都内某所で飲み会の肴として喋ったスライドです。 →ダウンロードはこちら https://www.docswell.com/s/rtachi-lab/KV3MQ5-2022-08-28-155238

1. 超音波による骨質評価と信号処理：
瞬時周波数の応用
橘 亮輔
東京大学大学院 総合文化研究科 特別研究員ＰＤ
長谷 芳樹
神戸市立工業高等専門学校 電子工学科 准教授
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2. 瞬時周波数って矛盾してません？
でも・・・
 frequencyとは頻度のこと。周期的に生じる波の数。
 １サイクルもないのに周期的とはこれいかに
 瞬時周波数とはその瞬間その時点での周波数のこと。
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このへん
高そう
このへん
低そう
ある瞬間t1 ある瞬間t2

3. 定義
 単一音源 x(t) を考える
AMかけられたFMな複素正弦波
θは時々刻々の位相（瞬時位相）
 瞬時位相の時間微分を瞬時周波数
時々刻々の偏角の回転速度
 直感的には音源（振動源）が１個
だとすると瞬時周波数は解釈可能
𝑓𝑖𝑛𝑠 𝑡 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑑 arg[𝑥 𝑡 ]
𝑑𝑡
𝑥 𝑡 = 𝐴(𝑡) × 𝑒 𝑗𝜃(𝑡)
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4. 瞬時周波数は詳細な「時間-周波数表現」
波形
スペクトロ
グラム
瞬時
周波数
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5. 骨の話
 骨は皮質骨と海綿骨でできてる
 骨の強度＝骨密度と骨質（弾性とか異方性とか）
 骨粗鬆症は海綿骨がスカスカになる
皮質骨 海綿骨 健康 アカン…
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骨粗鬆症財団ウェブサイトより from Encarta (Microsoft)

6. 二波分離現象
 骨を水の中に置いて超音波を照射して、反対側で受波
 速い波と遅い波が受かる。先行する波は骨を通ってきたはず
 この速い波を細かく調べればなんか分かりそう
 少なくとも分離したい
瞬時周波数
つかえるかも
Hosokawa & Otani
(1997) JASA
水だけ
骨あり
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7. FDTD a.k.a 「さわ～」
 有限差分時間領域法
http://ultrasonics.jp/nagatani/fdtd/
音圧の
更新式
粒子速度の
更新式
𝜅 : 体積弾性率 𝜌 : 密度
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8. 研究の目的と方針
 骨に超音波を当てたときの「速い波」をみれば骨の
状態が細かく分かるかも
 瞬時周波数を利用して時間周波数表現を調べる
 理想的な状況を対象としたいので模擬データ使う
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Hosokawa & Otani (1997) JASA

9. ウェーブレット変換した例
複素モルレー（ガボール）
ガウス近似
Hasegawa, et al (2010) JJAP
残差
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10. とりあえず普通の瞬時周波数
 受波信号をヒルベルト変換して虚部をつくり解析信号を得る。
解析の偏角の時間微分をとる。
 振幅の小さい（相対的にノイズが大きい）ところですごいバタつく。
二波が重なるところで（？）ぶっ飛ぶ（矢印の箇所）
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11. マルチチャンネルIF法（MCIF）
 短時間フーリエ変換（スペクトログラム）の偏角をとって瞬時位相
とし、その時間微分を求めて各チャンネルの瞬時周波数とする
 時間窓はガウス窓。
Nagatani & Tachibana (2014) J Acoust Soc Am 135: 1197
バンドパス
フィルタバンク
元信号
マルチチャンネル
瞬時周波数スペクトログラム
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12. 安定的な稜線を抽出する
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解析ガウス窓 σ= 0.25 us
CF-IF関数の制約
傾斜制約： 0.5 Hz/Hz
曲率制約： 0.003Hz/Hz2
フィルタの中心周波数（MHz）
時間（us）

13. 結果１：骨の厚み変えてみた
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Nagatani & Tachibana (2014) J Acoust Soc Am 135: 1197

14. 結果２：骨梁の太さ変えてみた
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Nagatani & Tachibana (2014) J Acoust Soc Am 135: 1197

15. MCIF法まとめと展望
 詳細な時間-周波数表現が得られた
– 骨の状態を表現している。結構使えそう。
 実は他の分野でもある方法なのだが、骨分野に応用
したところがポイント
– ノイズに敏感なので現場で使うには工夫がいるかも
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16. 「さわ～」情報
http://ultrasonics.jp/nagatani/fdtd/
「FDTD法で視る音の世界」
（コロナ社，今秋発刊予定）
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