F1 e F2 são transformações lineares de R3 em R3. Apenas a aplicação c) não é uma transformação linear pois não preserva a soma e escalar.

1. r
I
I
lista 6: Gabarito
1) Dar um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do R 3 :
a) U = {(x,y,z) E R3
1x-2y = O};
Como x-2y = °temos x = 2y. Assim:
(x, y, z) = (2y,y,z) = y.(2,1,0)+z.(0,0,1)
Portanto U =[(2,1,0),(0,0,1)].
b) V = {(x,y,z) E R3
Ix+z= °e x-2y = O};
Como x + z = Otemos z = -x. De x -2y = °temos -2y = -x ou y = x/2. Assim:
(x, y, z) = (x,x/2, -x) = x.(1, Yz, -1)
Logo V = [(1, Y2, -1) ].
c) W = {(x,y,z) E R3
1x + 2y - 3z = O};
Temos x = 3z-2y. Assim:
(x, y, z) = (3z-2y,y,z) = y(-2,1,0)+z(3,0,1)
Logo W = [(-2,1,0), (3,0,1)].
d) UnW;
(x,y,z) E U nW se e só se x-2y = °e x +2y- 3z = O.
Logo x = 2y e 2y+2y-3z = °o que implica em z = 4y/3. Assim:
(x,y,z) = (2y,y,4y/3) = y.(2,1,4/3) e U nW = [(2,1,4/3)].
e) V + W.
V = [(1, Yz , -1)]
W = [(-2,1,0), (3,0,1)]
V + W = {v + w I v E V e W E W} = {a(1, Yz, -1) + b(-2,1,0) + c(3,0,1) I a,b,c E R}
Assim V + W = [(1, Yz , -1), (-2,1,0), (3,0,1)], o que conclui o solicitado. Mas, sendo
(x,y,z) E R3
, veja que da igualdade:
(x,y,z) = a. (1, Y2, -1) + b. (-2,1,0) + c. (3,0,1) = (a-2b+3c, a/2 +b, -a+c)
obtemos o sistema linear:
{~:
-2b +Sc =
x r -2b +Sc = x
+b = y~ -4b +3c = x-2y~
+c = z -2b +4c = x+z
r
-2b +3c = x
-4b +3c = x-2y
5c = x+2y+2z
;.,.::,
que é possível e determinado. Logo V+W = R3.
2) Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M 2 (R):

2. Denotemos M, (R) ~ {( : : ]a,b, c,d E R} . Como a igualdade
x(l 0J+ (1 1J+z(0 °J+w(O 1J.=(a bJ
01 yoo 11 12 cd
gera o sistema linear:
x +y = a x +y = a
y +w = b y +w = b
z +w = C z +w = C
X +z +2w = d -y +z +2w = d-a
x +y = a x +y = a
y +w = b y +w = b
z +w = C z +w = C
+z +3w = d-a+b +2w = d-a+b-c
que é possível, temos que as matrizes dadas geram M2
(R).
3) Mostrar que os dois conjuntos {(1,-1,2),(3,0,1)} e {(-1,-2,3),(3,3,-4)} geram o
mesmo sub-espaço vetorial do R 3
•

3. •.
lista 7: Gabarito
1) Verificar se os subconjuntos do R3
, abaixo, são linearmente independentes:
a) {(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1), (2,3,5)};
a(1,0,0)+b(0, 1,0)+c(0,0, 1)+d(2,3,5) = (0,0,0)
(a,O,O)+(O,b,O)+(O,O,c)+(2d,3d,5d) = (0,0,0)
(a+2d,b+3d,c+5d) = (0,0,0)
{
a + 2d = °
Como o sistema b + 3d = °é indeterminado temos que o conjunto dado é LD.
c + 5d = °
b) {(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-2)};
a(1,1,1) +b(1,0,1)+c(1,0,-2) = (0,0,0)
(a,a,a)+(b,O,b )+(c,0,-2c) = (0,0,0)
(a+b+c, a, a+b-2c) = (0,0,0)
Como o sistema {: + b + c : ~ ~ {a :: :: : ~ é determinado temos que o
a + b - 2c = ° -3c = °
conjunto dado é LI.
c) {(0,0,0),(1,2,3),(4,1,-2)};
O conjunto dado é LD pois ele contem o vetar nulo.
d) {(1,1,1),(1,2,1),(3,2,-1)}.
a(1,I,I) +b(1,2,1)+c(3, 2,-1) = (0,0,0)
(a,a,a)+(b,2b,b)+(3c,2c,-c) = (0,0,0)
(a+b+3c, a+2b+2c, a+b-c) = (0,0,0)
{
a + b + 3c = ° {a + b + c = °Como o sistema a + 2b + 2c = °~ b - c = ° é determinado temos que o
a + b - c = ° -4c = °
conjunto dado é LI.
2) Verificar se os subconjuntos de P4 (R), dados abaixo, são linearmente
independentes:
a) {1,x-l,x2
+Zx +Lx"];
O conjunto dado não é LI.
b) {2x,x2
-i Lx-i-Lx" -1};
O conjunto dado não é LI.
c) {x(x-l),x3
,2x3
- x2
,x};
O conjunto dado não é LI.

