Conjuntos Matemáticos, Operaciones con Conjuntos, Números Reales, Desigualdades, Valor Absoluto y Desigualdades con Valor Absoluto

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universitaria, Ciencia y Tecnología
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara
“Andrés Eloy Blanco”
Quíbor - Estado Lara
Integrante:
Roximar Pérez
C.I 27.987.385
Prof: Elismar Suárez
Roger Timaure
Sección: AD0401J
Conjuntos Matemáticos, Operaciones con
Conjuntos, Números Reales, Desigualdades,
Valor Absoluto y Desigualdades con Valor
Absoluto

2. Un conjunto es una colección de elementos que tienen una
propiedad común y que se encuentra formado por una cantidad finita
o infinita de los mismos. Asimismo un conjunto es representado por
una letra mayúscula, encerrando sus elementos entre llaves y
separándolos por comas. Por ejemplo, el conjunto A, integrado por
algunos estados de Venezuela, se representaría así: A= {Mérida,
Sucre, Falcón}
Conjuntos
Finitos
Infinitos Unitario Vacío
Heterogéneo
Homogéneo
Equivalentes Iguales
Tipos de Conjuntos
Operaciones con Conjuntos
Unión
Se trata del conjunto formado por los elementos que pertenezcan a cualquiera de los
conjuntos que se propongan para dicha unión; donde el resultado de la operación será el
conjunto universal 𝑼, que cumplan la condición de estar en uno o en otro. Por ejemplo: M 𝑼
N₌ {a, c, b, g, e}.

3. Intersección
Permite hallar los elementos que tienen en común los conjuntos dados; se denota como ∩
, para determinar que elementos pertenecen a este conjunto, se deben establecer todos los
elementos del conjunto 𝑼, obteniendo por ejemplo M ∩ N₌ {b}.
Diferencia
Se deben señalar los elementos de un conjunto que no estén en el otro; por ejemplo si se
lleva a cabo la operación M menos N, se deben seleccionar los elementos de M que no
están en N, representando dicha operación de la siguiente manera M N₌ {a,c}.
Diferencia Simétrica
Representa el conjunto de los elementos que pertenezcan tan solo a uno de dos
conjuntos dados y se representa a través del símbolo ∆, por ejemplo M ∆ N ₌ {a,c,g,e}.
Complemento
Si un conjunto U contiene uno de nombre M, entonces el complemento de este último
será aquel que contenga los elementos que no pertenecen a M. Asimismo comúnmente se
utilizan los símbolos Mᶜ,M
̅ o M ̕ para representar este complemento, por ejemplo Mᶜ₌ {j, f,
g, e, i, h}.
Ejercicios Resueltos
• Resuelve las siguientes operaciones con conjuntos:
 Sean S₌ {a,b,c,d} y T₌ {f,b,d,g} cual es el conjunto 𝑼?
S 𝑼 T ₌ {a,b,c,d,f,g}

4.  Sean V₌ {2,4,6…} es decir los múltiplos
de 2; y sea W₌ {3,6,9…} en este caso los
múltiplos de 3, determina cual es el
conjunto V ∩ W.
V ∩ W₌ {6,12,18…}
 Suponiendo que el conjunto universal U sea el
alfabeto, dado T₌ {a,b,c}, cual es el
complemento?
T ̕ ₌ {d, e, f, g, h…}
Números Reales
El conjunto de los números reales se encuentra denotado por 𝐑 y
esta formado por la unión del conjunto de los números racionales 𝐐;
y el conjunto de los números irracionales 𝐈. Igualmente un numero
real se puede representar mediante una expresión decimal, explicada
a continuación:
Reales
Expresiones decimales
limitadas
Expresiones decimales
ilimitadas
Periódicas
Mixtas
Puras
No periódicas
Los números
racionales son
todas las
fracciones 𝑎
𝑏
Los números
irracionales son
números reales que
no se pueden
expresar como
fracción.

