1. Dependencia lineal Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

2. Propiedades Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales. Ejemplo: Los vectores y son linealmente dependientes, pues:

4. Igualando componentes: Para cualquier valor que tome se obtiene un valor para y otro para también distintos de cero, luego y son linealmente dependientes. En R2, dos vectores y son linealmente dependiente si: En R3, tres vectores , y son linealmente dependiente si:

5. INDEPENDENCIA LINEAL En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independientesi ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

6. Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así: Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial eslinealmente independiente si ∀ PROPIEDAD: Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo

7. EJEMPLOS Estudiar la dependencia lineal de los vectores: = (3, 1) = (2, 3) Linealmente independientes

8. Estudiar la dependencia lineal de los vectores: = (5, 3 − x ) y = (x + 9, 3x + 1) Son linealmente dependientes para x = 1 y x = -22