranno
mai essere calcolate più di
1077
cifre decimali di π, e ciò
anche se l’Umanità si
consacrasse a questa sfida per
secoli utilizzando tutto lo
spazio, tutta la materia e tutta
l’energia disponibile.
28. Questa immagine risulta
dalla codifica delle
prime 262144 cifre
binarie di π, disposte da
sinistra a destra e
dall’alto verso il basso in
512 linee e 512 punti.
Ogni “0” dà un punto
nero e ogni “1” un
punto bianco. Essa è
stata realizzata da Elias
Broöms.
29. LA STAMPA - Se i «cerchi» nel grano che
compaiono ogni estate nei campi inglesi
li fanno davvero gli alieni, ora sappiamo
che conoscono il «pi greco», quel 3,14
che rappresenta il numero più misterioso
della matematica e definisce il rapporto tra
la circonferenza e il diametro di un cerchio.
Il disegno ritrovato all’inizio di giugno in una
coltivazione di orzo a Barbury Castle
sembrava uno dei tanti che in questa
stagione affollano i campi inglesi e, come al
solito, era stato subito fotografato dall’alto
da Lucy Pringle, l’instancabile ricercatrice
che da più di dieci anni sorvola la
campagna alla ricerca di «crop circles».
L’immagine della formazione, larga più di
45 metri e ritrovata in una collina dello
Wiltshire, è rimasta online nel sito di Lucy
(www.lucypringle.co.uk) insieme alle altre apparse in questo mese, e non sembrava nemmeno una delle più
belle: una linea a spirale convergente verso il centro, interrotta ogni tanto da inspiegabili scanalature,
anch’esse convergenti al centro.
C'è voluto un astrofisico in pensione, Mike Reed, per notare che quel disegno all’apparenza banale
nascondeva qualcosa di molto più complesso. Bastava completarlo, tracciando i raggi del cerchio in
corrispondenza delle scanalature, per evidenziare il messaggio nascosto: il numero 3,141592654, vale a
dire esattamente le prime nove cifre del «pi greco», seguite da un 4 invece che da un 3. Il professor Reed
ha intuito che il piccolissimo cerchio, che compariva nelle foto a destra del centro della formazione,
rappresentava la virgola del «pi greco» ed il resto - per uno studioso a proprio agio con la matematica - è
stato abbastanza facile. Tutti ricordiamo che a scuola il «pi greco» ci consentiva di calcolare l'area di un
cerchio, ma di tutti i numeri sembra davvero quello venuto da un altro mondo.
30. E' considerato irrazionale, non può essere
scritto come quoziente di due interi; è
trascendente e non algebrico e quindi è
impossibile esprimerlo usando un numero
finito di interi. E' un po' complicato da
spiegare, ma il «pi greco» ci dice in
sostanza perché non è possibile quadrare il
cerchio, realizzare cioè con riga e compasso
un quadrato della stessa area di un
determinato cerchio. Lo Wiltshire è una
regione della Gran Bretagna ossessionata
dai cerchi fin dall’epoca del suo monumento
più famoso e rappresentativo, Stonehenge.
Qui, nel 1991, comparve in un altro campo
di grano il disegno del frattale di Mandelbrot,
nel 1996 il «Julia Set» e nel 1997 i cerchi di
Koch, tutte figure molto note ai fisici e ai
matematici per la loro estasiante, ripetitiva
complessità.
Poco lontano, a Milk Hill, venne trovata nel
2001 la madre di tutti i «crop circles», una
formazione a spirale con 400 cerchi di varie
dimensioni che si estendeva per 90 mila
metri quadrati e che è rimasta imbattuta per
l’armonia e la bellezza che esprimeva. Tutte
queste figure sono state catalogate con
pazienza da Lucy Pringle, che negli ultimi
anni ha messo insieme (e a disposizione di
tutti) il più straordinario e per certi versi
inquietante database di un fenomeno che gli
scienziati fanno sempre più fatica ad
attribuire - per tranquillizzarci - a quattro
burloni che di notte tagliano il grano con una
falciatrice. Certamente i burloni esistono, e
lo hanno anche confessato. Ma le indagini
effettuate da numerosi ricercatori sono
arrivate alla conclusione che non sono loro
gli autori dei disegni più complessi.
31. E molte cose restano inspiegabili quando si
osservano le formazioni sul terreno, da vicino.
Il grano o l’orzo non sono tagliati, ma piegati a
spirale, come se fossero stati abbattuti da un
vortice. Gli steli presentano strane
malformazioni, l’aria sul campo è spesso
ionizzata e a terra si ritrovano microsfere di
ferro. Intorno ai «cerchi» non c’è traccia del
calpestio di qualcuno che si sia avvicinato per
realizzarli e in ogni caso sarebbe davvero
impossibile disegnare da terra forme così
complicate, al buio e in una sola notte. Le
formazioni più belle compaiono ogni estate, a
giugno e a luglio, nei luoghi più misteriosi
dell’Inghilterra: Avebury, Silbury Hill,
Stonehenge, quelli delle civiltà preistoriche
che hanno lasciato grandi cavalli disegnati
sulle alture, innalzato colline per i loro morti e
trasportato - non si sa come - megaliti per
centinaia di chilometri per realizzare circoli di
pietra di cui ancora oggi non capiamo lo
scopo. Il mistero continua, e la nuova
stagione dei «cerchi» nel grano è appena
all'inizio.
32. Il problema di MalfattiIl problema di Malfatti
Dato un triangolo, come bisogna
disporre al suo interno tre cerchi
che non si sovrappongono se si
vuole che la loro area totale sia la
maggiore possibile?
Malfatti formulò nel 1803 un’ipotesi che
fu data per risolta per più di 100 anni e
questa dice che si devono scegliere dei
cerchi in modo che ciascuno tocchi due
lati del triangolo ed entrambi i cerchi
rimanenti.
33. Successivamente nel 1930 qualcuno si è
accorto che nel caso particolare in un
triangolo equilatero, la “soluzione” di
Malfatti è sbagliata nella sua
cofigurazione:
Ma si può migliorare di un po’ il risultato con
un cerchio grande e due piccoli:
L’area totale dei cerchi è
729,0
)31(
3
2
≈
+
π
Ma in questo caso
l’equazione è la seguente
739,0
327
11
≈
π
34. Calcolato pi greco fino a 2,7 trilioni di decimaliCalcolo al pc di informatico francese batte
supercomputer
