3. Portfolios Lineares
Seja uma carteira consistindo das quantidades
x = (x 1,..., x n )
de ativos 1,...,n. Seja vt = (vt 1,..., vtn ) os valores de
mercado de cada ativo em t. Passado um intervalo de tempo Δt
a mudança no valor total da carteira é:
n
ΔV = ∑ x i Δvi
i =1
Risco
P {ΔV ≤ ΔV *
}=α
(α )
3
4. Portfolios Lineares
p(Δv1,..., Δvn ) =
{ 1 T
exp − (Δv − Δv) C−1 (Δv − Δv)
2
n n
}
(2π ) (det C)2
2
n
⎧ 1
⎪
⎪− 2⎫
⎪ ΔV = ∑ x j Δv j
exp ⎨
⎪ 2σV
2 (ΔV − ΔV ) ⎪
⎬
⎪ j =1
p(ΔV ) = ⎪
⎩ ⎪
⎭
2
2πσV σV = ∑ x j x kC jk
2
jk
ΔV *
F (ΔV * ) = ∫ d (ΔV ) p (ΔV ) = α
4
−∞
5. Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Delta
n
V ( f1,..., fK , t ) = ∑ x j v j ( f1,..., fK , t )
j =1
Aproximação Delta:
n ∂v j ( f , t ) K n ∂v j ( f , t )
ΔV = ∑xj
δ
Δt + ∑ Δfk ∑x j
j =1 ∂t k =1 j =1 ∂fk
Θ( f ,t ) δk ( f ,t )
5
6. Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Delta
p(Δf1,..., ΔfK ) =
{ 1 T
exp − (Δf − Δ f ) C−1 (Δf − Δ f )
2
K K
}
(2π) (det C) 2
2
K
⎧ 1 2⎫
⎪
⎪−
exp ⎨
⎪
(Δ V − Δ V ) ⎪
δ δ
⎬
Δ V = ∑ δj Δfj
δ
⎪ 2σV
⎪
2
⎪
⎪ j =1
δ
p(Δ V ) = ⎩ ⎭
2πσV2
σ = ∑ δj δkC jk
2
V
δ
jk
ΔδV *
F (ΔδV * ) = ∫ d (ΔδV ) p (ΔδV ) = α
6
−∞
7. Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1)
n
V (f , t ) = ∑ x jv j ( f , t )
j =1
∂v i ( f , t ) ∂v i ( f , t ) 1 ∂ 2vi ( f , t ) 2
γ
Δ vi = Δt + Δf + 2
(Δf )
∂t ∂f 2 ∂f
1 2
= θi ( f , t ) Δt + δi ( f , t ) Δf + γi ( f , t )(Δf )
2
7
8. Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1)
n n n
1
Δ V = Δt ∑ x i θi ( f , t ) + Δf ∑ x i δi ( f , t ) + (Δf ) ∑ x i γi ( f , t )
γ 2
i =1 i =1 2 i =1
1 2
= Δt Θ( f , t ) + Δf δ( f , t ) + (Δf ) γ ( f , t )
2
⎧ 1
⎪ ⎫
2⎪
⎪− Δf − Δf ) ⎪ ⎛⎛ ⎞
(
2
exp ⎨ ⎬ ⎜⎜ Δf − Δf ⎞
⎟ ⎟
⎪ 2σ f2 ⎪ p ⎜⎜ ⎟ ⎟ = χ2 (1)
⎟
⎪
⎩ ⎪
⎭ ⎜⎜
⎜⎜ ⎟
⎟ ⎟
p(Δf ) = ⎜⎝
⎜ σf ⎟
⎠ ⎟
⎟
2πσ f2 ⎝ ⎠
8
9. Portfolios Não-Lineares:
Aproximação Linear-Quadrática.
Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1)
Qual é a distribuição da soma de uma normal com uma Qui-
quadrado ?
⎛ 1 δ2 ⎞ ⎛δ ⎞
2 ⎛⎛ δ ⎞ ⎞
2
ΔγV − ⎜Δt Θ − ⎟ ⎜ + Δf ⎟ ⎜⎜ + Δf ⎟ ⎟
⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜⎜
⎜⎝ γ ⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎜
⎝ 2 γ⎠ ⎜γ
⎝ ⎠ ⎜⎜
2⎜ ⎠ ⎟ ⎟
= ≡w ∼χ ⎜ ,1⎟
⎟
2
γσ / 2 σ f2 ⎜
⎜
2
σf ⎟
⎟
f ⎜
⎜ ⎟
⎟
⎜
⎝ ⎟
⎟
⎠
*
P (w ≤ w (α)) = α
9
22. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.
Variância do Portfolio. Decomposição de
Cholesky
−1/ 2
Δy = Σ Δf
Σ −1 ≡ Σ −1/ 2 Σ −1/ 2
Δy ∼ N n ( 0, 1n )
22
23. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.
Variância do Portfolio. Decomposição de
Cholesky
−1/ 2
Δy = Σ Δf
1 1 1
Δf ′ΓΔf = Δy ′Σ ΓΣ Δy = Δy ′AΔy
1/ 2 1/ 2
2 2 2
A ≡ Σ ΓΣ
1/ 2 1/ 2
= CΛC′
Onde C é uma matriz composta por colunas que são
autovetores de A e Λ é uma matriz diagonal com
os autovalores de A 23
24. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.
Variância do Portfolio
1 1
Δf ′ΓΔf = Δy ′AΔy
2 2
1 1 1 n
= Δy ′CΛC′Δy = x′Λx = ∑ λ j x 2
j
2 2 2 j =1
Combinação linear de variáveis
distribuídas conforme Qui-quadrado.
24
