SOAL IPA UN

Kumpulan soal PerIndikator UN 2012 Prog. IPA
http://www.soalmatematik.com

Dijinkan memperbanyak e-book ini asal tetap mencantumkan alamat sumbernya

2


DAFTAR ISI

1. Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis...................................................................................2
2. Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor.........................4
3. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma...............................................................................................5
4. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat..........................................................8
5. Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan............................9
6. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear.....................................10
7. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.....................................................................11
8. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor.........................................13
9. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers...............................14
10. Menyelesaikan masalah program linear..............................................................................................................15
11. Menyelesaikan operasi matriks...........................................................................................................................16
12. Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu...........................................................18
13. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara
dua vektor............................................................................................................................................................19
14. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi..................................20
15. Menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih......................................................21
16. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma...............................................................23
17. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen atau fungsi logaritma..................................24
18. Menyelesaikan masalah deret aritmetika............................................................................................................25
19. Menyelesaikan masalah deret geometri..............................................................................................................26
20. Menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang................................................27
21. Menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus atau kosinus.......................................29
22. Menyelesaikan persamaan trigonometri.............................................................................................................31
23. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus
jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangen serta jumlah dan selisih dua sudut.............................................32
24. Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri..............................................................................33
25. Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi........................................................................................................34
26. Menentukan integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri...................................35
27. Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral...........................................37
28. Menghitung ukuran pemusatan dari data dalam bentuk tabel, diagram atau grafik...........................................38
29. Menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi atau kombinasi.. 41
30. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian.........................................................43

3


KUMPULAN SOAL INDIKATOR 1 SKL UN 2012
Menentukan pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan dari dua premis yang diberikan
RANGKUMAN MATERI

Penarikan Kesimpulan
Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu:

1) Modus Ponens 2) Modus Tollens 3) Silogisme
(MP) (MT)
p ⇒ q : premis 1 p ⇒ q : premis 1 p⇒q : premis 1
P : premis 2 ~q : premis 2 q⇒r : premis 2
∴q : kesimpulan ∴~p : kesimpulan ∴p ⇒ : kesimpulan
r

SOAL LATIHAN
1. Tentukan kesimpulan yang sah dari tiap argumentasi berikut
a. p∨q d. p ⇒ q
~ p__ ~q ∨ r___
∴…….. ∴ ........... ≡ ...........
≡ ...........
b. ~ p ∨ q
~ q___ e. ~ q ⇒ ~ p
∴……. ~ r ⇒ ~ q_
∴ ........... ≡ ...........
c. ~q → p ≡ ...........
~r → ~q_
f. P ⇒ q
∴ ........... ≡ ...........
q⇒r
≡ ...........
∴ ........... ≡ ...........
≡ ...........
2. tentukan kesimpulan yang sah dari premis–premis berikut
a. 1. Jika semua siswa SMA di DKI Jakarta lulus ujian, maka Pak Gubernur DKI Jakarta sujud syukur
2. Pak Gubernur DKI Jakarta tidak sujud syukur
Kesimpulan : ...
b. 1. Jika saya dapat mengerjakan soal tryout, maka saya dapat menyelesaikan soal UN
2. Saya tidak dapat menyelesaikan soal UN
Kesimpulan : ...
c. 1. Jika Fadil lulus ujian pegawai atau menikah maka ayah memberi hadiah uang.
2. Ayah tidak memberi hadiah uang.
Kesimpulan : …
d. 1. Jika ia dermawan dan pandai bergaul maka ia disenangi masyarakat
2. Ia tidak disenangi masyarakat.
Kesimpulan: ...
e. 1. Jika Marni rajin belajar atau patuh pada orang tua, maka ibu membelikan sepatu baru.
2. Ibu tidak membelikan sepatu baru
Kesimpulan …
f. 1. Jika hari hujan, maka ibu memakai payung
2. Ibu tidak memakai payung
Kesimpulan …

4


3. Tentukan 3 bentuk kesimpulan yang sah dari d. 1. Jika Adi rajin belajar, maka Adi lulus ujian
premis–premis berikut 2. Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima
a. 1. Jika ibu tidak pergi maka adik senang di PTN
2. Jika adik senang maka dia tersenyum. Kesimpulan …
Kesimpulan …
e. 1. Jika dia bermbut gondrong maka dia seorang
b. 1. Jika Andi murid rajin, maka Andi murid pandai seniman
2. Jika Andi murid pandai, maka ia lulus ujian 2. Jika dia seorang seniman maka dia
Kesimpulan … berpakaian nyentrik.
Kesimpulan …
c. 1. Jika saya tidak rajin belajar, maka nilai ujian
saya kurang baik. f. 1. Jika sampah dibuang di sembarang tempat
2. Jika nilai ujian saya kurang baik , maka saya maka keadaan menjadi kumuh
tidak lulus ujian.. 2. Jika keadaan menjadi kumuh maka wabah
Kesimpulan … penyakit datang
Kesimpulan …

4. Tentukan 3 bentuk kesimpulan yang sah dari
premis–premis berikut d. P1 : Mariam tidak rajin belajar atau ia pandai
a. P1 : saya tidak giat belajar atau saya bisa meraih P2 : Mariam lulus SNMPTN atau ia tidak pandai
juara Kesimpulan …
P2 : Jika saya bisa meraih juara maka saya
boleh ikut bertanding e. P1 : pengendara tidak taat aturan atau lalu lintas
Kesimpulan … lancar.
P2 : saya terlambat ujian atau lalu lintas tidak
b. P1 : Dodi tidak rajin belajar atau ia naik kelas. lancar
P2 : Jika Dodi naik kelas, maka ia akan Kesimpulan …
dibelikan baju.
Kesimpulan … f. P1 : lapisan ozon di atmosfer tidak menipis atau
suhu bumi meningkat.
c. P1 : Adik tidak makan atau adik tidak lemas. P2 : keseimbangan alam terganggu atau suhu
P2 : Jika adik tidak bertenaga, maka dia lemas. bumi tidak meningkat
Kesimpulan … Kesimpulan …

5. Tentukan 3 bentuk kesimpulan yang sah dari premis–premis berikut
a. Premis 1 : Jika nilai matematika dan Bahasa Inggris baik maka semua siswa senang
Premis 2 : Beberapa siswa tidak senang atau prosentase kelulusan 100%
Kesimpulan …

b. Premis 1 : Jika Ani lulus ujian, maka ia melamar pekerjaan atau kuliah di luar negeri
Premis 2 : Jika rajin dan tekun maka Ani lulus ujian
Kesimpulan …

c. Premis 1 : Jika saya lulus ujian nasional, maka ibu dan ayah bahagia
Premis 2 : Jika ibu dan ayah bahagia maka saya tersenyum
Kesimpulan …

d. Premis 1 : Jika semua siswa menyukai matematika, maka guru senang mengajar.
Premis 2 : Guru tidak senang mengajar atau semua siswa lulus ujian.
Kesimpulan …

e. Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka semua bahan pokok naik
Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik, maka semua orang tidak senang
Kesimpulan …

f. Premis 1 : Jika ujian nasional dimajukan, maka semua siswa gelisah
Premis 2 : Jika semua siswa gelisah maka semua orang tua siswa ketakutan
Kesimpulan …