5. Adición en 𝐑
• Si son dos números racionales: Si los sumandos tienen una gran cantidad de cifras decimales se
aproximan, se alinean las cifras por la coma y luego se halla la suma de las cifras de derecha a
izquierda.
• Si son un numero racional y uno irracional: Se debe aproximar el irracional a cierta cantidad de
cifras decimales. Si el racional también tiene una gran cantidad de cifras decimales, también se
aproxima. Luego se alinean los números por la coma y se efectúa la adición de derecha a
izquierda.
• Si son dos números irracionales: Se aproximan las cifras decimales a cierto orden, se alinean y
se realiza la adición de derecha a izquierda.
Conmutativa: a+b ₌ b+a para
todo a, b ∈ 𝐑.
Asociativa: (a+b)+c ₌ a+(b+c)
para todo a, b y c ∈ 𝐑.
Elemento Neutro: a+0 ₌ a y
0+a ₌ a para todo a ∈ 𝐑.
Elemento Opuesto: a+(-a) ₌ 0
para todo a ∈ 𝐑.
Propiedades de la Adición
Sustracción en 𝐑
Para restar dos números reales con expresión decimal
limitada, se procede alineando los números por la coma
decimal y restando las cifras de derecha a izquierda. Por su
parte si las expresiones decimales de los sumandos son
ilimitadas, se trabaja con aproximaciones del mismo modo
que se hizo para la adición.
Multiplicación en 𝐑
La multiplicación es una operación en la que a cada par de
números reales a y b, llamados factores, le corresponde otro
numero real llamado producto de a y b, que se denota como a ∙
b. La multiplicación en 𝐑 cumple las mismas propiedades que la
multiplicación en 𝐐.

6. Conmutativa:
a∙b ₌ b∙a para
todo a y b ∈ 𝐑.
Asociativa:
(a∙b)∙c ₌ a∙(b∙c)
para todo a, b
y c ∈ 𝐑.
Elemento
Neutro: a∙1 ₌ a
para todo a ∈
𝐑.
Elemento
Inverso: 𝑎 ∙
𝑎−1
₌ a∙
1
𝑎
₌
𝑎
𝑎
₌1
para todo a 𝐑∗
Distributiva:
a∙(b+c)₌a∙b+a∙c
para todo a, b y
c ∈ 𝐑.
Propiedades de la multiplicación en 𝐑
División en 𝐑
La división en el conjunto 𝐑 extiende la división ya conocida en el conjunto 𝐐 de los
números racionales. En este sentido para dividir dos números reales con expresión decimal
limitada, se procede de la manera ya conocida. Si la expresión decimal del dividendo, la
del divisor o ambas son ilimitadas, entonces se utilizan aproximaciones.
Ejercicios Resueltos
• Efectúa la adición y sustracción:
 2 + 3,4563876 ≈ 1,414
2 ≈ 1,4142135 ≈1,414 +3,456
3,4563876 ≈3,456 4,870
2+3,4563876 ≈ 4,870

3
2
− 2 ≈ 1,5
2 ≈ 1,414 ≈ 1,4 +1,4
3
2
≈ 1,5 0,1
3
2
− 2 ≈ 0,1

7. • Cumple la propiedad respectiva en cada caso:
 π + 2 ₌ 3,142+1,414 π + 2 ₌ 2 + π
₌ 4,556 ₌ 1,414+3,142
₌ 4,556
Se cumple la propiedad Conmutativa
𝜋₌3,142
2₌ 1,414
 1 + 2 + π ₌ (1+1,414)+ 3,142
₌ 2,414+3,142
₌ 5,556
1 + ( 2 + 𝜋)₌ 1+ (1,414+ 3,142 )
₌ 1+ 4,556
₌ 5,556
Se cumple la Propiedad Asociativa
• Realiza las Multiplicaciones:
 2 ∙ 3 ≈ 1,414 ∙ 1,732
≈ 2,449
 6 ∙ 0,18 ≈ 2,449 ∙ 0,180
≈ 0,440
2₌ 1,414
3₌1,732
6₌ 2,449
• Efectúa la Propiedad Distributiva:
 π ∙ (2,7+ 5) ≈ 3,1∙ (2,7+ 2,2) ₌ 3,1∙ 2,7+3,1∙ 2,2
₌ 8,37+ 6,82
₌ 15,19
𝜋₌3,1
5₌ 2,2
• Efectúa la siguiente división:
1. (− 5) ÷ π ≈ -2,236 ÷ 3,142
₌ -2236 ÷ 3142
₌ -0,711
Se multiplicaron ambos términos por
1000, obteniendo -2236 y 3142,
respectivamente.

