Quadrados mágicos são arranjos ordenados de células onde números são organizados de forma que linhas, colunas e diagonais sempre somam o mesmo total. Existem métodos para construir quadrados mágicos de qualquer tamanho seguindo regras de posicionamento dos números.

1. Quadrados Mágicos Conhecido pelos matemáticos há mais de 2,000 anos, o quadrado mágico é um estudo fascinante. Basicamente, um quadrado mágico é um arranjo ordenado de células (ou quadrados) onde se inscreve números em cada posição. Estes números são organizados de forma que cada linha no quadrado, quando somadas, é igual à soma das outras linhas. Adicionalmente, cada fila ou coluna terá um total semelhante, bem como as diagonais.

2. O quadrado básico de nove células conforme figura 1, se somarmos qualquer valor nas linhas, filas ou diagonais obteremos 15. Em quadrados que têm um número maior de células pode haver outras relações. Quadrados Mágicos

3. Há séculos atrás as pessoas imaginavam que os quadrados eram investidos de poderes mágicos ou incomuns. De fato, até mesmo atualmente os quadrados mágicos são gravados em pequenos pedaços de metal e usados como talismãs por certos grupos na Índia, mas tenho que confessar que eu nunca fui testemunha para qualquer poder incomum dos quadrados mágicos, mas eles podem ser construídos e há várias aplicações divertidas que podem ser demonstradas com eles. Quadrados Mágicos

4. Uma vez entendo as técnicas de construção dos diversos quadrados mágicos você verá que é bastante simples produzi-los. Quadrados Mágicos

5. Uma vez entendo as técnicas de construção dos diversos quadrados mágicos você verá que é bastante simples produzi-los. Há métodos infinitos e variações na construção de quadrados mágicos. Em lugar de nos envolvermos com transposições, quadrados fracionários, quadrados de forma incomum, e as variedades infinitas, discutiremos alguns dos métodos mais diretos. de acordo com Maurice Kraitcheck, no seu livro Recreações Quadrados Mágicos

6. Os procedimentos para construirmos um quadrado de nove células (3 por 3) é a mesma aplicada para outros tipos de quadrados (25 células, 49 células, etc.). Vamos assumir que você deseja construir um quadrado de nove células como na fig 1. Você pode começar com qualquer número, mas por questões de simplicidade usamos o número 1. Quadrados Mágicos

7. (a) Depois de desenhar um quadrado com nove células em branco, insira 1 na célula central da linha no topo. Você precisa visualizar o topo e linhas de fundo como sendo presas entre si, ou como continuação delas. Você também tem que visualizar as colunas da esquerda e da direita como continuação delas. Quadrados Mágicos

8. (b) Cada número sucessivo (em quadrados mágicos com numero de células pares) deve ser inserido em sua célula colocando um numero à direita e um quadrado acima do número previamente posicionado. Este é um movimento oblíquo. não pode ser posicionados um à direita e um acima do seu número registrado anteriormente à medida que isto o colocaria fora das fronteiras do quadrado, ilustrada pela célula pontilhada na Fig. 1. Porém, desde que você visualize o topo e linhas de fundo como sendo relacionadas entre si você pode contornar o problema colocando os 2 na célula mais afastada ao fundo, fig. 1. (o topo e as linha do fundo foram correlacionadas entre si esta é a célula na qual o 2 seria colocado.). Quadrados Mágicos

9. (c) Movendo o próximo número, 3, um movimento para cima e um movimento à direita, isto nos posiciona fora do quadrado. Mas desde que a fila esquerda é uma continuação visualizada da fila da direita, colocamos o 3 na célula mais afastada da linha como mostrado na Fig. 1. Quadrados Mágicos

10. (d) 4 não pode ser posicionado uma acima e uma à direita já que 1 já ocupa a célula por mim escolhida anteriormente. Sempre que uma célula está ocupada por um número, você tem que posicionar o numero em uma célula simplesmente sob o numero predecessor imediato. Assim, 4 seria colocado abaixo de 3, como na fig. 1. Quadrados Mágicos