5


Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor
RANGKUMAN MATERI
Pernyataan–Pernyataan yang Equivalen
1) implikasi ≡ kontraposisi :p⇒q≡~q⇒~p≡~p∨q
2) ~(p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q : ingkaran dari konjungsi
3) ~(p ∨ q) ≡ ~ p ∧ ~ q : ingkaran dari disjungsi
4) ~(p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q : ingkaran dari implikasi
5) ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p) : ingkaran dari biimplikasi
6) ~(∀x) ≡ ∃(~x) : ingkaran dari kuantor universal
7) ~(∃x) ≡ ∀(~x) : ingkaran dari kuantor eksistensial

SOAL LATIHAN 2A
A. Tentukan ingkaran dari tiap pernyataan majemuk di bawah ini
1. 18 habis dibagi 2 atau 9
2. Sekarang les matematika atau besok lesnya libur
3. Saya siswa kelas XII IPA atau saya ikut Ujian Nasional
4. Hari ini tidak hujan dan saya tidak membawa payung
5. Ani senang bernyanyi dan tidak senang olah raga
6. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi dan harga barang naik
7. Harga BBM turun, tetapi harga sembako tinggi
8. Jika Prabu mendapatkan nilai jelek maka ia tidak mendapatkan uang saku
9. Jika hari hujan maka Amir tidak berangkat ke sekolah
10. Jika Ali seorang pelajar SMA, maka ia mempunyai kartu pelajar
11. Jika harga penawaran tinggi maka permintaan rendah
12. Beberapa siswa memakai kacamata dan memiliki laptop
13. Beberapa siswa naik kendaraan umum atau miliki pribadi
14. Semua bunga harum baunya dan hijau daunnya
15. Semua warga desa memiliki televisi dan motor
16. Jika ulangan tidak jadi maka semua murid bersuka ria
17. Jika ada guru yang tidak hadir maka semua siswa sedih dan prihatin
18. Jika tidak ada operasi polantas maka semua pengendara motor ngebut atau tidak memakai helm

SOAL LATIHAN 2B
B. Tentukan dua pernyataan yang ekuivalen (setara) dengan pernyataan majemuk di bawah ini
1. Saya lulus UN atau ke Jakarta
2. Harga cabai rawit tidak turun atau kaum ibu bergembira
3. Polisi turun tangan atau warga bertindak anarkis
4. Tuntutan karyawan di turuti atau terjadi mogok masal
5. Beberapa siswa masuk kelas atau pelajaran kosong
6. Jika BBM naik maka harga bahan pokok naik
7. Jika saya sakit maka saya minum obat
8. Jika Amir pandai maka diberi hadiah
9. Jika Ino seorang atlit maka Ino tidak merokok
10. Jika semua siswa kelas XII Lulus Ujian maka kepala sekolah gembira

6


Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma.
RANGKUMAN MATERI
A. Bentuk Pangkat
1) Pangkat negatif dan nol
Misalkan a ∈ R dan a ≠ 0, maka:
1 1
a) a-n = atau an =
a n
a −n
b) a0 = 1

2) Sifat-Sifat Pangkat
Jika a dan b bilangan real serta n, p, q bilangan bulat positif, maka berlaku:
a) ap × aq = ap+q d) ( a ×b ) n = an×bn
b) ap : aq = ap-q
e) ( a )n = a n

c) (a p )q = a pq b b n

SOAL LATIHAN 3A
Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar di bawah ini:
16 x 2 y −3 36 x 2 y 2 5b( ab) 2
1. =… 8. ⋅ =…
2 x −4 y −7 15ab 24 x 3 y 2
7 x 3 y −4 z −6
2. =… −2
84 x −7 y − z −4
1
(−2a ) 3 ( 2a) 3

24a −7 b −2 c 9. 1 =…
3. =… (16a 4 ) 3
6a −2 b −3 c −6 4
−1  2a 2 
 27 a −5 b −3  10.  −1  ⋅ b : 8a 6 c 3 = …
4.  5 −7 −5
3 a b


=… c  a2
 
 
(5a 3b −2 ) 4
 −2  2 
1

a 3   2 1   a2 
5. =… × a ⋅b  : 1
3 2
11.  1  =…
(5a −4 b −5 ) −2  b− 3     b3 
   
( 2 x 3 y −4 ) −3
6. =… 3
a4 3
a a
4 x −4 y 2 12. =…
3
5 −7 −6 a a
 1   1   p −1 
7. 
 
 
1 − p 
 
1 + p 
 =…
1 + p     

7


B. Bentuk Akar
1) Definisi bentuk Akar
Jika a bilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku:
1
a) an = n a
m
b) n
a n = am

2) Operasi Aljabar Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:
a) a c + b c = (a + b) c
b) a c – b c = (a – b) c
c) a× b = a ×b

d) a+ b = ( a +b) +2 ab

e) a− b = ( a +b) −2 ab

3) Merasionalkan penyebut
Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak dapat di akar), dapat
dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah-kaidah sebagai berikut:

a) a = a × b = a bb
b b b

c(a − b )
b) c = c × a− b = 2
a+ b a+ b a− b a −b

c( a − b )
c = c × a− b = a −b
a+ b a+ b a− b

SOAL LATIHAN 3B
Sederhanakanlah setiap bentuk akar di bawah ini:
1. 12 + 27 − 3 = … 5 +2 3
2. 8 + 75 − 32 + 243 = … ( ) 6.
5 −3 3
=…

(
3. 3 2 − 4 3 2 + 3 = … )( ) 7.
3 +3 2
=…
24 3 −6 2
4. =…
3− 7 4( 2 + 3 )( 2 − 3 )
7 8. =…
(3 + 5 )
5. =…
3+ 2 6(3 + 5 )(3 − 5 )
9. =…
2+ 6

8


C. Logaritma
a) Pengertian logaritma
Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah
bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0, g ≠ 1), maka:
log a = x jika hanya jika gx = a
g

atau bisa di tulis :
(1) untuk glog a = x ⇒ a = gx
(2) untuk gx = a ⇒ x = glog a

b) sifat-sifat logaritma sebagai berikut:
(1) glog (a × b) = glog a + glog b 1
(5) glog a =
(a )
a
log g
(2) glog b = glog a – glog b
(6) glog a × alog b = glog b
(3) glog an = n × glog a
gn m
p
(7) log a m = n
g
log a
g
log a
(4) log a = p g
log g (8) g log a
=a

SOAL LATIHAN 3C
Tentukanlah nilai logaritma dari setiap soal di bawah ini
1. 2log 32 + 2log 12 – 2log 6 =… 27
log 9 + 2 log 3 ⋅ 3 log 4
2 2 2
2. log 3 – log 9 + log 12 = … 11. 3
=…
5 2 5 2 log 2 − 3 log 18
3. log 50 + log 48 – log 2 – log 3 = …
1 1
4. 2log 4 + 3 ⋅ 2log3 ⋅ 3log 4 = … 12. 3log 6 + 2 −
4 =…
log 3 log 3
5. 9log 25 ⋅ 5log 2 – 3log 54 = …
5 1 log 15
6. log 25 + 2 log 8 × 3 log 9 =…
1
13. 3log 7 – −
5
log 3 log 3 = …
7. 8

