Apr. 18, 2018 @ Chubu Univ. （24ページまで行いました。25ページ以降は次週。30ページ目に間違いあり。）

1. 確率ロボティクス入門
第1回
上田隆一

2. 本日の話の流れ
• 1. イントロダクション
– ロボットを人のいる環境や自然環境で動かす
• 2. 確率の基礎
– 確率分布、確率密度関数
• 3. 確率ロボティクスの基礎
– ロボットの使う二つのモデル
– 例題
Apr. 18, 2018 ロボットフロンティア第1回@中部大学 2

3. 1. イントロダクション
Apr. 18, 2018 ロボットフロンティア第1回@中部大学 3

4. 2つのロボットの違い
• 工場で働く溶接用の
マニピュレータ
– https://youtu.be/YlqiGoIKU3I
• 外を自動で走るロボット（自動車）
– https://youtu.be/4zxYVQvqAcg
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5. 「不確かさ」に対する立場
• 一般的な工場
– 不確定要素はなるべく除去
• 作業する場所や位置、タイミングを固定
• 人は立入禁止
• ロボットを様々な場所でもっと動かしたい
– 工場の方法は通用しない
• 人の生活空間や自然環境では無理
• 不確かさがある
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6. 不確かさ（センサの例）
• 実験
– 壁の前にロボットを置く
• 距離は200mm, 300mm, 400mm, ...
– 壁までの距離を計測
• 3秒ごとに2日間以上
– センサの種類
• 距離センサ（赤外線LED+光センサ）
• 2D LiDAR（レーザレンジファインダ）
– 正面の方向のビームだけ統計を取る
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このような距離計測のデータは、自身の
位置の計算や地図生成で利用される

7. 計測値のばらつき（LiDAR, 200mm）
• 計測値がガウス分布状にばらつく
– →1回の計測だけでは壁との距離は分からない
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横軸: 計測値
縦軸:頻度

8. 計測値のばらつき（LiDAR, 600mm）
• 実験しないと分からない意外な点が存在
– 2つピークがある（モードが2つ, マルチモーダル）
– 欠けもある（補正の結果）
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9. 計測値のばらつき（光センサ）
• ピークがはっきりしない
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200mm 300mm
横軸: 光の強度（単位は不明）
縦軸:頻度
（各グラフの縦軸は合ってません）
400mm

10. 考えてみましょう
• 例えば距離の計測結果を使って、
「ロボットを壁から特定の距離のところに止める」
というプログラムを作る場合にどういう工夫ができるか？
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11. 対策（工場的なアプローチ）
• 何度も計測して平均をとる
– ピークが2つ以上あると精度が期待できない
• 原因を調べて補正
– キリがない
– センサを交換すると特性が変化
– 環境も変化
– 壁の前に人が横切るかもしれない
• センサの追加・交換
– これもキリがない
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12. 余談
• LiDARの距離計測がマルチモーダルになった理由
– 不明だが昼と夜で計測値の傾向が違う
• こんな細かいこといちいち調べてられない
– おそらく未来のロボットには今より多くのセンサが・・・
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12時〜18時
0時〜6時

13. もっと柔軟にするには？
• 分からないものは分からないままにしておく
– ただし「分からない」という概念をプログラミング
• いい加減なようで様々なことが可能に
– 分からないことが分かるからできること
• 誰かに助けを求める
• 適切なタイミングであきらめる
• 不確かさがあると認識しながら何か仕事をする
• 「分からない」という概念をロボットに実装する手段
＝確率
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14. 確率を使ったロボットの技術
• いわゆる「確率ロボティクス」の分野
– 自己位置推定
– SLAM（simultaneous localization and mapping）
– 確率的な行動決定
– 探査
• 他の主要な分野
– 強化学習
– 画像処理
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 最小二乗法的な
アプローチと同様、
あらゆる問題に出現

15. 確率という概念を持ったロボットの例
• 不確かさで行動を変える[上田2007]
• https://youtu.be/fsQicKXE5AU
– 自身の位置が不確か → ボールへ
– 自身の位置が分かる → ゴールへ
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16. つくばチャレンジのロボット
• SLAM
• 自己位置推定
https://youtu.be/RpPcmyXOcr4
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17. 2. 確率の基礎
Apr. 18, 2018 ロボットフロンティア第1回@中部大学 17

18. 確率の表記
• 𝑃(条件) : 条件が
満たされる確率
• 離散的な場合
– 𝑃 𝑥 = 𝑥∗ : ある変数𝑥について推定値 𝑥が真値𝑥∗と
一致している確率
• センサの値が200になる確率は？
– 𝑃 𝑥∗ ∈ 𝑋 : 真値が、ある集合𝑋に含まれる確率
• センサの値が200〜205である確率は？
– 条件を明示しない場合は確率分布を指すことが多い
• 𝑃 𝑥 : 変数 𝑥に関する確率分布
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これを見ながら考える

19. • 連続的な場合
– 基本、 𝑃 𝑥∗ ∈ 𝑋 だけを考える
– 𝑃 𝑥 = 𝑥∗
はどこでも0になる
• 例: 無限に桁を持つ乱数が0.10953232...に一致する確率はゼロ
– 確率密度関数（probability density function, pdf）
• 𝑃 𝑥∗ ∈ 𝑋 = 𝑥∈𝑋
𝑝( 𝑥) ⅆ𝑥
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センサの出力が整数でなく
連続値だとどうなるか？

20. 条件付き確率
• 条件付き確率𝑃 𝐴|𝐵 , 確率密度関数𝑝 𝐴|𝐵
– この形式をまず理解
– 𝐵が起こったら/分かったら𝐴である確率
• 例
– P(センサ値 | 0〜6時)
– P(センサ値 | 12〜18時)
– P(センサ値)との違いは？
Apr. 18, 2018 ロボットフロンティア第1回@中部大学 20
12〜18時
0〜6時
確率

