Fungsi komposisi dan fungsi invers merupakan konsep penting dalam matematika. Fungsi komposisi terbentuk dari komposisi dua fungsi atau lebih, sedangkan fungsi invers merupakan fungsi yang memetakan domain menjadi kodomain dan sebaliknya.

1. KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
Standar Kompetensi:
5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi
Kompetensi Dasar
5.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi
5.2 Menentukan invers suatu fungsi
A. Pengertian relasi antara anggota dua himpunan
Relasi (hubungan) dapat terjadi antara anggota dari dua himpunan. Misalnya,
A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6, 7}. Antara anggota himpunan A dan B ada relasi
“tiga kurangnya dari”. Relasi tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram sbb:
Relas antara anggota himpunan A dan B dapat dinyatakan sebagai himpunan
pasangan berurutan sebagai berikut:
{(1,4), (2,5), (3,6), (4, 7)}
Relasi antara anggota himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan
menggunakan rumus. Misalnya anggota A dinyatakan dengan x, maka
pasangannya ialah y anggota B dirumuskan:
y=x+3
1

2. B. Pengertian fungsi dan pemetaan
Perhatikan diagram panah berikut.
(1) (2)
(2) (4)
Pada gambar 1, 3 dan 4 setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan tepat
satu anggota himpunan B. Relasi yang memiliki ciri seperti itu disebut fungsi
atau pemetaan.
Pada gambar 2 bukan fungsi karena ada anggota A yang punya pasangan lebih
dari satu anggota B.
2

3. Definisi:
Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaaan, jika dan
hanya jika setiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat dengan satu
unsur dalam himpunan B.
Latihan:
Relasi dari himpunan A = {a, b, c, d} ke himpunan B = {p, q, r, s} yang disajikan
dalam diagram panah berikut, mana yang merupakan fungsi ?
1. 5.
2. 6.
3

4. 3. 7.
4. 8.
4

5. Misalkan f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f
dilambangkan dengan:
f: A B
Jika x ∈ A dan y ∈B sehingga pasangan berurut ( x, y ) ∈ f , maka y disebut
peta atau bayangan dari x oleh fungsi f.
Peta atau bayangan ini dinayatakan dengan y = f (x) seperti ditunjukkan pada
gambar berikut.
Jadi, suatu fungi f dapat disajikan dengan lambang pemetaan sebagai berikut:
f : x → y = f ( x)
5

6. dengan y = f (x ) disebut rumus atau aturan fungsi, x disebut peubah (variabel)
bebas dan y disebut peubah (variabel) tak bebas.
Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan dilambangkan dengan D f.
Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan dilambangkan dengan K f.
Himpunan dari semua peta A di B disebut daerah hasil (range) dan
dilambangkan dengan Rf.
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4} dan B = {5, 7, 9, 10, 11, 12}
f: A B dimana f(x) = 2x +3
Diagram panahnya sbb:
Domainnya adalah A = {1, 2, 3, 4}.
Kodomainnya adalah B = {5, 7, 9, 10, 11, 12}
Rangenya adalah C = {5, 7, 9, 11}
Jadi Rr ⊂ K f , tetapi dapat juga R f = K f
6

7. B. Fungsi Komposisi
Perhatikan contoh berikut:
Ada 3 himpunan yaitu, A = {2, 3, 4, 5}, B = {5, 7, 9, 11} dan C = {27, 51, 66, 83}.
f: A B ditentukan dengan rumus f ( x) = 2 x + 1 dengan g : B →C ditentukan oleh
rumus g ( x ) = x + 2 . Ditunjukkan oleh diagram panah sbb:
2
Jika h fungsi dari A ke C sehinnga:
peta dari 2 adalah 27
peta dari 3 adalah 51
peta dari 4 adalah 66
peta dari 5 adalah 83
dan diagaram panahnya menjadi,
7

