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Introducci´on a la Matem´atica Discreta: Teor´ıa
de Conjuntos
Erik Papa Quiroz
erikpapa@gmail.com
Universidad Tecnol´ogica del Per´u (UTP)
Facultad de Ingenier´ıa Industrial y de Sistemas
Abril del 2012
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Contenido
1 Introducci´on
2 Objetivo General
3 Motivaci´on
4 Teor´ıa de Conjuntos
5 Operaciones con Conjuntos
6 Aplicaciones
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Introducci´on
La teor´ıa de conjuntos es la base de toda estructura
matem´atica.
Es importante en computaci´on para poder implementar
algoritmos y operaciones con algoritmos: uni´on de
algoritmos, exclusi´on, etc.
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Objetivo General
Al final de esta unidad el alumno ser´a cap´az de resolver
problemas de sondeos, muestras en hospitales, audiencia,
estad´ısticas, etc usando la teor´ıa de conjuntos.
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Problema 1
Se ha realizado una encuesta entre 1200 estudiantes de la
UTP que beben gaseosas de las marcas P y Q, obteniendo
como resultados lo siguiente: 300 estudiantes toman
exlusivamente la gaseosa P y 50 toman s´olo la gaseosa Q.
¿Cuantos estudiantes beben de ambas marcas?
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Problema 2
Se han obtenido los siguientes resultados en una muestra de
100 estudiantes de la UTP:
a) 12 estudiantes cursan An´alisis Matem´atico II, F´ısica II y
Sistemas Operativos
b) 22 cursan s´olo An´alisis Matem´atico II y F´ısica II
c) 3 cursan ´unicamente An´alisis Matem´atico II y Sistemas
Operativos
d) 7 s´olo F´ısica II y Sistemas Operativos
e) Todos ellos cursan, al menos, una de las tres disciplinas.
Encontrar el total de estudiantes que cursan una sola materia.
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Problema 3
En una muestra de 100 pacientes se ha encontrado que 74 de
ellos presentan s´ıntomas de artritis, 17 de fibromialgia y 25 de
osteoporosis. De los 100, 4 en concreto presentan los tres
s´ıntomas. Por otra parte, cada paciente presenta, al menos,
una de las tres enfermedades. Se trata de conocer el n´umero
de pacientes que presentan s´ıntomas de s´olo dos de las
enfermedades.
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Definiciones y Notaciones
Un conjunto es una colecci´on de objetos con aguna
propiedad en com´un. Usualmente lo denotaremos con
letras may´usculas. Por ejemplo A, B, etc
Dado un conjunto A, escribimos x ∈ A si x es un elemento
de A. Caso contrario escribimos x /∈ A.
Por ejemplo, sea
A = {1, 3, 5, 8}
entonces 3 ∈ A pero 9 /∈ A.
∀ significa para todo
∃ significa existe
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Definiciones y Notaciones
Dados dos conjuntos A y B se dice que A est´a incluido en
B o que A es una parte de B o que B contiene a A,
denotado por A ⊂ B, si todo elemento de A est´a en B.
Por ejemplo, sean
A = {1, 3, 5, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
entonces podemos afrimar que A ⊂ B.
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Definiciones y Notaciones
Dados los conjuntos A y B, escribimos A ⊂ B si existe por
lo menos un elemento de A que no est´a en B.
Por ejemplo, sea
A = {1, 3, 5, 10} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
entonces afirmamos que A ⊂ B.
Dado el conjunto A, denotamos por |A| al n´umero de
elementos distintos del conjunto A.
Por ejemplo, sean
A = {1, 3, 5, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 1},
entonces |A| = ... y |B| = ...
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Definiciones y Notaciones
Dado un conjunto A, denotamos por P(A) el conjunto de
partes de A, esto es, el conjunto formado por todos sus
subconjuntos.
Por ejemplo, si A = {1, 2, 3} entonces
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
y |P(A)| = 8
Teorema: Si A = ∅ entonces |P(A)| = 2|A|.
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Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Definiciones
Sea U el conjunto universal y A, B ⊂ U, definimos:
A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Ac = {x ∈ U : x /∈ A}
A − B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x /∈ B}
A ⊕ B = (A − B) ∪ (B − A)
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Ejemplo
Sea U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}. Hallar:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) Ac y Bc
d) A − B
e) A ⊕ B
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Ejemplo
Sea U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}. Probar que
se cumplen las leyes de Morgan:
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
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Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Resultado Te´orico
Teorema
Sean A1, ..., An conjuntos finitos disjuntos dos a dos, esto es,
Ai ∩ Aj = ∅, ∀i = j, entonces:
|A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An|
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Ejemplo
Sean los conjuntos
A = {2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5}, C = {9, 11, 13}.