21. 3. 確率ロボティクスの基礎
Apr. 18, 2018 ロボットフロンティア第1回@中部大学 21

22. ロボットの推定問題
• 確率ロボティクスでは、ロボットは自身や環境の状態を
pdf 𝑝 𝑥 として認識
– 𝑝 𝑥 の分布を真値𝑥∗周りの急峻なものに
– ここでの𝑥は太字でないがベクトルと考えてよい
• 例: 多くの移動ロボットの状態は位置2次元と
方向1次元の3次元で表される
→移動ロボットの位置を求める問題では3次元の𝑥に
対して 𝑝 𝑥 を求める（自己位置推定問題）
– 以後、自己位置推定問題を例に話を進める
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23. ロボットの持つ信念
• 𝑝 𝑥 は𝑏𝑒𝑙 𝑥 と表現することも（belief:信念）
– 信念: ロボットの主観
– ロボットの頭には真値𝑥∗
は存在しない（知り得ない）ことに
注意
Apr. 18, 2018 ロボットフロンティア第1回@中部大学 23
𝑥
𝑦
ゆるい分布
（確信を持っていない）
𝑥
𝑦
急峻な分布
（確信を持っている）
𝑥
𝑦
分布に峰がたくさん
（どっちにいるか確信がない）
 しかし、信念をどうやって計算するのか？

24. 信念の演算
• 移動したとき
– ロボットと一緒に分布を動かす・雑音を混ぜる
– ロボットはアクチュエータの出力に対する
移動の大きさと雑音の程度を知らなければならない
→「移動モデル」
• 観測したとき
– 何か自身の位置を推定するために有益な情報が得られる
– 雑音は混ざっている
– ロボットはセンサの計測値と自身の位置の対応を
知らなければならない→「観測モデル」
Apr. 18, 2018 ロボットフロンティア第1回@中部大学 24

25. 移動モデル 𝑝 𝑥 𝑡|𝑥 𝑡−1, 𝑎 𝑡
• 時刻𝑡 − 1のときに、ロボットの状態が𝑥 𝑡−1で、
このときに𝑎 𝑡という行動をとったら、𝑥 𝑡に状態が移る確率
• 𝑝𝑡−1 𝑥 から𝑝𝑡 𝑥 を計算するときにロボットが使用
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移動の際のPDFの変化
𝑝𝑡 𝑥
𝑝𝑡−1 𝑥
ある位置からの移動は雑音でばらつく
𝑝 𝑥𝑡|𝑥𝑡−1, 𝑎 𝑡
𝑥𝑡−1
𝑥𝑡𝑎 𝑡

26. 移動による信念の変化
• 式: 𝑝𝑡 𝑥 = 𝑥′∈𝒳
𝑝 𝑥|𝑥′, 𝑎 𝑡 𝑝𝑡−1 𝑥′ ⅆ𝑥′
– マルコフ連鎖の式
– 空間𝒳: ロボットが取りうる状態𝑥の集合
• 解釈
– 𝑝𝑡 𝑥 は、空間𝒳の各点𝑥′から確率密度関数𝑝 𝑥|𝑥′, 𝑎 𝑡 を
描いて、移動前の信念𝑝𝑡−1 𝑥′ の値を重みにして
足し込んだもの
– 離散の場合: 𝑃𝑡 𝑋 = 𝑋′∈𝒳 𝑃 𝑋|𝑋′, 𝑎 𝑡 𝑃𝑡−1(𝑋′)
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27. 問題
• Belが赤の分布のときにロボットが移動したら
次のBelはどうなるでしょうか？
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28. 観測モデル 𝑝 𝑧|𝑥
• ロボットの状態が𝑥のときに、センサを使って何かを
計測したら、情報𝑧が返ってくるという事象に対する
確率密度関数
Apr. 18, 2018 ロボットフロンティア第1回@中部大学 28
𝑝 𝑥
観測
ここら辺から
観測してそうだ
観測前のpdf
観測後のpdf

29. 観測による信念の変化
• ベイズの定理
– 𝑝 𝑥|𝑧 =
𝑝 𝑧|𝑥 𝑝(𝑥)
𝑥′∈𝒳 𝑝 𝑧|𝑥′ 𝑝(𝑥′) ⅆ𝑥′
= 𝜂𝑝 𝑧|𝑥 𝑝(𝑥)
– 𝜂は確率の総和を1に保つための定数（正規化定数）
– 離散の場合:𝑃 𝑥|𝑧 = 𝜂𝑃 𝑧|𝑥 𝑃(𝑥)
• 尤度
– 𝑝 𝑧|𝑥 を𝑥の関数とみなしてℓ 𝑥|𝑧 とも表記
– センサ情報𝑧が得られたとき𝑥がどの程度尤もらしいか
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更新前の信念
更新後の信念

30. 問題
• Bel（つまり P(x)）が赤の分布のときにセンサ値を得
たら次のBelはどうなるでしょうか？
Apr. 18, 2018 ロボットフロンティア第1回@中部大学 30

31. 本日のまとめ
• 確率ロボティクス: ロボットを不確かな環境
（=我々の生活環境）で動作させるための枠組み
– ロボットに関する「分からない」「部分的に分かる」を
数学的に扱えるようにする枠組み
• 動作モデル、観測モデルをロボットが持つことで、
確率的な状態推定が可能に
– マルコフ連鎖 + ベイズの定理
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32. 疑問
• で、これ、どうやってプログラムするの？？
– ロボットの位置は離散的でない
• 次回
– カルマンフィルタ
– パーティクルフィルタ
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