8. fungsi dari h dari A ke C disebut fungsi komposisi dari g dan f ditulis h = g  f
atau h( x) = ( g  f )( x).
Secara umum:
Definisi:
Misalkan fungsi
f : A → B ditentukan dengan rumus y = f (x )
g : B →C ditentukan dengan rumus y = g (x )
8

9. Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan autan:
h( x) = ( g  f )( x) = g ( f ( x))
o dibaca komposisi atau “bundaran”
Perhatikan bahwa dalam fungsi komposisi ( g  f )( x) = g ( f ( x)) ditentukan
dengan pengerjaan f (x) terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan
pengerjaan oleh g ( x ). Perhatikan contoh berikut.
Contoh:
2
1. Diketahui f(x) = x + 1 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan:
a. (f o g)(x)
b. (g o f)(x)
Jawab:
a. (f o g)(x) = f (g(x))
= f(2x – 3)
2
= (2x – 3) + 1
2
= 4x – 12x + 9 + 1
2
= 4x – 12x + 10
b. (g o f)(x) = g (f(x))
9

10. 2
= g(x + 1)
2
= 2(x + 1) – 3
2
= 2x - 1
Ternyata, ( f  g )( x ) ≠ ( g  f )( x). Jadi pada komposisi fungsi tidak
berlaku sifat komutatif.
2
2. Diketahui dan ditentukan oleh f(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x + 6x + 7,
maka tentukan g(x) !
Jawab :
f(x) = x + 3
2
(f o g)(x) = x + 6x + 7
2
f(g(x)) = x + 6x + 7
2
g(x) + 3 = x + 6x + 7
2
g(x) = x + 6x + 4
10

11. 2
3. Diketahui dan ditentukan oleh f(x) = 2x + 4 dan (g o f)(x) = 4x + 12x
+ 6, maka tentukan g(x) .
2
Jawab : (g o f)(x) = 4x + 12x + 6
2
g(f(x)) = 4x + 12x + 6
2
g(2x + 4) = 4x + 12x + 6
p −4
Misal: 2x + 4 = p, maka x = 2
 p −2 
2
 p −4
4
g(p) =  4   + 12  ) + 6
 2 
2
g(p) = p – 8p + 16 + 6p – 24 + 6
2
g(p) = p – 2p – 2
2
Maka: g (x) = x – 2x – 2
Cara lain:
( g  f )( x ) = g ( f ( x )) = g ( 2 x + 4) = 4 x 2 + 12 x + 6
(2 x + 4) 2 − 2(2 x + 4) − 2
Jadi, g ( x) = x − 2 x − 2
2
11

12. C. Fungsi Invers
1. Pengertian Invers
Misalkan f fungsi dari himpunan A ke B yang dinyatakan dengan diagram panah
sbb:
sehingga diperoleh himpunan pasangan berurutan:
f :{(a,b |) a ∈ A dan b∈ B}
Kalau diadakan pengubahan domain menjadi kodomain dan kodomaian menjadi
domaian, maka diagram panahnya menjadi
12

13. dan himpunan pasangan berurutannya menjadi
{(b, a) | b ∈ B dan a∈ A}
Relasi yang diperoleh dengan cara seperti di atas disebut invers fungsi f dan
−1
dilambangkan dengan f
Definisi:
Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan pasangan berurutan f :{(a,b |) a ∈ A dan
b∈ B} maka invers fungsi f adalah f −1
: B → A ditentukan oleh
f {(b, a |) b ∈ B dan
a∈ A}
Apakah invers suatu fungsi juga merupakan fungsi ? Untuk jelasnya perhatikan
diagram panah berikut.
13

14. (1) (2)
(3)
Tampak bahwa yang inversnya juga merupakan fungsi hanya pada gambar (3).
Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka invers fungsi itu disebut fungsi
invers.
14