Usando el Teorema, hallar |A ∪ B ∪ C|
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Ejemplo
Sean los conjuntos
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6}.
Usando el Teorema, hallar |A ∪ B|.
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Corolario
Corolario
1 Sean dos conjuntos A y B, entonces
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ C|
2 Sean los conjuntos A, B, C entonces
|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|
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Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Soluci´on del Problema 1
Problema 1
Se ha realizado una encuesta entre 1200 estudiantes de la
UTP que beben gaseosas de las marcas P y Q, obteniendo
como resultados lo siguiente: 300 estudiantes toman
exlusivamente la gaseosa P y 50 toman s´olo la gaseosa Q.
¿Cuantos estudiantes beben de ambas marcas?
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Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Soluci´on del Problema 1
Soluci´on
Sean los conjuntos:
A1 = { estudiantes que beben exclusivamente la marca P}
A2 = { estudiantes que beben exclusivamente la marca Q}.
A3 = { estudiantes que beben las dos marcas de gaseosa }
Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, entonces por
Teorema:
|A1 ∪ A2 ∪ A3| = |A1| + |A2| + |A3|.
Como |A1 ∪ A2 ∪ A3| = 1200, |A1| = 300, |A2| = 50, entonces
|A3| = 1200 − 300 − 50
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Motivaci´on
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Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Problema 2
Problema 2
Se han obtenido los siguientes resultados en una muestra de
100 estudiantes de la UTP:
a) 12 estudiantes cursan An´alisis Matem´atico II, F´ısica II y
Sistemas Operativos
b) 22 cursan s´olo An´alisis Matem´atico II y F´ısica II
c) 3 cursan ´unicamente An´alisis Matem´atico II y Sistemas
Operativos
d) 7 s´olo F´ısica II y Sistemas Operativos
e) Todos ellos cursan, al menos, una de las tres disciplinas.
Encontrar el total de estudiantes que cursan una sola materia.
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Introducci´on
Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Problema 2
Soluci´on del Problema 2
Sean los conjuntos:
A1 = { alumnos que cursan las tres disciplinas } ⇒ |A1| = 12
A2 = { alumnos que cursan s´olo AM II y Fisica II } ⇒ |A2| = 22
A3 = { alumnos que cursan s´olo AM II y SO } ⇒ |A3| = 3
A4 = { alumnos que cursan s´olo F´ısica II y SO } ⇒ |A4| = 7
A5 = { alumnos que cursan s´olo AM II }
A6 = { alumnos que cursan s´olo F´ısica II }
A7 = { alumnos que cursan s´olo SO }
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Motivaci´on
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Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Problema 2
Soluci´on del Problema 2
Los conjuntos son disjuntos, entonces aplicando el Teorema:
|A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6∪A7| = |A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5|+|A6|+|A7|.
Entonces:
|A5| + |A6| + |A7| = 100 − (12 + 22 + 3 + 7) = 56.
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Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Problema 3
Problema 3
En una muestra de 100 pacientes se ha encontrado que 74 de
ellos presentan s´ıntomas de artritis, 17 de asma y 25 de
osteoporosis. De los 100, 4 en concreto presentan los tres
s´ıntomas. Por otra parte, cada paciente presenta, al menos,
una de las tres enfermedades. Se trata de conocer el n´umero
de pacientes que presentan s´ıntomas de s´olo dos de las
enfermedades.
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Objetivo General
Motivaci´on
Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Problema 3
Soluci´on del Problema 3
Sean los conjuntos:
A1 = { s´olo s´ıntoma de artritis }
A2 = { s´olo s´ıntoma de asma }
A3 = { s´olo s´ıntoma de osteoporosis }
A4 = { s´olo s´ıntoma de artritis y asma }
A5 = { s´olo s´ıntoma de artritis y osteoporosis }
A6 = { s´olo s´ıntoma de asma y osteoporosis }
A7 = { s´ıntomas de las tres enfermedades }
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Teor´ıa de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Aplicaciones
Problema 3
Soluci´on del Problema 3
Los conjuntos son disjuntos, entonces aplicando el Teorema:
|A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6∪A7| = |A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5|+|A6|+|A7|.
Pero
|A1| = 74 − |A4| − |A5| − |A7|
|A2| = 17 − |A4| − |A6| − |A7|
|A3| = 25 − |A5| − |A6| − |A7|
Entonces:
100 = 116 − |A4| − |A5| − |A6| − 2|A7|
⇒ |A4| + |A5| + |A6| = 116 − 100 − 2(4) = 8.
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