4. d) {X
4
+ x-I, x' - X + 1,x2
-I}.
O conjunto dado é LI.
3) Determinar m e n para que os conjuntos de vetores do R3
, dados abaixo,
sejam LI:
a) {(3,5m,1),(2,0,4), (1,m,3)};
Para mi-O o conjunto é LI.
b) {(1,3,5),(2,m+ 1,1O)};
Para m i- 5 o conjunto é LI.
c) {(6,2,n),(3,m + n,m -I}.
Para m i- 1 e n i- °o conjunto é LI.
4) Seja {u,v, w} um conjunto LI de vetores de um espaço vetorial V. Provar que
o conjunto:
{u+ v- 3w,u+ 3v-w, v+ w}
éLD.

5. lista 8: Gabarito
1) Dar uma base e a dimensão do sub-espaço W do R
4
, onde:
a) W={(x,y,z,t) E R
4
!x-y=y·ex-3y+t=0};
Como x-y = y temos x = 2y e como x-3y + t = °temos t = 3y-x= 3y -2y = y.
Logo (x, y, z, t) = (2y, y, z, y) = y(2,1,0,1)+z(0,0,1,0).
Então, os vetores VI = (2,1,0,1) e V2=(0,0,1,0) geram W.
Vamos verificar se VI e V2são LI:
aI (2,1,0,1 )+a2(0,0, 1,0) = (0,0,0,0)
(2aI, a..O, al)+ (0,0, a2,0) = (0,0,0,0)
(2al, ai, a2, ai) = (0,0,0,0).
Logo ai = °e a2 = °e VI e V2são LI.
Portanto, B = { (2,1,0,1), (0,0,1,0)} é base de W e dim W = 2.
b) W = {(x, y, z, t) E R 4!X- y = °e x + 2y + t = O}.
Como x-y = °temos x = y e como x+2y+t = °temos t = -x-2y = -y-2y = -3y.
Logo (x, y, z, t) = (y, y, z,-3y) = y(1,l,0,-3)+z(0,0,1,0).
Então, os vetores VI = (1,1,0,-3)e V2=(0,0,1,0) geram W.
Vamos verificar se VI e V2são LI:
al(1,1,0,-3)+a2(0,0,1,0) = (0,0,0,0)
(a., aI,0,-3al)+ (0,0, a2,0) = (0,0,0,0)
(ai, ai, a2, -3al) = (0,0,0,0). Logo ai = °e a2 = °e VI e V2são LI.
Portanto, B = { (1,1,0,-3), (0,0,1,0)} é base de W e dim W = 2.
e
2) No espaço vetorial R
3
, consideremos os seguintes sub-espaços:
U = {(x,y,z) E R3
1x = O},
V = {(x,y,z) E R
3
!y-2z= O},
W = [(1,1,0),(0,0,2)].
Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços:
a) U;
Uma base é {(0,1,0), (0,0,1)} e a dimensão é 2.
b) V;
Uma base é {(1,0,0), (0,2,1)} e a dimensão é 2.
c) W;
Uma base é {(1,1,0), (0,0,2)} e a dimensão é 2.
d)UnV;
Uma base é {(0,2,1)} e a dimensão é 1.
e) V + W;
Uma base é {(1,0,0), (0,2,1), (0,0,2)} e a dimensão é 3. Portanto V + W = R
3
.