( )
1 2 14. Jika log a = 1 maka nilai a = …
3
5 2
2 log 5 × log 4 × log 1 × 5 log 25 =...
8 15. Jika 2log 3 = a, maka 8log 6 = …
r 1 1 1 16. Jika 2log 3 = m dan 2log 5 = n. maka 2log 90 = …
8. log 5
⋅ q log 3
⋅ p log =… 17. Jika 3log 2 = m dan 2log 5 = n, maka 3log 5 = …
p r q
18. Jika 7log 2 = a dan 2log3 = b, maka 6log 14 = …
log 8 3 + log 9 3 19. Jika 3log 5 = a dan 7log 5 = b, maka 35log 15 = …
9. =…
log 6 3
3
20. Jika 2log5 = x dan 2log3 = y, maka 2 log 300 4 =…
log 6
10.
( 3 log18) −( 3 log 2)2 = …
2

9


Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar–akar persamaan kuadrat

RANGKUMAN MATERI

Jika x1, dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:
b
a) Jumlah akar–akar persamaan kuadrat : x1 + x 2 = − a

D
b) Selisih akar–akar persamaan kuadrat : x1 − x 2 = , x1 > x2
a

c
c) Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat : x1 ⋅ x 2 = a

d) Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar–akar persamaan kuadrat
a. x1 + x 2 = ( x1 + x 2 ) 2 − 2( x1 ⋅ x 2 )
2 2

b. x1 + x 2 = ( x1 + x 2 ) 3 − 3( x1 ⋅ x 2 )( x1 + x 2 )
3 3

1 1 b
c. + = −
x1 x 2 c
Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Jika diketahu x1 dan x2 adalah akar–akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru
dengan akar–akar α dan β adalah : x2 – (α + β)x + α β = 0
1. Jika x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat 2. Jika α dan β adalah akar–akar persamaan
x2 – 5x + 3 = 0, maka tentukanlah nilai dari 2x2 – 3x + 3 = 0, maka tentukanlah nilai dari
a. x1 + x2 a. α+β
b. x1 · x2 b. α·β
c. x1 – x2, x1 > x2
c. α – β, α > β,
d. (x1 + x2)2 – 2 x1 · x2
1 1 d. (α + β)2 – 2 α · β
e. + 1 1
x1 x 2 e. +
α β
1 1
f. + 2 1
+
1
x12
x2 f. 2
α β2
2 2
g. 2 x1 x 2 + 2 x1 x 2 g. 2α2β + 2αβ2
x1 x 2 α β
h. + h. +
x 2 x1 β α

3. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x12 + x22 = 4, maka nilai q = ….
4. Persamaan kuadrat x2 – 7x + 5k + 2 = 0 mempunyai akar–akar x1 dan x2, jika x1 – x2 = 1, maka nilai k = ...
5. Akar–akar persamaan kuadrat x2 + (a – 1)x + 2 = 0 adalah α dan ß. Jika α = – ß dan a> 0 maka nilai 5a = .......
6. Akar–akar persamaan kuadrat x2 – (b + 2)x – 8 = 0 adalah α dan ß . Jika α = – 1 ß maka nilai b adalah …
2
7. Persamaan (2m – 4) x2 + 5x + 2 = 0 mempunyai akar–akar real berkebalikan, maka nilai m = …
8. Persamaan kuadrat x2 + (p – 2)x + p2 – 3 = 0 mempunyai akar–akar berkebalikan, maka tentukanlah nilai p
9. Salah satu akar persamaan kuadrat mx2 – 3x + 1 = 0 dua kali akar yang lain, maka nilai m adalah …
10. Akar–akar persamaan kuadrat 2x2 + mx + 16 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan α, β positif maka nilai m = …
11. Akar–akar persamaan kuadrat x2 + (a – 1)x + 2 = 0 adalah α dan β. Jika α = 2β dan a > 0 maka nilai a = …
12. Jika α dan β adalah akar–akar pesamaan 2 x 2 − x + 5 = 0 , maka persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (α +1)
dan (β +1) adalah ....
13. Akar–akar persamaan x2– 2x – 4 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya (α + 1) dan (β + 1)
adalah …
14. Akar–akar persamaan kuadrat 2x2 – 5x + 1 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akarnya (x1 – 1) dan (x2 – 1 )
adalah …
15. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 5 = 0, mempunyai akar–akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar–akarnya
(2x1 – 3) dan (2x2 – 3) adalah …

10


Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan

Dengan melihat nilai deskriminan persamaan kuadrat akan dapat diketahui kedudukan garis g terhadap parabola h tanpa
harus digambar grafiknya terlebih dahulu yaitu:
1. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real, sehingga garis g memotong parabola h di dua titik
berlainan
2. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang kembar, sehingga garis g menyinggung parabola h
3. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, sehingga garis g tidak memotong ataupun
menyinggung parabola h.

1. Grafik y = px2 + (p + 2)x – p + 4, memotong sumbu X di dua titik. Batas–batas nilai p yang memenuhi adalah …
2. Suatu grafik y = x2 + (m + 1) x + 4 , akan memotong sumbu x pada dua titik, maka harga m adalah : …
3. Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + 2 2 x + (a – 1), a ≠ 0 memotong sumbu X di dua titik berbeda. Batas–batas nilai a
yang memenuhi adalah …
4. Persamaan (m – 1) x2 + 4x + 2 m = 0 mempunyai akar–akar real, maka nilai m adalah …
5. Persamaan Kuadrat (p – 1)x2 + 4x +2p = 0, mempunyai akar– akar real , maka nilai p adalah ....
6. Persamaan kuadrat x + (m – 2)x + 9 = 0 mempunyai akar–akar nyata. Nilai m yang memenuhi adalah …..
7. Persamaan kuadrat x2 + (m – 2)x + 9 = 0 akar–akar nyata. Nilai m yang memenuhi adalah …
1 7
8. Persamaan kuadrat 2 x² + (p + 2)x + (p + 2 ) = 0 akar–akarnya tidak real untuk nilai p =…
9. Parabola y = (a + 1)x + (3a + 5)x + a + 7 menyinggung sumbu X, nilai a yang memenuhi adalah … .
2

10. Persamaan 4x2 – px + 25 = 0 akar–akarnya sama. Nilai p adalah …
11. Persamaan kuadrat (k +2)x2– (2k –1)x + k–1= 0 mempunyai akar–akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan
tersebut adalah …
12. Garis y = mx + 1 memotong fungsi kuadrat y = x2 +5x + 10 di dua titik yang berbeda. Batas nilai m adalah ….
13. Agar garis y = 2x + 3 memotong parabola y = px2 + 2x + p – 1, maka nilai p yang memenuhi adalah ....
14. Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …
15. Garis y = mx – 7 menyinggung kurva y = x2 – 5x + 2 . Nilai m = ….
16. Diketahui garis y = ax – 5 menyinggung kurva y = (x – a)2. Nilai a yang memenuhi adalah ...
17. Agar garis y = −2 x + 3 menyinggung parabola y = x 2 + (m −1) x + 7 , maka nilai m yang memenuhi adalah … .
18. Jika garis 2x + y = p + 4 menyinggung kurva y = –2x2 + (p + 2)x, maka nilai p yang memenuhi adalah ...
19. Garis 2x + y – 2 = 0 menyinggung kurva y = x2 + px + 3 dengan p < 0. Nilai p yang memenuhi adalah ... .
20. Grafik fungsi kuadrat f(x) = –x2 + ax +3 menyinggung garis y = –2x + 7 nilai a yang memenuhi adalah ...
21. Grafik fungsi kuarat f(x) = –ax + 6 menyinggung garis y = 3 x + 1 nilai a yang memenuhi adalah ...
22. Kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + 3x + 4 terhadap garis y = 3x + 4 adalah ......