11. ( e) 5 e 6 são posicionados facilmente e usam a regra do um movimento acima e um movimento à direita. Quadrados Mágicos

12. (f) 7 não pode ser posicionado porque cai em uma posição diagonal onde não há continuação de uma linha ou fila. Nesta situação, o número é tratado como se sua posição tenha sido ocupada por um numero inserido anteriormente. Assim, 7 é posicionado debaixo do seu número predecessor registrado (6). Quadrados Mágicos

13. (g) 8 e 9 são registrados seguindo as regras, e seu quadrado acabado pode ser visto na fig. 2. Note as setas e outras indicações que mostram os vários movimentos dos números até suas células. Quadrados Mágicos

14. Este quadrado pode começar com qualquer número. Se você começasse com 2, por exemplo. o quadrado avançaria para um total mágico de 18. A fig. 3 mostra um quadrado de nove células que começa com 2. Note que a media que você avança cada número (no inicio) os totais mágicos aumentam em 3. Assim, um quadrado de nove células (3 por 3) que começa pelo 3 daria um total mágico de 21 e começando com 4 traria o total para 24. etc. Quadrados Mágicos

15. Todos os quadrados com numero de células impares seguem os mesmos procedimentos do quadrado de nove células. Descreveremos agora um quadrado de 25 células ( 5 por 5 ) de forma que você possa observar como os procedimentos são idênticos aos usados no quadrado de 3 por 3. Quadrados Mágicos

16. Como nos quadrados de 3 por 3, o primeiro número deve ser colocado na célula central da primeira linha. Debaixo você verá uma ilustração de um quadrado mágico com 25 células (5 por 5). Para simplificar, ele foi iniciado com o número 1, mas você pode escolher qualquer outro valor. Siga as mesmas regras e procedimentos utilizados no quadrado de nove células. Note que cada linha, coluna, e diagonais totalizam sempre a mesma quantidade, neste caso: 65. Um total mágico adicional será achado ao se somar os números nos quatro vértices mais o número central do quadrado (17-15-11-9 mais 13). Também se pode notar outras relações mais distantes. (2) Quadrados com numero impar de células

17. Um procedimento completamente diferente é usado na construção destes quadrados mágicos que têm um número par de células. Quadrados formadas por múltiplos de 4 (16, 64 células, etc.) são produzidos de modo semelhante à descrição dada abaixo. Porém, os quadrados de 36 células (6 por 6), embora seja um “um quadrado mágico de numero par de células" é por si só único. (3) Quadrados com número de células pares Quadrados Mágicos

18. Discutiremos estes diversos quadrados, mas na prática você verá que os quadrados de 16 e 25 células são os mais populares. São tão impressionantes quanto os quadrados maiores e tem as mesmas qualidades interessantes. Quadrados Mágicos

19. (a) Após desenhar um quadrado em branco com 16 células você precisa traçar e visualizar suas duas diagonais. No quadrado abaixo, note que duas diagonais foram traçadas de A para B e de C para D. Vamos começar com o número 1 (claro que, você pode escolher qualquer valor) Você vai preencher cada número consecutivamente, começando pela célula superior à esquerda e seguindo para a direita, apenas com uma reserva: Sempre que você encontra uma célula que está em uma diagonal você deverá saltá-la. O numero 1 não pode ser colocado na célula esquerda superior, pois estas é interceptada pela diagonal. Você salta esta célula então, avança para o número 2 e coloca 2 na segunda célula. Vamos começar com os quadrados de 16 células. Quadrados Mágicos

20. (c) 5 pode ser inserido em sua célula correta, saltaremos 6 e 7, inserimos 8, e você prossegue preenchendo as células (saltando aquelas na diagonal) até que você preencha o quadrado inteiro. Seu quadrado parcialmente preenchido se parece com a figura abaixo: (b) O próximo numero 3, pode ser colocado em sua posição à direita, mas a possível célula para o 4 está em uma diagonal e assim deve ser saltado. Quadrados Mágicos