15. 2. Menentukan Rumus Fungsi Invers
Perhatikan diagram panah berikut.
y adalah peta dari x oleh fungsi f, sehingga pemetaan oleh fungsi f dapat
dinayatakan dengan persamaan:
y = f (x )
-1 -1
Kalau f adalah invers dari fungsi f maka x adalah peta dari y oleh fungsi f
sehingga diperoleh persamaan:
−1
x=f ( y)
Selanjutnya peubah x diganti dengan y dan peubah y diganti dengan x.
Contoh:
1. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi f ( x) = 2 x + 6 !
Jawab:
y = f ( x) = 2 x + 6
⇔2x = y − 6
1
⇔x= y −3
2
15

16. −1 1 −1 1
Dengan demikian f ( y) = y − 3 atau f ( x) = x −3
2 2
Contoh:
2x − 5 1
Tentukan r5umus fungsi invers dari fungsi f ( x) = 3x + 1 , x ≠ − 3
Jawab:
2x − 5
y = f ( x) =
3x + 1
⇔ y (3 x + 1) = 2 x − 5
⇔ 3 yx + y = 2 x − 5
⇔3 yx − 2 x = −y − 5
⇔ (3 y − 2) x = − y − 5
− y −5
⇔x =
3y − 2
y +5
⇔x =
2 −3y
−1 y +5
⇔f ( y) =
2 −3y
−1 x +5
⇔f ( x) =
2 − 3x
2x − 5 1 −1 x +5
Jadi fungsi invers dari fungsi f ( x) = 3x + 1 , x ≠ − 3 adalah f ( x) =
2 − 3x
16

17. 3. Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi
Misalkan h(x) adalah fungsi komposisi yang dapat dibentuk dari fungsi f(x) dan
fungsi g(x). Fungsi h(x) kemungkinannya adalah ....
ii) h(x) = (fog)(x)
ii) h(x) = (gof)(x)
Diagram panahnya sbb:
i)
17

18. −1 −1
Jadi ( g  f ) ( x) = ( f  g −1 )( x )
ii)
18

19. −1 −1 −1
Jadi ( f  g ) ( x) = ( g  f )( x )
19

20. Contoh:
Misalkan f : R → R dan g : R → R ditentukan dengan rumus f ( x) = x + 3 dan
g ( x ) = 5 x − 2. Tentukan ( f  g ) −1 ( x)
Jawab:
Cara 1:
−1
Dicari ( f  g )( x) terlebih dahulu selanjutnya dicari ( f  g ) ( x)
( f  g )( x ) = f ( g ( x)) = (5 x − 2) + 3 = 5 x + 1
y = 5 x +1
⇔5 x = y −1
1 1
⇔x= y−
5 5
−1 1 1
Jadi ( f  g ) ( x) = 5 x − 5
Cara 2:
−
Dicari f
1
( x ) dan g −1 ( x) selanjutnya menggunakan rumus
( f  g ) −1 ( x) = ( g −1  f −1 )( x )
f ( x) = x + 3
⇔ y = x +3
⇔ x = y −3
−1
⇔f ( x) = x − 3
g ( x) = 5 x − 2
⇔ y = 5x − 2
1 2
⇔x= y+
5 5
1 2
⇔ g −1 ( x ) = x +
5 5
20

21. ( f  g ) −1 ( x ) = ( g −1  f −1 )( x )
= g −1 ( f −1 ( x ))
1 2
= ( x − 3) +
5 5
1 1
= x−
5 5
Contoh:
Fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus:
3x + 5
f ( x) = 2 x + 1 dan g ( x) =
x −4
−1
Carilah ( g  f ) ( x )!
Jawab;
( g  f )( x) = g ( f ( x))
3(2 x + 1) + 5
=
2x +1 − 4
6x +8
=
2x −3
6x + 8
⇔y=
2x − 3
⇔ 2 yx − 3 y = 6 x + 8
⇔ 2 yx − 6 x = 3 y + 8
⇔ (2 y − 6) x = 3 y + 8
3y +8
⇔x =
2y −6
−1 3x + 8
Jadi ( g  f ) ( x ) = 2 x − 6
21