11


Menyelesaikan masalah sehari–hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear

1. Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih sedikit 15 kg dari hasil
kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225
kg, maka hasil panen Pak Ahmad adalah …
2. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp70.000,00 dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg
anggur adalah Rp90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp130.000,00, maka harga 1 kg
jeruk adalah …
3. Harga 2 buah pisang, 2 buah apel, dan sebuah mangga adalah Rp 1.400,00. di toko buah yang sama harga sebuah
pisang, sebuah apel, dan 2 buah mangga adalah Rp 1.300,00, sedangkan harga sebuah pisang, 3 buah apel, dan
sebuah mangga adalah Rp 1.500,00. Harga sebuah pisang, sebuah apel, dan sebuah mangga di toko buah tersebut
adalah …
4. Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan merk yang sama. Ali
membeli 3 buku tulis, 1 pena, dan 2 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil
dengan harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1 buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Dedi membeli
2 buku tulis, 1 pena, dan 1 pensil. Berapa rupiah Dedi harus membayar?
5. Toko A, toko B, dan toko C menjual sepeda. Ketiga toko tersebut selalu berbelanja di sebuah distributor sepeda yang
sama. Toko A harus membayar Rp 5.500.000,00 untuk pembelian 5 sepeda jenis I dan 4 sepeda jenis II. Toko B harus
membayar RP 3.000.000,00 untuk pembelian 3 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II. Jika toko C membeli 6 sepeda jenis
I dan 2 sepeda jenis II, maka toko C harus membayar …
6. Jumlah tiga buah bilangan adalah 75. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan lain. Bilangan kedua sama
dengan 1 dari jumlah bilangan yang lain. Bilangan pertamanya adalah …
4
7. Irma membeli 2 kg apel dan 3 kg jeruk dengan harga 57.000,00 sedangkan Ade membeli 3 kg apel dan 5 kg jeruk
dengan harga Rp 90.000,00. Jika Surya hanya membeli 1 kg Apel dan 1 kg Jeruk, kemudian ia membayar dengan uang
Rp 100.000,00, maka uang kembalian yang diterima Surya adalah …
8. Ibu Juju membeli 4 saset shampo Rejoice dan 3 saset shampo Sunsilk, ia harus membayar Rp 4.250,00. dan ibu Atun
membeli 2 saset shampo Rejoice dan 2 saset shampo Sunsilk, ia harus membayar Rp 2.400,00. jika Ibu Salmah
membeli 4 saset shampo Rejoice dan 1 shampo Sunsilk, maka ia harus membayar ...
9. Empat tahun yang lalu umur Pak Ahmad lima kali umur Budi. Empat belas tahun yang akan datang umur Pak Ahmad
akan menjadi dua kali umur Budi. Jumlah umur Pak Ahmad dan umur Budi sekarang adalah… tahun
10. Usia A sekarang 8 tahun lebih tua dari usia B, sedangkan 4 tahun yang lalu usia B sama dengan dua pertiga dari usia
A. Usia B sekarang adalah… tahun
11. Diketahui tiga tahun lalu, umur A sama dengan 2 kali umur B. sedangkan dua tahun yang akan datang, 4 kali umur A
sama dengan umur B ditambah 36 tahun. Umur A sekarang adalah … tahun
12. Budiman mengerjakan seluruh soal yang banyaknya 70 soal. Sitem penilaian adalah jawaban yang benar diberi skor 2
dan yang salah diberi skor –1 . Jika skor yang yang diperoleh Anto sama dengan 80, maka banyaknya soal yang
Budiman jawab salah sama dengan….

12


KUMPULAN SOAL INDIKATOR 7. SKL UN 2012
Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran.

RANGKUMAN MATERI
A. Persamaan Lingkaran
1) Lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jarinya (r)
x2 + y2 = r2
2) Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jarinya (r)
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
3) Bentuk umum persamaan lingkaran
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Pusat (a, b) = (– ½ A, –½B) dan jari-jari: r = ( 1 A ) 2 + ( 1 B) 2 − C
2 2

4) Jarak titik P(x1,y1) terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:

ax1 + by1 + c
r=
a 2 +b2

SOAL LATIHAN 7A
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan ketentuan sbb:
a. pusat O, jari–jari = 3
b. pusat O, jari–jari = 4
c. pusat (3, 1), jari–jari = 2
d. pusat (2, –4), jari–jari = 6
e. pusat O dan melalui titik (2, 4)
f. pusat O dan melalui titik (–1, 3)
g. pusat (3, 4), melalui O
h. pusat (–6, 8), melalui O
i. pusat (2, 2), melalui titik (5, 5)
j. pusat (–1, 5), melalui titik (0, 8)
k. pusat di O dan menyinggung garis 4x – 3y – 5 = 0
l. pusat di O dan menyinggung garis 5x + 12y = 29
m. pusat di (2,1) dan menyinggung garis 4x – 3y + 5 = 0
n. pusat di (1, – 10) dan menyinggung garis 3x – y 3 – 3 = 0

2. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai garis–tengah (diameter) garis AB jika
a. A(–3, 1) dan B(3, –1)
b. A(5, 4) dan B(–5, –4)
c. A(4, –2) dan B(2, 4)
d. A(1, 3) dan B(–3, –5)

13


B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran
a) Garis singgung lingkaran: x2 + y2 = r2
x x 1 + y y1 = r 2
b) Garis singgung lingkaran : (x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
c) Garis singgung lingkaran : x2 + y2 + Ax + By + C = 0
xx1 + yy1 + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0

2) Garis singgung lingkaran yang melalui titik P(x1, y1) di luar lingkaran, langkah-langkahnya:
1. Tentukan persamaan garis kutub = garis singgung lingkaran pada a)
2. Substitusikan persamaan garis kutub yang telah diperoleh ke persamaan lingkaran, maka akan diperoleh dua
buah titik singgung pada lingkaran.
3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui kedua titik yang telah diperoleh.