21. (d) Agora você tem que preencher as células livres (esses que estavam nas diagonais). Novamente, você começa pela célula esquerda superior, mas em vez de começar com o menor número (neste caso, numero 1) e seguir adiante comece com o número maior (neste caso, 16) e conte para trás. Insira 16 na célula esquerda superior. Você conta para trás e conta 15 para a próxima célula (que está ocupado por 2), 14 para a próxima (que está ocupado por 3), e 13 para a próxima. Ao achar uma célula livre, registre 13 nesta célula. (e) Continuando para a próxima célula 12 (ocupada), conte retroativamente e preencha cada célula aberta com o número apurado na contagem regressiva. Quadrados Mágicos

22. O quadrado acima indica os resultados da contagem regressiva, com todas as posições diagonais preenchidas. O quadrado mágico completo é mostrado abaixo : Quadrados Mágicos

23. Este quadrado em particular tem um total mágico de 34. Cada linha, coluna, e diagonal somará 34. Além, os quatro vértices também somarão 34 (16-13-4-1); as quatro células de centro somarão 34 (11-10-7- 6); cada grupo de quatro células no vértice somará 34 (esquerdo superior): 16-2-11-5, esquerda abaixo (9, 7,14-4,) direito superior: (3-13-8-10), direito inferior: (6-12-1-15); e, com alguma investigação, você achará grupos adicionais que também relacionaram ao total mágico. Como em qualquer quadrado mágico, qualquer valor inicial pode ser usado, que mudará o valor do total mágico. Mas as relações sempre serão constantes. Quadrados Mágicos

24. Os quadrados de 64 células (oito por oito) são construídos exatamente como o quadrado há pouco descrito. A grande diferença é que ao formar um quadrado de 64 células você tem que montar as diagonais na base do quadrado grande que consiste de um quadrado de 16 células. O quadrado abaixo mostra o arranjo da diagonal, e também o quadrado de 64 células completo. Quadrados Mágicos

25. Note que o mesmo procedimento aplicado neste quadrado grande é o mesmo que foi aplicado nos de 16 células. Ao iniciar a contagem regressiva comece com 64 e continue preenchendo cada célula interceptada pela diagonal. Claro que, neste tipo de quadrado você achará muitas interrelações devido ao grande número de possibilidades. Por exemplo, as quatro células no quadrado direito inferior do quadrado de 64 células consiste de 16 células que formam um quadrado mágico cujo total vale 130, com a exceção das diagonais. Você pode perceber muitas combinações incomuns se você investigar cuidadosamente. Quadrados Mágicos

26. O quadrado de 36 células (6 por 6) é de fato uma série de 4 quadrados de nove células (3 por 3), mais uma transposição (troca) de três números. Desenhe um quadrado de 36 células em branco, mas considere-o como uma estrutura de 4 quadrados de nove células (3 por 3) e note as linhas em negrito cruzando a células centrais. Você o preenche trabalhando em cada grupo de nove células como se um quadrado em separado e não como parte da estrutura maior. Quadrados Mágicos

27. (a) Comece a preencher o grupo esquerdo superior de nove células, e da mesma maneira que você preencheria um quadrado de 3 por 3. Comece com número 1, coloque-o no centro da primeira linha. A quadrado abaixo mostra a conclusão do grupo esquerdo superior. Quadrados Mágicos

28. Quadrados Mágicos (b) Comece com o próximo número sucessivo, neste caso 10, preencha o grupo inferior direito. O próximo quadrado se mostra completo :

29. (c) Começando com o próximo número maior, neste caso 19, preencha o grupo direito superior. Depois de completá-lo, preencha o último grupo restante (inferior esquerdo) . O quadrado aparecerá como indicou abaixo. Note este não é o quadrado completo pois você ainda em que transpor três dos números. Quadrados Mágicos