6. f) U+ v + w.
Observe que U + V + W = R
3
e portanto a dimensão é 3 e uma base é a base canônica.
3) Mostrar que as matrizes:
formam uma base de M2
(R).
4) Determinar uma base de R4 que contenha os seguintes vetores:
(
1 1
Como
1 1
(0,0,0,1)}.
1 1
° 1
(1,1,1,0)e (1,1,2,1).
0) 4
1 uma base do R é {(l,l,1,0), (0,1,0,0), (1,1,2,1),
5) Mostrar que os polinômios:
1 l+t 1-t2
e 1-t-t2
-e, " ,
formam uma base de P3(R).
6) Determinar uma base e a dimensão do espaço solução do sistema:
rx-y-z-t=O
S:~3x- y +2z-4t=0.
l 2y + 5z + t = °
{
X - y - z - t = ° {X - Y - z - t = ° {X - Y - z - t = °
S: 3x - y + 2z - 4t = °~ 2y + 5z - t = °~ 2y + 5z - t = °
. 2y + 5z + t = ° 2y + 5z + t = ° 2t = °
. . 1 - ,{( -3 -5 O) R}e aSSImo seu conjunto so uçao e 2z, 2z, z, Z E .
Logo uma base é {( -} , -; ,I,O)} e a dimensão é I.

7. lista 9: gabarito
1) Determinar as coordenadas do vetor u = (4,-5,3) E R3, em relação às bases:
a) Canônica;
As coordenadas são [ -:5) .
b) {(1,1,1),(1,2,0), (3,1,0)};
As coordenadas são [ ~5 ) .
c) {(1,2,1),(0,3,2),(1,1,4)}.
21/ 1111
As coordenadas são 4J{1 .
23/
111
2) Determinar as coordenadas do polinômio e E P3(R), em relação à base:
{1,2-t,t2 +1,I+t+e}.
As coordenadas são
-3
1
°1
3) A matriz de mudança da base {I+ t,1- e} para uma base C, ambas do mesmo
sub-espaço de P2 (R) é:
Determinar a base C.
Sendo C = Ic., C2} temos:
{
c1 = 1(I+t) + 1(1-t
2
) d d b {c1 =_t
2
+t+2 L
e on e o temos . ogo:
c2 = 2(I+t) - 1(1-t2) c2 =t2 +2t+l
C = {-e +t+2, e+2t+1}.
4) No espaço R3
, consideremos as bases B={epe2,e3} e C={gpg2,g3}
relacionadas da seguinte maneira:

8. rgl = e1 - e2 - e3
~ g2 = 2e2 + 3e3 .
193 = 3e1 + e3
a) Determinar a matriz de mudança da base B para a base C e da base C para a
base B.
A matriz de mudança da base B para a base C é P = [~ 1 ~ ~J.A matriz de mudança
-1 3 1
da base C para a base B é p-
1
= [=~ =: ~J.
1 3 -2
b) Se um vetor u de R 3
, apresenta as coordenadas 1, 2, e 3 em relação à base B,
quais as coordenadas de u em relação à base C?
Seja Y as coordenadas de u em relação à base C. Sendo P a matriz de mudança da base
B para a base C temos que:
y~p-lm~[~~=3:}2mJ ~[-n