3) Garis singgung lingkaran dengan gradien m diketahui
1. Garis singgung lingkaran: x2 + y2 = r2
y = mx ± r m 2 +1
2. Garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2
y – b = m(x – a) ± r m 2 +1

SOAL LATIHAN 7B

1. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik (2, 3) adalah …
2. Persamaan garis singgung lingkaran (x – 3) 2 + ( y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2) adalah ………..
3. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y +11 = 0 di titik (2, –1) adalah …
4. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 di titik P(5, 3) adalah…
5. Persamaan garis singung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 pada titik (– 1, – 5) adalah ....
6. Persamaan garis singgung lingkaran x² +y² = 25 di salah satu titik potongnya dengan garis 7x + y – 25 = 0 adalah ... .
7. Diketahui garis y = 4 memotong lingkaran x2 + y2 – 2x – 8y – 8 = 0. Persamaan garis singgung yang melalui titik potong
tersebut adalah ...
8. Lingkaran ( x – 3 )2 + ( y – 1 )2 = 16 memotong garis y = 1. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong lingkaran
tersebut adalah ...
9. Lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9 memotong garis x = 2. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong lingkaran
tersebut adalah ....
10. Diketahui garis g dengan persamaan x = 3, memotong lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y + 4 = 0. Persamaan garis singgung
yang melalui titik potong tersebut adalah ...
11. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y –2 = 0 yang bergradien 10 adalah…
12. Persamaan garis singgung lingkaran (x – 3)2 + (y + 5)2 = 80 yang sejajar dengan garis y – 2x + 5 = 0 adalah …
13. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x – 4)2 + (y – 5)2 = 8 yang sejajar dengan garis y – 7x + 5 = 0 adalah …
14. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x – 8y + 15 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 6 adalah …
15. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x + 6y + 1 = 0 yang tegak lurus garis –3x + 4y – 25 = 0 adalah …
16. Salah satu garis singgung yang bersudut 120º terhadap sumbu X positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik
(7, 6) dan (1, –2) adalah …

14


KUMPULAN SOAL INDIKATOR 8 UN 2012
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor

RANGKUMAN
A. Teorema Sisa
1) F(x) = (x – b)· H(x) + S, maka S = F(b)
Jika suku banyak F(x) dibagi oleh (x – b) maka sisanya adalah S = F(b)
b
2) F(x) = (ax – b)· H(x) + S, maka S = F( a )
b
Jika suku banyak F(x) dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah S = F( a )

3) F(x) : [(x – a)(x – b)], maka S(x) = (x – a)S2 + S1, dengan S2 adalah sisa pembagian pada tahap ke–2

Dengan H(x): Hasil pembagian dan S: sisa pembagian

B. Teorema Faktor
(x – b) adalah faktor dari suku banyak f(x) bila sisa S = f(b) = 0

SOAL LATIHAN

1. Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x – 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa – 1,
maka nilai (2a + b) = …
2. Diketahui suku banyak f(x) = ax3 + 2x2 + bx + 5, a ≠ 0 dibagi oleh (x + 1) sisanya 4 dan dibagi oleh (2x – 1) sisanya juga 4.
Nilai dari a + 2b adalah …
3. Sukubanyak 3x3 + 5x + ax + b jika dibagi (x + 1) mempunyai sisa 1 dan jika dibagi (x – 2) mempunyai sisa 43.
Nilai dari a + b = ....
4. Suku banyak (2x3 + ax2 – bx + 3) dibagi oleh (x2 – 4) bersisa (x + 23). Nilai a + b = …
5. Diketahui (x – 2) adalah faktor suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2. Jika f(x) dibagi (x + 3), maka sisa pembagiannya
adalah
– 50. nilai (a + b) = …
6. Suku banyak 2x3 + ax2 + bx + 2 dibagi (x + 1) sisanya 6, dan dibagi (x – 2) sisanya 24. Nilai 2a – b = …
7. Diketahui (x – 2) dan (x – 1) adalah factor–faktor suku banyak P(x) = x3 + ax2 –13x + b. Jika akar–akar persamaan suku
banyak tersebut adalah x1, x2, x3, untuk x1> x2> x3 maka nilai x1 – x2 – x3 = …
8. Akar–akar persamaan x3 – x2 + ax + 72 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Jika salah satu akarnya adalah 3 dan x1< x2 < x3,
maka x1 – x2 – x3 = …
9. Faktor–faktor persamaan suku banyak x3 + px2 – 3x + q = 0 adalah (x + 2) dan (x – 3). Jika x1, x2, x3 adalah akar–akar
persamaan suku banyak tersebut, maka nilai x1 + x2 + x3 = ….
10. Suku banyak x4 – 2x3 – 3x – 7 dibagi dengan (x – 3)(x + 1), sisanya adalah …
11. Sisa pembagian suku banyak (x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1) oleh (x2 – x – 2) adalah …
12. Salah satu faktor suku banyak P(x) = x3 – 11x2 + 30x – 8 adalah …
13. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai faktor (3x – 1). Faktor linear yang lain adalah…..
14. Suatu suku banyak F(x) dibagi (x – 2) sisanya 5 dan (x + 2) adalah faktor dari F(x). Jika F(x) dibagi x2 – 4, sisanya
adalah …
15. Suku banyak f(x) dibagi 2x –1 sisanya 7 dan x2 + 2x – 3 adalah faktor dari f(x). Sisa pembagian f(x) oleh 2x2 + 5x – 3
adalah …
16. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) adalah 4, jika suku banyak tersebut dibagi (2x – 1) sisanya 6. Sisa
pembagian suku banyak tersebut oleh 2x2 + 3x – 2 adalah …
17. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2x – 3) sisanya 5. Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 – x – 3),
sisanya adalah …
18. Suku banyak f(x) = x3 + ax2 + bx – 6 habis dibagi oleh (x – 2) dan (x + 1). Jika f(x) dibagi (x + 2) maka sisa dan hasil
baginya adalah…..
19. Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 4 dan bila dibagi (x + 3) bersisa – 5. Suku banyak g(x) jika dibagi (x – 1)
bersisa 2 dan bila dibagi (x + 3) bersisa 4. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh (x2 + 2x – 3) adalah …

15


Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers.

RANGKUMAN MATERI
Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
1. (f  g)(x) = f(g(x))
2. (f  g  h)(x) = f(g(h(x)))
3. (f  g) (x)
–1
= (g– 1
)(x)f –1

ax + b − dx + b
4. f(x) = , maka f– 1(x) =
cx + d cx − a
5. f(x) = alog x, maka f– 1(x) = ax
6. f(x) = ax, maka f– 1(x) = alog x

1. Dari fungsi-fungsi di bawah ini tentukanlah kompisis fungsi yang diminta
x −1
a. f(x) = 2x + 5 dan g(x) = , x ≠ −4 , tentukan (fοg)(x), (gοf)(x),
x +4
x −1
b. f(x) = 3x – 5, dan g(x) = , x ≠ 2 ,tentukanlah (fοg)(x) dan (gοf)(x)
2−x
2x
c. f(x) = 3x + 5 dan g(x) = , x ≠ −1 , tentukanlah (fοg)(1) dan (gοf)(1)
x +1
x +1
d. f(x) = , x ≠ 3 , dan g(x) = x2 + x + 1. tentukanlah (fοg)(2) dan (gοf)(2)
x −3

2. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p = …
3. 
Diketahui f : R → R, g : R → R dirumuskan oleh f(x) = x2 – 4 dan g(x) = 2x – 6. Jika (f g)(x) = –4, maka nilai x = …
4. Diketahui f : R → R, g : R → R dirumuskan oleh f(x) = x – 2 dan g(x) = x2 + 4x – 3. Jika (g f)(x) = 2, maka nilai x = …
5. 
Jika g(x) = x + 3 dan (f g)(x) = x2 – 4, maka f(x – 2) = …
6. Suatu pemetaan f : R → R, g : R → R dengan (q ο f)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3, maka f(x) = …
7. 
Jika f(x) = x +1 dan (f g)(x) = 2 x −1 , maka fungsi g adalah g(x) = …
3x + 2 1
8. Fungsi f : R → R didefinisikan dengan f(x) = , x ≠ . Invers dari f(x) adalah f – 1 (x) = …
2 x −1 2
2 x −1 , x ≠ −4
9. Fungsi f : R → R didefinisikan sebagai f(x) = 3x +4 3 . Invers dari fungsi f adalah f (x) = …
–1