8. Ejercicios Resueltos
• Resuelve 4-3(x-2)≥ 2(x+3)
4-3(x-2) ≥ 2(x+3)
4-3x+6 ≥ 2x+6
-3x+10 ≥ 2x+6
10-6 ≥ 2x+3x
4 ≥ 5x
4
5
≥ x
Se resuelven primero los
paréntesis y luego se
agrupan los términos en x de
un lado y luego
las constantes del otro lado.
• Resuelve la desigualdad
1
2
(1-2x)-3 ≤ 2-x
1
2
(1-2x)-3 ≤ 2-x
2
1
2
1 − 2𝑥 − 3 ≤ 2 2 − 𝑥
(1-2x)-6 ≤ 4-2x
-5 ≤ 4
Se recomienda en caso de
desigualdades con fracciones.
Multiplicar por el m.c.m. de los
denominadores ambos lados de la
desigualdad a fin de evitar trabajar con
fracciones. En este caso el
m.c.m. de los denominadores es 2.
• Resuelve la desigualdad
2+x < 9x+6
2+x < 9x+6
2-2+x < 9x+6-2
x< 9x+4
X-9x < 9x-9x+4
-8x < 4
−1
8
(-8x) <
−1
8
(4)
x<
−4
8
 Se resta -2 a ambos lados
de la desigualdad.
 Luego se resta 9x a ambos
miembros.
 Luego se multiplican
ambos miembros por
−1
8
.
Desigualdades
Lineales:
Ellas son las que se
pueden escribir en la
forma ax + b > 0 , (≥)
donde a y b son
constantes, (a ≠ 0).
Desigualdades Dobles:
Tienen la forma a < cx + d
< b, donde se pueden
resolver ambas
desigualdades y luego
determinar la parte común
de ambos conjuntos
solución.
Desigualdades
Cuadráticas:
Se llama cuadrática
cuando la podemos
escribir en la forma
ax2 + bx + c > 0 ( ≥ 0 ), en
donde a,b y c son
constantes con a ≠ 0.

9. Desigualdades
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o
bien menor o igual. Igualmente existen dos clases de desigualdades, las absolutas y las
condicionales. La desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se
atribuya a las literales que figuran en ella. Por su parte la desigualdad condicional es aquella
que sólo se verifica para ciertos valores de las literales.
Signos de
Desigualdad:
Desigual a: ≠
Menor que: <
Menor o igual que: ≤
Mayor que: >
Mayor o igual que: ≥
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por
el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad.
 Si los miembros de la expresión son divididos por el
mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad.
 Si los miembros de la expresión son sumados o restados
por el mismo valor, no cambia el signo de la
desigualdad.
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por
un valor negativo, sí cambia de sentido.
 Si los miembros de la expresión son divididos por un
valor negativo, sí cambia de sentido.
Propiedades

