O documento resume os principais conceitos da Teoria de Valores Extremos (EVT) para medir riscos, incluindo: 1) a distribuição generalizada de valores extremos para máximos em blocos e a distribuição generalizada de Pareto para violações de limiares; 2) estimação de parâmetros dessas distribuições; 3) determinação de intervalos de confiança para medidas de risco via inversão de testes de verossimilhança ou bootstrap.
PROVA - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL: COMUNICAÇÃO ASSERTIVA E INTERPESS...
Medida de risco por Teoria de Valores Extremos
1. Medida de Risco via Teoria
de Valores Extremos
Análise de Risco (8)
R.Vicente
1
2. Resumo
EVT: Idéia geral
Medidas de risco
Teoria de Valores Extremos (EVT)
Distribuição de Máximos
Distribuição de Exceedances
Estimação de Parâmetros
Intervalos de Confiança
Bibliografia
2
3. EVT: Idéia Geral
1. Teoremas limite similares ao Teorema do Limite Central para o
comportamento de desvios extremos;
2. Permite inferência do comportamento de eventos raros e
extremos a partir de poucas observações;
3. Suposição de que, apesar da variedade de causas possíveis, há
comportamentos estatísticos gerais nos extremos;
4. Teoremas de EVT se aplicam desde que o comportamento
(desconhecido) dos extremos possa ser descrito por
distribuições que se enquadrem em uma família
suficientemente bem comportada (e.g. com segundo momento
pelo menos).
3
4. Novamente: Medidas de Risco
1. VaR
VaRp = F −1 (1 − p )
2. Expected Shortfall
ES p = E (X X > VaRp ) = E (X −VaRp X > VaRp ) + VaRp
1. Nível de Retorno
⎛ 1⎞
k
R =H −1
⎜1 − ⎟
⎜ ⎟
n
⎝ k ⎠
, onde H é a distribuição de máximos observados em janelas
sucessivas sem intersecção de comprimento n. A medida de
risco é o valor que se espera violar em 1 em k períodos de
comprimento n.
4
6. Teoremas Limite 1: Máximo em Blocos
1. Máximo em Blocos
(Fisher and Tippett (1928), Gnedenko (1943)) Seja (Xt ) uma seqüência
de variáveis aleatórias iid. Sejam M n os máximos de blocos com
tamanho n. Se existem constantes c > 0, d ∈ e uma
distribuição não-degenerada H tal que n n
⎧e −(1+ξx )−1/ ξ se
⎪ ξ≠0
M n − dn ⎪
d
⎯⎯→ H então H ξ (x ) = ⎪ −x
⎨ −e
cn ⎪e
⎪ se ξ=0
⎪
⎩
6
Generalized Extreme Value (GEV) distribution
7. Teoremas Limite 1: Máximo em Blocos
Generalized Extreme Value (GEV) distribution
⎧e −(1+ξx )−1/ ξ se
⎪ ξ≠0
⎪
H ξ (x ) = ⎪ −x
⎨ −e
⎪e
⎪ se ξ=0
⎪
⎩
1 1
ξ= ξ =−
α α ξ=0
Fréchet Weibull Gumbel
7
9. Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
1. Violações de um Limiar
Limiar u
(Pickands (1975), Balkema e De Haan (1974)) Pra uma classe grande de
distribuições F a distribuição do excedente condicional Fu (y ) para u
suficientemente grande é bem aproximada por :
⎧ ⎛
⎪ ξ ⎞
−1/ ξ
⎪1 − ⎜1 + y ⎟
⎪ ⎟ se ξ ≠ 0
⎪ ⎜
G ξ (y ) = ⎨ ⎝ σ ⎠ ⎟
,σ ⎪
⎪ 1 − e −y / σ se ξ = 0
⎪
⎪
⎩ ⎡ ⎤ σ
Para y ∈ [0,(x F − u )] se ξ ≥ 0 y ∈ ⎢0, − ⎥ se ξ < 0
⎣⎢ ξ ⎦⎥ 9
Distribuição generalizada de Pareto (GPD)
10. Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
Distribuição generalizada de Pareto (GPD)
⎧ ⎛
⎪ ξ ⎞
−1/ ξ
⎪1 − ⎜1 + (x − u )⎟
⎪ ⎟ se ξ ≠ 0
⎪ ⎜
G ξ (y ) = ⎨ ⎝ σ ⎟
⎠
,σ ⎪
⎪
⎪ 1 − e −(x −u )/ σ se ξ = 0
⎪
⎩
limite exponencial Caudas pesadas
ξ : forma u : posiçao σ :escala
10
11. Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
Obtendo a distribuição de extremos:
n é o número total de observações e Nu é o número de
observações acima do limiar u
11
12. Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
Calculando risco dos extremos:
Considerando o seguinte resultado de EVT para ξ <1 :
Assumindo
12
13. Violações de um Limiar: Estimação de
parâmetros
Três parâmetros para estimar:
ξ : forma u : posiçao σ :escala
1. POSIÇÃO: Ainda não há um algoritmo que permita estimação automática
do parâmetro de posição. Utilizando o seguinte resultado de EVT:
Pode-se estimar:
Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de
13
u acima do qual e(u) é uma reta.