2x −4
10. Jika f – 1(x) adalah invers dari fungsi f(x) = , x ≠3. Maka nilai f – 1(4) = …
x −3
1 − 5x
11. Dikatahui f(x) = , x ≠ −2 dan f – 1(x) adalah invers dari f(x). Nilai f – 1 ( –3 ) = …
x +2
x −1
12. Diketahui fungsi f(x) = 1 – x dan g(x) = . Invers dari (f o g)(x) adalah ...
2x + 1
2x
13. Diketahui f(x) = dan g(x) = x – 1. Jika f−1 menyatakan invers dari f, maka (g o f)−1 (x) = ...
3x − 1
x −2
14. Diketahui f(x) = dan g(x) = x + 2. Jika f−1 menyatakan invers dari f, maka (f o g)−1(x) = ...
x +2
15. Tentukanlah persamaan grafik fungsi invers dari setiap gambar di bawah ini adalah …
Y y = 2– x Y y = ax Y
Y y = alog x
4
1 y = alog x
X 2
0 1 3
(1,0) 8 1
X 0 X
0 –2 –1 0 1 2 3 X
–3

(a) (b) (c) (d)

16


Menyelesaikan masalah program linear

1. Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit
vitamin B. Teblet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25
unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran
minimum untuk pembelian tablet per hari adalah …
2. Sebuah toko bangunan akan mengirim sekurang–kurangnya 2.400 batang besi dan 1.200 sak semen. Sebuah truk kecil
dapat mengangkut 150 batang besi dan 100 sak semen dengan ongkos sekali angkut Rp 80.000. Truk besar dapat
mengangkut 300 batang besi dan 100 sak semen dengan onkos sekali jalan Rp 110.000. maka besar biaya minimum
yang dikeluarkan untuk pengiriman tersebut adalah...
3. Seorang pengrajin akan mengirim hasil kerajinannya dengan menggunakan 18 kotak A yang berukuran sedang dan dan
24 kotak B yang berukuran besar. Pengrajin menyewa kendaraan truk yang mampu memuat 3 kotak A dan 12 kotak B
dan kendaraan pick–up yang memuat 9 kotak A dan 6 kotak B. Ongkos kendaraan sekali jalan untuk truk Rp150.000,00
dan untuk pick–up Rp100.000,00. Berapa banyaknya masing–masing kendaraan harus disewa agar biaya angkut
seminimal mungkin?
4. Sebuah rombongan wisata yang terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar–kamar hotel untuk satu malam. Kamar
yang tersedia di hotel itu adalah kamar untuk 2 orang dan untuk 3 orang. Rombongan itu akan menyewa kamar hotel
sekurang–kurangnya 100 kamar. Besar sewa kamar untuk 2 orang dan kamar untuk 3 orang per malam berturut–turut
adalah Rp 200.000,00 dan Rp 250.000,00. Besar sewa kamar minimal per malam untuk seluruh rombongan
adalah ....
5. Suatu rombongan pelajar pria terdiri dari 60 orang. Mereka akan menginap di hotel ”Permata” yang mempunyai dua tipe
kamar. Tipe A dengan biaya sewa Rp150.000,00 sehari dapat ditempati oleh 5 orang. Tipe B dengan biaya sewa
Rp110.000,00 sehari dapat ditempati oleh 3 orang. Pemilik hotel menghendaki rombongan itu harus menyewa minimal
15 kamar. Berapa masing–masing tipe harus disewa agar biaya sewa seminimal mungkin dan berapa biaya sewa
minimumnya.
6. Seorang penjahit membuat 2 model pakaian. Model pertama memerlukan 1 m kain polos dan 1, 5 kain corak. Model
kedua memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bercorak. Dia hanya mempunyai 20 m kain polos dan 10 m kain
bercorak. Jumlah maksimum pakaian yang dapat dibuat adalah … potong
7. Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100
m2, sedangkan tipe B luasnya 75m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A
adalah Rp100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp60.000.000. Supaya pendapatan dari hasil penjualan seluruh
rumah maksimum, maka harus dibangun rumah sebanyak…
8. Luas daerah parkir 1.760m2 luas rata–rata untuk mobil kecil 4m2 dan mobil besar 20m2. Daya tampung maksimum
hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/ jam. Jika dalam satu jam
terisi penuh dan tidak ada kendaran yang pergi dan dating, penghasilan maksimum tempat parkir adalah …
9. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun toko 2 tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah seluas 100 m2 dan tipe B
diperlukan 75 m2. Jumlah toko yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan tiap tipe A sebesar Rp7.000.000,00
dan tiap tipe B sebesar Rp4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah …
10. Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1
unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang
jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 perunit, maka agar
penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing–masing barang harus di buat?
11. Sebuah pabrik menggunakan bahan A, B, dan C untuk memproduksi 2 jenis barang, yaitu barang jenis I dan barang
jenis II. Sebuah barang jenis I memerlukan 1 kg bahan A, 3 kg bahan B, dan 2 kg bahan C. Sedangkan barang jenis II
memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg bahan B, dan 1 kg bahan C. Bahan baku yang tersedia 480 kg bahan A, 720 kg bahan
B, dan 360 kg bahan C. Harga barang jenis I adalah Rp 40.000,00 dan harga barang jenis II adalah Rp 60.000,00.
Pendapatan maksimum yang diperoleh adalah …
12. Perusahaan tas dan sepatu mendapat pasokan 8 unsur P dan 12 unsur K setiap minggu untuk produksinya. Setiap tas
memerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K dan setiap sepatu memerlukan 2 unsur P dan 2 unsur K. Laba untuk setiap tas
adalah Rp18.000,00 dan setiap sepatu adalah Rp12.000,00. keuntungan maksimum perusahaan yang diperoleh adalah
…
13. Pada sebuah toko, seorang karyawati menyediakan jasa membungkus kado. Sebuah kado jenis A membutuhkan 2
lembar kertas pembungkus dan 2 meter pita, Sebuah kado jenis B membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 1
meter pita. Tersedia kertas pembungkus 40 lembar dan pita 30 meter. Jika upah untuk membungkus kado jenis A
Rp2.500,00/buah dan kado jenis B Rp2.000,00/buah, maka upah maksimum yang dapat diterima karyawati tersebut
adalah …
14. Suatu pesawat udara mempunyai 60 tempat duduk. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa barang hingga 50
kg, sedangkan untuk setiap penumpang kelas ekonomi diperkenankan paling banyak membawa 20 kg barang. Bagasi
pesawat itu hanya mampu menapung 1.500 kg barang. Jika harga tiket kelas utama Rp 500.000,00, dan untuk kelas
ekonomi Rp 300.000,00, pendapatan maksimum untuk sekali penerbangan adalah …