10. Valor Absoluto
El valor absoluto de un número representa la distancia
del punto a al origen. Como por ejemplo la distancia del 3
al origen es 3 unidades, es decir, −3 = 3. Si a es positivo,
es decir está a la derecha del cero, entonces 𝑎 = a y si está
a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces
el valor absoluto le cambia el signo, esto es 𝑎 = −a .
1. 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏
2.
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
con b ≠ 0
3. 𝑥 = 𝑥²
4. 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎
Propiedades del Valor
Absoluto
Ejercicios Resueltos
• Resuelve los siguientes ejercicios:
 −
1
2
= − −
1
2
=
1
2
 𝜋 − 6 = − 𝜋 − 6 = −𝜋 + 6
 5 2 − 4 + 7 = 5 −2 + 7 = −10 + 7 = −3 = 3
 −6 ² = (6)² = 36

11. Desigualdades con Valor Absoluto
Esta interpretación geométrica del valor absoluto puede ayudar a conseguir un método para
resolver ecuaciones en valor absoluto.
1. 𝑥 > 𝑎 solo si 𝑥 < −𝑎 o 𝑥 > 𝑎 2. 𝑥 < 𝑎 solo si −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
Estas equivalencias entre desigualdades permitirán resolver desigualdades en valores
absolutos al convertirlas en desigualdades sin valor absoluto.
Por ejemplo la expresión 𝑥 < 2 se puede
interpretar como los x cuya distancia al origen
es menor que 2, estos x son todos los números
que están entre -2 y 2. Así la desigualdad
𝑥 < 2 es equivalente a −2 < 𝑥 < 2
Por ejemplo la expresión 𝑥 > 2 se puede
interpretar como los x cuya distancia al origen
es mayor que 2, estos x son todos los números
mayores que 2 y los menores que -2. Así la
desigualdad 𝑥 > 2 es equivalente a 𝑥 < −2 o
𝑥 > 2
Ejercicios Resueltos
• Convierte las siguientes desigualdades en otra proposición equivalente sin valor
absoluto:
 2𝑥 − 1 > 1
2𝑥 − 1 > 1 es equivalente a 2𝑥 − 1 > 1
 2 − 5𝑥 ≤ 3
2 − 5𝑥 ≤ 3 es equivalente a −3 ≤ 2 − 5𝑥 ≤ 3
 2𝑥 − 1 ≤ 3 es equivalente a −3 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 3

12. • Resuelve:
 2𝑥 − 1 ≤ 3 es equivalente a −3 ≤
2𝑥 − 1 ≤ 3
−3 + 1 ≤ 2𝑥 − 1 + 1 ≤ 3 + 1
−
2
2
≤ 𝑥 ≤
4
2
−1 ≤ 𝑥 ≤ 2
 10 − 3 2𝑥 − 3 < 4
−3 2𝑥 − 3 < 4 − 10
−3 2𝑥 − 3 < −6
−3 2𝑥 − 3
−3
<
−6
−3
2𝑥 − 3 < 2
Esta desigualdad es de la forma 2. Por
tanto es equivalente a 2𝑥 − 3 > 2 o 2𝑥 − 3 <
− 2
2𝑥 − 3 > 2 2𝑥 − 3 < −2
2𝑥 > 5 2𝑥 < 1
𝑥 >
5
2
𝑥 <
1
2

13. Referencias Bibliográficas
Navarro, C. (Ed.).(2012). Guía Didáctica Matemática de 2do año. Caracas, Venezuela:
Editorial Santillana.
Navarro, C. (Ed.).(2012). Guía Didáctica Matemática de 3er año. Caracas, Venezuela:
Editorial Santillana.
Pérez, J; Gardey, A.(2010). Definición de conjunto. Recuperado de:
https://definicion.de/conjunto/
Raffino, M.(2020). Conjunto. Recuperado de: https://concepto.de/que-es-un-
conjunto/#ixzz6kPAraWwP
GCF Global. (2018). Operaciones entre Conjuntos. Recuperado de:
https://edu.gcfglobal.org/es/los-conjuntos/operaciones-entre-conjuntos/1/
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Becerra, J. (S.F). Desigualdades. Recuperado de:
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http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/primeras/tema5
Díaz, J. (2003). Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal.
Recuperado de:
https://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Desigualdades/SistemasN.pdf