14. Violações de um Limiar: Estimação de
parâmetros
1. POSIÇÃO:
Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de
u acima do qual e(u) é uma reta.
S ample mean exces s function
S ample mean exces s function 2
4
3.5 1.8
3
1.6
2.5
1.4
2
1.2
1.5
1 1
0.5
0.8
0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
u u
14
15. Violações de um Limiar: Estimação de
parâmetros
2. ESCALA e FORMA: os outros dois parâmetros podem ser obtidos via
maximização da log-verossimilhança, dado o limiar u (POSIÇÃO):
Para maximização dessa função pode-se utilizar algoritmos de gradiente.
15
16. Violações de um Limiar: Estimação de
parâmetros
1.01
1.005
1
0.995
0.99
0.985
0.98
0.975
0.97
0 5 10 15
GPD ajustada via maximização de log-verossimilhança. De posse
dessa distribuição pode-se, em princípio, calcular VaR com
confianças superiores a 99%. 16
17. Determinação de Barras de Erro para o
Risco estimado.
Como as estimações de EVT envolvem sempre
poucos dados é estritamente necessário calcular
barras de erro para os parâmetros, e
conseqüentemente para o risco estimado. Há,
pelo menos, duas formas clássicas de estimar
estas barras de erro:
1. Invertendo o teste de razão de verossimilhança;
2. Realizando simulações (bootstraping).
17
18. Determinação de Barras de Erro: Inversão
do teste de razão de verossimilhança.
Nessa alternativa leva-se em conta que a distribuição
assintótica do log da razão de verossimilhanças é
conhecida (Qui-quadrado com dois graus de liberdade) .
Assim calculam-se as diferenças entre log-
verossimilhanças
A região de confiança dos parâmetros é escolhida de
forma que a probabilidade de estar dentro do intervalo de
parâmetros da barra de erro seja, por exemplo, 95%.
18
19. Determinação de Barras de Erro: Inversão
do teste de razão de verossimilhança.
1
0.9
Região de 95 %
de Confiança
0.8
0.7
σ
0.6
0.5
0.4
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
ξ
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20. Determinação de Barras de Erro:
Bootstraping
Essa alternativa é computacionalmente mais pesada mas
é mais apropriada para situações em que o número
disponível de observações é limitado.
No bootstrapping amostram-se com reposição
subconjuntos de dados e reestimam-se os parâmetros para
cada subconjunto utilizando máxima verossimilhança. O
resultado é uma nuvem de pontos que pode ser utilizada
para estimar barras de erro através da construção de
histogramas
20
22. Determinação de Barras de Erro
diretamente para o VaR ou ES
É possível obter barras de erro diretamente para o VaR ou ES utilizando:
para reparametrizar as distribuições.
22
23. Determinação de Barras de Erro
diretamente para o VaR ou ES
Com as mudanças apropriadas de variável obtemos:
para ξ≠0
23
24. Determinação de Barras de Erro
diretamente para o VaR ou ES
Para o ES obtemos:
1
0
0.6
-1
-2 0.5
-3
0.4
-4
ξ
-5 0.3
-6
0.2
-7
-8
0.1
-9
0
-10 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
ES 0.01
ES 0.01
Intervalo de confiança a 95% para Região equivalente de confiança
a razão de verossimilhança a 95%. Pontos representam o
resultado bootstrap
24
25. Determinação de Barras de Erro
diretamente para o VaR ou ES
Para o VaR obtemos:
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
2 2.5 3 3.5
Va R0.01
Intervalo de confiança a 95% para Região equivalente de confiança
a razão de verossimilhança a 95%. Pontos representam o
resultado bootstrap
25
26. Bibliografia
• Gilli, M. and Këllezi E., Na application of Extreme Value Theory for Measuring
Risk, Fevereiro 2003.
•Efron, B. and Tibshirani R.J., An Introduction to the Bootstrap, Chapman&Hall,
Nova York (1993)
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