17


Menyelesaikan operasi matriks

RANGKUMAN MATERI
A. Transpose Matriks
a b a c
Jika A = 
  , maka transpose matriks A adalah AT =  
c d

b
 d

B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan dengan
menjumlahkan elemen–elemen yang seletak
a b  k l  a b   k l  a +k b +l 
Jika A = 
 c d  , dan B = m n  , maka A + B = c d + m n  =  c + m d + n 
        
         

C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n
a b a b an bn 
Jika A = 
  , maka nA = n 
 c =  
c d  d

cn
 dn 


D. Perkalian Dua Buah Matriks
 Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B (Am×n ×
Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.
 Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.
a b  k l m 
Jika A = 
 c d  , dan B =  n o p  , maka
  
   
 a b   k l m   ak + bn al + bo am + bp 
A×B=   c d  ×  n o p  =  ck + dn cl + do cm + dp 
    
     

E. Determinan Matriks berordo 2×2
a b a b
Jika A = 
 , maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) = = ad – bc
c d
 c d
Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar
1. det (A ± B) = det(A) ± det(B) 3. det(AT) = det(A)
2. det(AB) = det(A) × det(B) 1
4. det (A–1) =
det( A)
F. Invers Matriks
ab
Bila matriks A = 
  , maka invers A adalah:
cd
1 1  d − b
A −1 = Adj(A ) = 
− c  , ad – bc ≠ 0
Det ( A) ad − bc  a 
 Sifat–sifat invers matriks
1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1
2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1

G. Matriks Singular
matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama dengan nol

H. Persamaan Matriks
Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut:
1) A × X = B ⇔ X = A–1 × B
2) X × A = B ⇔ X = B × A–1

18


SOAL LATIHAN
4 a 8 4  12 8 4 
   
1. Diketahui matriks A =  6 −1
−3b  dan B =  6 −1 −3a  . Jika A = B, maka a + b + c = …
5 3c 9  5 b 9 
   
 −c 2   4 a  −1 3   4 b
2. Diketahui matriks–matriks A = 
 1 , B = 
 b + 5 − 6  , C =  0
   , dan D = 
 − 2 3  . Jika 2A – B =

 0    2  
CD,
maka nilai a + b + c = …
a 2 4 1  −2 b 
3. Diketahui 3 matriks, A =  , B =  , C = 
− a .

1 b

2
 b +1
  b2 

0 2
Jika A×Bt – C = 
  dengan Bt adalah transpose matriks B, maka nilai a dan b masing–masing adalah …
5 4

12 4   x 2y 96 − 20 
4. Diketahui matriks P = 
 , Q =   , dan R =  .
0 −11

 −3
 4 

66
 − 44 

Jika PQT = R (QT transpose matriks Q), maka nilai 2x + y = …
a 4
5. Diketahui persamaan matriks A = 2BT (BT adalah transpose matriks B), dengan A = 
  dan
2b 3c 

 2c − 3b 2a +1
B= 
  . Nilai a + b + c = …
 a b +7 

x + y x   1 − 1 x
6. diketahui matriks A = 
 , B =  2  , dan AT = B dengan AT menyatakan transpose dari A.
 y x − y

− 2y
 3 
Nilai x + 2y adalah …
2 4 1 0
7. Diketahui matriks A = 
  dan I =   , matriks (A – kI) adalah matriks singular. Tentukan nilai k
3 1

0
 1

x 3 
8. Diketahui 
 4 1 + x  merupakan matriks singular maka nilai x adalah …

 
 6 − 10  x 2
9. Diketahui matriks A =  x x  dan B = 
5  . Jika AT = B–1 dengan AT = transpose matrik A, maka nilai 2x =
 −1
 2   3

…
3 5  − 4 5
10. Diketahui matriks–matriks A = 
−1  dan B = 
  −1  , jika (AB)– 1 adalah invers dari matriks AB maka
 −2   1

(AB) = ...
–1

2 5 5 4
11. Diketahui matriks P = 
  dan Q =   . Jika P–1 adalah invers matriks P dan Q–1 adalah invers matriks Q,
1 3

1
 1

maka determinan matriks Q–1 P–1 adalah …

 62  x  2 
12. Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi persamaan :
   =   adalah …

1 − 3 y  − 5
19


2
3  x 1   21 8 
13. Diketahui persamaan 
 
 x + y z − 2  =  23 9  . Nilai x + y – z = …
  
1
4    
 5 − 2  2 −1   1 0 
14. Diketahui persamaan matriks 
9 − 4  x x + y  =  0 1  . Nilai x – y = …
   
    
3 2  −3 −1
  dan B =   . Jika AT = transpose matriks A dan AX = B + AT,
0 5

−17
 0 

maka determinan matriks X = …
1 2 3 −2
  dan B =   . Jika At adalah transpose dari matriks A dan AX = B + At,
3 5

1
 4 

maka determinan matriks X = …
a b 2 4  15 15 
Diketahui persamaan 
   =   , nilai dari ab + 2cd = …
c d

−1
 3  8
  26 

Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu

RANGKUMAN MATERI

A. Vektor Secara Aljabar

 a1 
 
1. Komponen dan panjang vektor: a =
 a2  = a1i + a2j + a3k;

a 
 3
|a| = a 1 + a 2 + a 3
2
2
2

2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:

 a1   b1   a 1 ± b1   a1   ka1 
         
a±b=
 a2  ±
 b2  =
 a 2 ± b2  ; ka = k
 a2  =
 ka 2 
a  b  a ± b  a   ka 
 3  3  3 3  3  3
B. Pembagian ruas garis dalam bentuk vektor dan koordinat (searah jarum jam positif)

n
B m
n B
m P
B m
P
A
A n
A P
(1) (2) (3)
P membagi AB di dalam P membagi AB di luar P membagi AB di luar

AP m AP m AP − m
= = =
PB n PB −n PB n

20


mb + n a mb − n a
p = p = p =
m +n m −n
− mb + n a
−m +n

SOAL LATIHAN

1  1   4  − 3
       
Diketahui a = 2 , b = 0 , dan c = 2 , jika 2a + 3b + kc = 0
1.
        , tentukanlah nilai k.
 3   2 1   10 
       
2. Diketahui a = 3 i – 2 j , b = – i + 4 j dan r = 7 i – 8 j . Jika r = k a + m b , tentukanlah nilai
dari “k + m”
3. Jika a = (x + y)i + (2x – y)j + 3k dan b = 5i + 4j + 3k, berlaku hubungan a = b, tentukan nilai 3x + 2y.
4. Jika titik A(3, 2, –1), B(1, –2, 1) dan C(7, p – 1, –5) kolinier (segaris), maka tentukanlah nilai p.
5. Jika titik A(3, 3, 2), B(4, 2q + 1, 1), dan C(7, 11, –2) kolinier (segaris), maka tentukanlah nilai q.
6. Diketahui vektor PQ = (2 0 1) dan vektor PR = (1 1 2). Jika PS = 1 PQ , maka tentukanlah vektor
2
RS
1
7. Diketahui vektor PQ = (–3 6 –9) dan vektor PR = (–1 2 3). Jika PS = 3
PQ , maka tentukanlah
vektor RS
8. Diketahui titik P(4, 1, –5) dan titik Q(1, 7, –14). Titik R adalah titik pada garis hubung PQ sehingga
1
PR = 3 PQ . Tentukanlah koordinat titik R
9. Diketahui titik A(2, –4, 3) dan B(12, –9, –17). Titik C ada pada perpanjangan AB sehingga AC = 1 AB 5
Tentukanlah koordinat titik C
10. Diketahui titik A(4, –3, 7) dan B(1, 4, 1). Titik C terletak pada ruas garis AB sehingga AC : CB = 2 : 1,
tentukanlah koordinat titik C
11. Titik R terletak pada ruas garis PQ sehingga PR : RQ = 1 : 3. Jika vektor posisi titik P dan Q berturut–turut
adalah
p = 5i + 2j + k dan q = 9i + 10j + 13k, tentukanlah vektor posisi dari R.
12. Diketahui titik A(2, –4, 8) dan B(9, 3, 1). Titik P membagi ruas garis AB di luar dengan perbandingan 5 : 2,
tentukanlah koordinat titik P.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara dua vektor.