9. lista 10: gabarito
1) Quais das seguintes aplicações de R 3 ~ R 3 são transformações lineares?
a) F](x,y,z) = (x-y,x+y,O);
É uma transformação linear.
b) F2(x,y,z) = (2x-y+z,O,O);
É uma transformação linear.
c) F3(x,y,z) = (x,x,x);
É uma transformação linear.
d) F4(x,y,z) = (2x2 +3y,x,z).
Não é uma transformação linear.
2) Seja F:R
3
~ R
3
o operador linear assim definido na base canônica:
F(l,O,O)= (2,3,1),
F(O,I,O)= (5,2,7),
F(O,O,I)= (-2,0,7).
Determinar F(x,y,z) onde (x,y,z) é um vetor genérico do R3. Mostrar que F
realmente é um operador linear.
Seja (x, y, z) é um vetor genérico do R 3. Temos:
(x,y,z) = x(1,O,O)+ y(O,I,O) + z(O,O,I).
Logo:
F(x,y,z) = xF(1,O,O) + yF(O,I,O) + zF(O,O,I)
= x(2,3,1) + y(S,2,7) + z(-2,0,7) = (2x + Sy - 2z, 3x + 2y, x + 7y + 7z).
Sejam (xpypz])ER3,(X2'Y2,z2)ER3e aER:
F((xpypz])+(X2'Y2,Z2»=F(x] +x2'Y] +Y2'Z] +Z2)
= (2(x] +x2)+S(Y1 +Y2)-2(Z1 +z2),3(x1 +x2)+2(Y1 +Y2)'(X, +x2)+7(y, +Y2)+7(z, +Z2»
= (Zx, +2x2 +Sy, +5Y2 -2z1 -2z2,3x1 +3x2 +2Y1 +2Y2,X1 +x2 +7y, +7Y2 +7z1 +7z2)
=(2x] +SY1 -2z, +2x2 +SY2 -2z2,3x] +Zy. +3x2 +2Y2'X, +7y, +7z, +x2 +7Y2 +7z2)
= (Zx. +SY1 -2zp3x1 +2Ypx1 +7y, +7z,)+(2x2 +SY2 -2z2,3x2 +2Y2,X2 +7Y2 +7z2)
= F(x], ypz,) + F(x2, Y2 ,Z2);
F(a(xpypz]» = F(axpaYpaz1)
= (2ax, + Sccy, -2azp3ax, +2aYpax] +7ay, +7az,)
= (a(2x1 +5Y1-2z,),a(3x, +2y,),a(x1 +7y, +7zJ)
= a(2x] + Sy, - 2zp3x] + 2y" x1 + 7y] + 7z,)
= aF(x"y"z1)'
Logo F é uma transformação linear.

10. 3) Seja u=(x,y,z,t) um vetor genérico do R4
• Quais das aplicações definidas
abaixo são operadores lineares do R4
?
a) F(u) = u + (1,0,1,0);
F(x,y,z,t) = (x + 1, y, z + 1, t) não é um operador linear.
b) F(u) = (1,0,1,1);
F(x,y,z,t) = (1,0,1,1) não é um operador linear.
c) F(u) = (x,x- z,y + z.x-i t).
F(x,y,z,t) = (x, x - z, y + z, x + t) é um operador linear.
4) Seja F o operador linear do R2
tal que:
F(1,O)= (2,1) e F(O,I) = (1,4).
a) Determinar F(2,4);
F(2,4) = 2F(1,0) + 4F(0,1) = 2(2,1) + 4(1,4) = (8,18).
b) Determinar (x.y) E R2
tal que F(x,y) = (2,3).
F(x,y) = xF(1,O) + yF(O,I) = x(2,1) + y(1,4) = (2,3). Logo:
{
2X + Y = 2 ~ {2X + Y = 2,
x + 4y = 3 7y = 4
. 4 5. (5 4)e assIm temos y=- e x=-,ouseJa, (x,y) = -,- .
7 7 7 7
5) Para cada uma das transformações lineares do exercício 1) determine a matriz
canônica:
a) F1(x,y,z) = (x-y,x+y,O);
[
1 -1 0JA matriz canônica é C1 = 1 1 O.
° ° °
b) F2 (x,y,z) = (2x - Y+ z,O,O);
[
2 -1 lJA matriz canônica é C2 = ° ° O.
° ° °
c) F3(x,y,z) = (x,x,x);
[
1 °
A matriz canônica é C3 = 1 °
1 °