30. (d) Você tem que colocar os números 8, 5, e 4 nas posições respectivas ocupadas por números 35, 32, e 31. Isto é indicado pelas linhas mostradas no quadrado anterior para apontar estas posições. O quadrado mágico completo, depois que a acima de transposição fosse feita, é mostrado abaixo. Nota que as linhas, filas, e diagonais cada um soma 111. Também, as pequenas diagonais que contêm os números 35-32-2 mais 33-5-4 somam a 111, assim como faz em a pequena diagonal que contêm números 24-23-22 mais 17-14-11. Você pode achar muitas outras relações, algum óbvio e outros bastante distante. Quadrados Mágicos

31. Você agora está em posição de produzir quadrados mágicos de quase qualquer tamanho. Aqui temos uma excelente aplicação, que usa quadrados mágicos de 9, 16 ou 25 células. Solicite ao seu espectador para escolher qualquer numero de dois dígitos, por exemplo, digamos que ele escolheu 27. Você faz uma anotação em um pedaço papel e dá para alguém guardar em lugar seguro. Você começa a produzir um quadrado mágico que começa com o número fornecido pelo espectador. Quadrados Mágicos

32. Depois de completar o quadrado, e mostrando que as linhas, filas, diagonais, etc. produzem o mesmo total mágico. Vamos assumir que o total mágico é 93. Você agora pede ao espectador que mantinha o pedaço de papel em lugar seguro que o abra e leia o que você havia anotado antes da construção do quadrado mágico. Seu espectador leria: “Eu predigo que o total mágico é 93” Você aparentemente, predisse o total. Vamos primeiro ilustrar o principio usado em quadrados de nove células. Quadrados Mágicos

33. Vamos assumir que seu espectador escolheu o número 27, e que você decide construir um quadrado de nove células usando este número. Para determinar a “profecia" ou subseqüentemente chegar ao total mágico você precisa processar o seguinte calculo: Multiplique o número escolhido por 3, e some 12 para o produto. Neste caso, 3 vezes 27 é 81, e 81 mais 12 são 93. Você prediria "93". Depois de dar a profecia a um dos espectadores, construa uma quadrado de 3 por 3 iniciando com o número 27. Seu quadrado acabado deve ser como quadrado abaixo. Enfatize que chegamos a um total mágico de 93, e mostre que a soma de uma linha, coluna ou fila, diagonal, representa este total mágico. Quadrados Mágicos

34. Usando um quadrado de 16 células requer uma computação diferente. Para um quadrado 4 por 4 você faz o seguinte: Multiplique o número do espectador por 4, e some 30 ao produto. Vamos mostrar como isto se desenvolve, seu espectador escolheu o número 31. Você o multiplica secretamente por 4 (4 vezes 31 =124) e soma 30 ao produto (124 mais 30 = 154). Neste caso, você prediria 154 como total mágico. Construa um quadrado de 16 células começando com 31. Vide o quadrado acabado abaixo. Note que todas as relações inerente aos quadrados de 16 células são aplicados a este quadrado. Quadrados Mágicos

35. Para um quadrado de 25 células você precisa fazer o seguinte: Multiplique por 5 e some 60. Como exemplo, o seu espectador escolheu o número 12. Você secretamente multiplique 12 por 5 (12 x 5 = 60) e some 60 ao produto (60 mais 60 = 120). Você prediria 120 como o total mágico. Desenvolva um quadrado de 5 por 5 começando com 12, e a quadrado acabado aparece como se segue: Quadrados Mágicos 20 13 36 29 22 14 32 30 23 21 33 31 24 17 15 27 25 18 16 34 26 19 12 35 28

36. Para um quadrado de 25 células você precisa fazer o seguinte: Multiplique por 5 e some 60. Como exemplo, o seu espectador escolheu o número 12. Você secretamente multiplique 12 por 5 (12 x 5 = 60) e some 60 ao produto (60 mais 60 = 120). Você prediria 120 como o total mágico. Desenvolva um quadrado de 5 por 5 começando com 12, e a quadrado acabado aparece como se segue: Quadrados Mágicos 20 13 36 29 22 14 32 30 23 21 33 31 24 17 15 27 25 18 16 34 26 19 12 35 28