RANGKUMAN MATERI

Perkalian Skalar Dua Vektor
Perkalian scalar dua vektor a dan b dinotasikan dengan a · b
A. vektor a dan b berbentuk komponen

 a1   b1 
jika diketahui a =   dan b =   , maka :

 a2   b2 
1. a · b = a1b1 + a2b2
2 2
2. a · a = a1a1 + a2a2 = a1 + a 2 = | a |2
2 2
3. b · b = b1b1 + b2b2 = b1 + b2 = | b |2

21


B. Bila vektor a dan b membentuk sudut θ
a ⋅b
1. a · b = | a | | b | cos θ ⇒ cos θ =
| a || b |
2. | a ± b |2 = | a |2 + | b |2 ± 2| a | | b | cos θ
= | a |2 + | b |2 ± 2 a · b

SOAL LATIHAN
1. Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan …
   
       
2. Diketahui vektor a =6 i −3 j −3 k , b = 2 i − j + 3 k dan c = − i − 2 j +3 k . Besar sudut antara vektor
5
  
a dan b + c adalah ....
        
3. Diketahui vektor a = i − 2 j + 2 k dan b = −i + j . Besar sudut antara vektor a dan b adalah ....
4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC wakil vektor u dan wakil
DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah …
5. Diketahui a = 2 , b = 9 , a +b = 5 . Besar sudut antara vektor a dan vektor b adalah ….
6. Diketahui a = 6 , ( a – b ).( a + b ) =0, dan a . ( a – b ) = 3. Besar sudut antara vektor a dan b adalah ….
7. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili AB dan v mewakili AC , maka
sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v adalah …
8. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k. Jika a dan b membentuk sudut θ, maka nilai sin θ = ....
9. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k, jika a dan b membentuk sudut θ, maka tan θ = ... .

− 2   1 
  
10. Diberikan vektor a =  p  dengan p ∈ Real dan vektor b =  1  . Jika a dan b membentuk sudut 60º, maka
   
 2 2  2
kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …
11. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Tentukanlah nilai sin ∠B.
12. Diketahui titik A(5, –1, –2), B(6, 3, 6), dan C(2, 5, 10), bila a wakil dari vektor AB dan b wakil dari BC , tentukanlah
kosinus sudut antara a dan b

22


Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.

RANGKUMAN MATERI
Vektor Proyeksi

P

u
θ c Q
O R

v
Jika u dan v dua vektor bukan nol, maka:
u •v
1. panjang proyeksi (proyeksi skalar ortogonal) u pada v = | c | =
|v|

u •v
2. vektor proyeksi (proyeksi vektor ortogonal) u pada v = c = v
| v |2

SOAL LATIHAN

2   − 1
   
Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari vektor v = − 3 terhadap vektor u = 2
1.
    , maka w = …
4   − 1
   
2. Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …
3. Diketahui vektor a = 4i – 2j + 2k dan vektor b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vektor orthogonal vektor a pada vektor b adalah
…
4. Diketahui vektor a = 2i – 4j – 6k dan vektor b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vektor orthogonal vektor a pada vektor b adalah
…
5. Diketahui vektor a =i −2 j +k dan vektor b =i + j −k . Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah …
6. Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vektor u, AC wakil vektor v, maka
proyeksi u pada v adalah …
7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi
orthogonal vektor u pada v adalah …
8. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada AC
adalah …
9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap AC
adalah …
10. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
11. Panjang proyeksi vektor a =− i +8 j +4k pada vektor b = pj +4k adalah 8. Maka nilai p adalah ....
2

12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x =
…
13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah …

23


Menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih

RANGKUMAN MATERI

A. Pergeseran (Translasi) :

T= a
 b
   →
A(x,y) A’(x’, y’) = A’(x+a, y+b)

B. Dilatasi (perkalian)
1. A(x,y) D[ P,→ A’(x’, y’) = A’(k(x – a) + a, k(y – b) + b) ….. pusat P(a,b)

k]

2. A(x,y)   → A’(x’, y’) = A’(kx + a, ky + b) ………………pusat O(0,0)
D[O, k ]


C. Pencerminan/Mirror/Refleksi
1. Refleksi terhadap sumbu X dan sumbu Y
a. A(x,y)  M sbX → A’(x’, y’) = A’(x, – y)

ordinat di negasi
b. A(x,y)  M sbY → A’(x’, y’) = A’(–x, y)

absis dinegasi

2. Refleksi terhadap garis y = n dan x = k
M =
a. A(x,y)   yn →
 A’(x’, y’) = A’(x, – y + 2n)
ordinat dinegasi + 2n
b. A(x,y) M A’(x’, y’) = A’(–x + 2k, y)
  xk →
=

absis dinegasi + 2k

3. Refleksi terhadap garis y = x dan y = – x
M =
a. A(x,y)   yx → A’(x’, y’) = A’(y, x)

dibalik
M y= − x
b. A(x,y)    → A’(x’, y’) = A’(–y, –x)
dibalik dinegasi

D. Rotasi (perputaran)
1. Rotasi dengan pusat di O dan sudut putar α = 90° dan α = –90°
a. A(x,y) → A’(x’, y’) = A’(–y, x)
R[O ,90 ]

Ordinat dinegasi dibalik
b. A(x,y) 90 A’(x’, y’) = A’(y, –x)
R[O , −  ]
→
Absis dinegasi dibalik

E. Transformasi suatu kurva oleh Matriks

24


 x'   a b   x   x  1  d − b   x' 
  =     ⇒
  =    
y '  c d  y y  ad − bc − c a   y'
F. Komposisi Transformasi
Misalkan transformasi T1 memetakan titik P(x, y) ke titik P1(x1, y1) dan T2 memetakan titik P1(x1, y1) ke titik P2(x2, y2) maka
dikatakan, transformasi T1 dilanjutkan T2 akan memetakan titik P(x, y) ke titik P2(x2, y2).
Transformasi T1 dilanjutkan T2 ditulis dengan notasi : (T2 ο T1)P(x,y) = P2(x2, y2)

25

SOAL IPA UN

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Andere mochten auch

Andere mochten auch (20)

Ähnlich wie SOAL IPA UN

Ähnlich wie SOAL IPA UN (14)

Mehr von Salman58

Mehr von Salman58 (6)

SOAL IPA UN