11. lista 11: gabarito
1) Para cada uma das transformações lineares abaixo, determinar uma base e a
dimensão do núcleo e da imagem:
a) F:R
3
~ R dada por F(x,y,z) = x+y-z;
Uma base para Ker(F) é B = {(-1,1,0), (1,0,1)} e assim dim(Ker(F» = 2.
Como Im(F) = R temos dimrlmff') = 1.
b) F:R
2
~ R
2
dada por F(x,y) = (2x,x+y);
Ker(F) = {(O,O)} e assim dim(Ker(F» = O.
Uma base para Im(F) é C = {(2,1), (0,1)} e assim dimflrruf') = 2.
c) F:R3
~ R 4 dada por F(x,y,z, t) = (x- Y- z.x + Y+ z,2x- y+ z,-y);
Ker(F) = {(O,O,O)} e assim dim(Ker(F» = O.
Uma base para Im(F) é C = {(1,1,2,0), (-1,1,-1,-1), (-1,1,1,0)} e assim dimflnuf') = 3.
d) F:M, (R) -> M, (R) dada por F(X) ~ MX + X onde M ~ (~ ~)
Ker(F) ~ {( ~ ~)} e assim dim(Ker(F)) ~ O.
Uma base para Im(F) é C ~ {[~ ~J[~~JG~J[~:)}eassim diln(lm(F)) ~ 4
e) F: M, (R) -> M, (R) dada por F(X) ~ MX - XM onde M ~ (~ ~).
Uma base para Ker(F) é B ~ {[ ~ ~J[~ ~)}e assim dim(Ker(F)) ~ 2
Uma base para Im(F) é C ~ {[ ~ -0
2
J[~ _°2
) } e assim dim(lm(F)) ~ 4.
2) Determinar um operador linear do R 4 cujo núcleo é gerado por:
(1,1,0,0) e (0,0,1,0).
Sabemos que se T : R 4 ~ R 4 é definida por:
T(x,y,z,t) = (a.x+b.y+c.z+d.t, a-x+b-y+c-z+d-t, a.x+b.y+c-z+d-t, a.x+bay+caz+dat)
onde ai, b., c., d., a2, b2, C2,d-, a3, b3, C3,d3, aa, b., C4 e d, são números reais para todo
(x,y,z,t) E R
4
é um operador linear.
Como T(1,l,O,O) = (0,0,0,0) e (1,1,0,0) = (1,0,0,0) + (0,1,0,0) segue que:
T(O,I,O,O) = - T(1,O,O,O). Além disso T(O,O,l,O) = (0,0,0,0).
Observe ainda que T(O,O,O,I) deve ser diferente de (0,0,0,0) pois caso contrário
(0,0,0,1) E Ker(F) o que não é verdade pois Ker(T) = [(1,1,0,0), (0,0,1,0).
Como desejamos um operador escolhemos:
T(1,O,O,O) = (1,0,0,0),
T(O,l,O,O) = (-1,0,0,0) e

12. T(O,O,O,l) = (0,0,0,1).
Observe que não poderíamos escolher também T(O,O,O,l) = (k,O,O,O),com k s R*,
pois neste caso dim(Im(T)) = 1 contradizendo o teorema do núcleo e da imagem.
De T(l,O,O,O) = (1,0,0,0) obtemos (aI,a2,a3,{4) = (1,0,0,0).
De T(O,l,O,O) = (-1,0,0,0) obtemos (bI,b2,b3,b4)= (-1,0,0,0).
De T(O,O,l,O) = (0,0,0,0) obtemos (c],C2,C3,C4)= (0,0,0,0).
De T(O,O,O,l) = (0,0,0,1) obtemos (dI,d2,d3,d4) = (0,0,0,1).
Logo T(x,y,z,t) = (x-y, 0, 0, t).
3) Determinar um operador linear do R3 cujo núcleo tenha dimensão 1.
Sabemos que se T : R3 ---+ R3 é definida por:
T(x,y,z) = (a.x+b.y+c.z, a2x+b2Y+C2Z,a3x+b3Y+C3Z,(4x+b4Y+C4Z)
onde a., b., c], a2, b2, C2,a3,b3, C3,(4, b, e C4são números reais para todo (x,y,z,) E R3 é
um operador linear.
Como dim(Ker(T)) = 1 temos que dim(Im(T)) = 2 e assim podemos escolher:
T(l,O,O) = (0,0,0),
T(O,l,O) = (0,1,0) e
T(O,O,l) = (0,0,1).
Daí obtemos (aI,a2,a3) = (0,0,0), (b1,b2,b3) = (0,1,0) e (CI,C2,C3)= (0,0,1).
Logo T(x,y,z) = (O,y, z).
4) Seja F:R 3 ---+ R 3 definida por:
F(l,O,O) = (1,1,0),
F(O,l,O) = (1,1,2),
F(O,O,l) = (0,0,2).
Determinar uma base para Ker(F) e Im(F).
Seja (x, y, z) é um vetor genérico do R
3
. Temos:
(x,y,z) = x(1,O,O) + y(O,l,O) + z(O,O,l).
Logo:
F(x,y,z) = xF(1,O,O) + yF(O,l,O) + zF(O,O,l)
= x(1,l,O) + y(1,1,2) + z(0,0,2) = (x + y, x + y, 2y+ 2z).
Daí:
Uma base para Ker(F) é B = {(1,-1,1)} e assim dim(Ker(F)) = l.
Uma base para Im(F) é C = {(1,1,0), (0,0,1)} e assim dim(Im(F)) = 2.