22. UJI KOMPETENSI
1. Diketahui f (3x − 1) = 6 x + 4 , maka f (x ) =....
A. 2x + 4
B. 2x – 4
C. 2x + 6
D. 2x – 6
E. 2x + 5
C
2. Diketahui f (2 x + 1) = 4 x + 2 x − 5 maka f ( 2) =....
2
A. -3
B. -2
C. 1
D. 2
E. 3
22

23. A
3. Daerah hasil (range) dari fungsi f : R → R dimana f ( x ) = x − 2 x − 8 adalah ....
2
A. { y | y ≥ 8, y ∈ R}
B. { y | y ≥ −8, y ∈ R}
C. { y | y ≥ −9, y ∈ R}
D. { y | y ≤ −8, y ∈ R}
E. { y | y ≤ 9, y ∈ R}
C
4. Jika f ( x) = 5 x + 2 dan g ( x) = −2 x +1 maka ( f  g )(−2) =....
A. -17
B. -16
C. -15
D. -14
E. -13
E
x +2
5. Jika f ( x) = 2 x + 3 dan g ( x) = 3 x −1 maka ( g  f )(−2) =....
A. -1
B. 0
C. 1
D. 5/11
E. 9/11
B
23

24. 6. Jika f ( x) = x + 2 dan g ( x) = 3x + 4 x + 1 maka ( g  f )( x) = ....
2
A. 3 x + 16 x + 21
2
B. 3 x + 16 x − 21
2
C. 3x + 8 x + 21
2
D. 3 x + 12 x − 21
2
E. 3 x + 12 x + 21
2
A
x +5
7. Jika f ( x ) = 2 x + 1 maka f
−1
(3) = ....
A. -3/5
B. -2/5
C. 1
D. 2/5
E. 3/5
D
8. Jika f ( x) = 7 x − 2 maka f
−1
( x +1) = ....
A. x + 2
B. x -2
C. x + 3
D. 1/7 (x + 2)
E. 1/7 (x + 3)
E
9. Jika f ( x) = 2 x − 3 dan ( g  f )( x) = 6 x + 10 maka g ( x) = ...
−1
A. x + 19
24

25. B. x – 19
C. 1/3(x – 19)
D. 1/3(x + 10)
E. 1/3(x - 10)
C
10. Jika f ( g )( x) =10 x − 8 x − 3 dan g ( x) = 2 x + 4 maka f
−
2 1
( x) = ....
A. x + 9
B. 2 + x
C. x − 10 x − 3
2
D. 2+ x +1
E. 2+ x +7
E
25

26. B. x – 19
C. 1/3(x – 19)
D. 1/3(x + 10)
E. 1/3(x - 10)
C
10. Jika f ( g )( x) =10 x − 8 x − 3 dan g ( x) = 2 x + 4 maka f
−
2 1
( x) = ....
A. x + 9
B. 2 + x
C. x − 10 x − 3
2
D. 2+ x +1
E. 2+ x +7
E
25

27. B. x – 19
C. 1/3(x – 19)
D. 1/3(x + 10)
E. 1/3(x - 10)
C
10. Jika f ( g )( x) =10 x − 8 x − 3 dan g ( x) = 2 x + 4 maka f
−
2 1
( x) = ....
A. x + 9
B. 2 + x
C. x − 10 x − 3
2
D. 2+ x +1
E. 2+ x +7
E
25

28. B. x – 19
C. 1/3(x – 19)
D. 1/3(x + 10)
E. 1/3(x - 10)
C
10. Jika f ( g )( x) =10 x − 8 x − 3 dan g ( x) = 2 x + 4 maka f
−
2 1
( x) = ....
A. x + 9
B. 2 + x
C. x − 10 x − 3
2
D. 2+ x +1
E. 2+ x +7
E
25