1. MARIANO MELGAR
PROFESORA :CARRION NIN
ALUMNO: Jefferson Pastor
Alvarez Morales
GRADO 5 “B” GEOMETRIA
AREA: MATEMATICA ANALITICA
• LA PARABOLA
2012 •
•
LA RECTA
LA ELIPSE
• LA CIRCUNFERENCIA
2. INTRODUCCIÓN
Se conoce como geometría analítica al estudio de
ciertas líneas y figuras geométricas aplicando
técnicas básicas del análisis matemático y del
álgebra en un determinado sistema de
coordenadas.
Descartes le dio impulso a la geometría analítica. Lo
novedoso de la geometría analítica es que permite
representar figuras geométricas mediante fórmulas
del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u
otro tipo de expresión matemática.
3.
4. Ecuaciones de la recta en el
plano
Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en
el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos,
el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una
constante.
La ecuación general de la recta es de la forma:
cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen
es b = -C/B.
Una recta en el plano se representa con la Función
lineal de la forma:
5. Como expresión general, ésta es conocida con el nombre
de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos
distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de
los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son
perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de
cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para
todos los reales).
Tenemos pues tres casos:
Rectas
Rectas oblicuas. Rectas verticales.
horizontales.
6. Tómese sobre la recta los puntos P1(x1,
y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los
puntos P1,P2 y P3 sobre el eje x, se
obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.
Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y
OP3P’3 son semejantes; se tiene que:
Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y)
sobre l, ó y = mx (1)
7. FORMAS DE LA ECUACIÓN DE
LA LINEA RECTA
Considere la recta l que pasa por el
origen 0 y forma un ángulo de
inclinación con el eje x (fig. 4.6.)
Fig. 4.6
8. Trácese por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un
punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x;
PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas
P’’(x, Y), Y y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx
Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.
Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:
Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.
Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en
términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.
9. Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un
Punto Y De Pendiente Conocida
Considerela recta l que pasa por un
punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m
también es conocida.
Al llamar b al intercepto de la
recta l con el eje y, entonces la
ecuación de l, viene dada por:
y = mx + b (1)
Como P1(x1, y1) l, entonces
satisface (1) y en consecuencia se
tiene:
y1 = mx1 + b (2)
10. Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente
m Y Su Intercepto b Con El Eje y
Considereuna recta l de la que se
conocen m (m = tan ) y b (ver fig. 4.7.)
fig. 4.7.
11. Ecuación de la recta que pasa por dos
puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y
P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente.
Como l pasa por el punto
P1(x1, y1) y tiene pendiente
m1, se tiene de acuerdo a
4.4.3, que
y – y1 =
m1 (x – x1) (1)
representa la ecuación de
dicha recta.
Ahora, como el punto P2(x2,
y2) l, entonces satisface su
ecuación.
15. LA CIRCUNFERENCIA
Escribir
la ecuación de las cirunferencias
De centro C(1,1) y radio r=3
De centro C (0, 0) y radio r=2
Recta Tangente a una circunferencia
Si desde un punto P(x,y) trazamos una recta
t, será tangente a una circunferencia
cuando la distancia del centro de la recta
coincida con el radio.
16. LA CIRCUNFERENCIA
La recta es tangente si: d(C,t)=radio
La recta se llama exterior si: d(C,r)>radio
La recta se llama secante si: d(C,s)< radio
la intersecan dos puntos A y B.
18. Ecuación reducida de la circunferencia
Si el centro de la circunferencia coincide con
el origen de coordenadas la ecuación queda
reducida a:
Escribir la ecuación de la circunferencia de
centro (3, 4) y radio 2.
Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 -
2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.
31. LA ELIPSE
Una elipse es el lugar geométrico de los
puntos P (x,y), cuya suma de distancias a dos
puntos fijos F y F’ (focos)es constante.
Para su construcción manual, se toma un
segmento de longitud 2a y se sujetan sus
extremos en F y F’, los datos, si se mantienen
el segmento tirante y se va girando se
obtiene el gráfico de la elipse.
