1. O documento descreve a álgebra de Clifford, uma estrutura algébrica que generaliza a álgebra vetorial e fornece uma interpretação geométrica para os spinores. 2. A álgebra de Clifford surgiu a partir dos trabalhos de Hamilton, Grassmann, Gibbs e Clifford no século XIX, sendo uma síntese coerente dessas abordagens. 3. O documento explica como a álgebra de Clifford pode representar vetores, bivetores, trivetores e multivetores no espaço euclidiano R3

1. UFMT
Universidade Federal do Mato Grosso
Departamento de Matem´tica-CUR
a
´
Algebra de Clifford: Uma Estrutura Coerente
Apliaca¸˜o: Generaliza¸˜o da Part´
ca ca ıcula Relativ´
ıstica
Professor: Rosevaldo de Oliveira
1

2. Conte´ do
u
1 Um pouco de Hist´ria
o 4
2 Estruturas Alg´bricas B´sicas
e a 6
2.1 Anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Espa¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
c
2.3 ´
Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
´
2.3.1 Algebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
´
3 Algebras Geom´tricas do espa¸o euclidiano R3
e c 12
4 Formalismo Lagrangiano da Part´ ıcula Relativ´ ıstica com
Spin 20
´
4.1 Algebra de Clifford no espa¸o Vn . . . . . . . . . . . . 20
c
2

3. 4.2 ´
Algebra Geom´trica do Espa¸o de Minkowski R1,3 . . 25
e c
4.3 Sistema Dinˆmico Cl´ssico com Spin numa Variedade
a a
C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Part´
ıcula Livre Relativ´
ıstica sem Spin . . . . . . . . . 32
5 Coment´rios Finais e Pretens˜es Futuras
a o 36
5.1 Pesquisas em Andamento - (2010-2011) . . . . . . . . 39
Bibliografia 39
3

4. 1 Um pouco de Hist´ria
o
1. 1843 Hamilton e a tentativa de generalizar os n´meros
u
complexos: quat´rnions. A ´lgebra se desvinculou da
e a
Aritm´tica dos n´meros reais.
e u
2. 1844 Hermann Grassmann: generaliza os quat´rnions de
e
Hamilton, pois ele trata de uma ´lgebra n˜o comutativa em N
a a
dimens˜es; tamb´m conhecida como ´lgebra de extens˜o.
o e a a
3. 1878 Clifford A verdadeira s´ ıntese dos trabalhos de Hamilton
´
e Grassmann foi obtida, a Algebra Geom´trica que
e
´
atualmente tamb´m ´ donominada Algebra de Clifford.
e e
´ ´
A Algebra de Clifford n˜o possui as incoerˆncias da Algebra de
a e
´
Gibbs. Mais do isso, as corrige. E uma estrutura fechada, onde
o produto da ´lgebra ´ unico, e n˜o dois produtos como no caso
a e´ a
´
de Gibbs. E os spinores aparecem naturalmente na Algebra de
4

5. Clifford, portanto pode-se dar uma interpreta¸˜o geom´trica
ca e
para os spinores.
4. 1886 Gibbs: tentou unificar os quat´rnions com a ´lgebra de
e a
Grassmann, e encontrou o que hoje conhecemos como ´lgebra
a
vetorial.
5. Anos 60, Hestenes: Hestenes generalizou o c´lculo, criando o
a
c´lculo multivetorial, onde ele mostra que o c´lculo de Gibbs ´
a a e
apenas um caso particular de uma estrutura maior. Tamb´m e
reformulou o formalismo Hamiltoniano para usando
multivetores, [?], [?],[?], [?], [?], [?], [?], [?] e [?].
6. 2005 Pavsic: definiu a a¸˜o da part´
ca ıcula livre no espa¸o de
c
Clifford C4 , e mostrou que esta a¸˜o ´ equilavente ` teoria de
ca e a
Stueckelberg.
Pavsic [?], [?] e [?] definiu a a¸˜o da part´
ca ıcula livre no espa¸o
c
de Clifford C4 , e mostrou que esta a¸˜o ´ equilavente ` teoria
ca e a
5

6. de Stueckelberg.
2 Estruturas Alg´bricas B´sicas
e a
2.1 Anel
Um anel ´ uma estrutura alg´brica (A, +, ·) satisfazendo
e e
• (A, +) ´ um grupo abeliano, para a, b, c ∈ A tem-se que:
e
1. (a + b) + c = a + (b + c) associativa
2. a + b = b + a comutativa
3. 0 + b = b e b + 0 = b elemento neutro
4. a + (−a) = (−a) + a = 0 elemento oposto
• A opera¸˜o (·) ´ associativa, (a.b).c = a.(b.c)
ca e
• A opera¸˜o (·) ´ distributiva a.(b + c) = a.b + a.c
ca e
6

7. 2.2 Espa¸os vetoriais
c
Defini¸˜o Um espa¸o vetorial V sobre um corpo K ´ um conjunto
ca c e
de elementos chamados vetores dotados de uma opera¸˜o “ + ”:
ca
V × V → V denominada soma vetorial e tamb´m de um produto
e
por escalares K × V → V com as seguintes propriedades
1. A cada par u, v ∈ V de vetores ´ associado um elemento
e
u + v ∈ V denominado soma de u e v
(a) A soma ´ comutativa: u + v = v + u
e
(b) A soma ´ associativa: u + (v + w) = (u + v) + w
e
(c) A soma possui um elemento neutro: u + 0 = u, e 0 + u = u
(d) A soma possui elemento inverso: u + (−u) = 0
2. A cada par α ∈ K, e u ∈ V existe um vetor denotado por
αu ∈ V
(a) αu = uα
7

8. (b) α(βu) = (αβ)u
(c) 1u = u
(d) α(u + v) = αu + βv
(e) (α + β)u = αu + βu
Exemplos
1. Seja (K, +, ·) um corpo, o produto cartesiano
K n = {(k1 , . . . , kn ), kj ∈ K; j = 1, ..., n} ´ um espa¸o vetorial
e c
sobre K. Com opera¸˜o soma definida por
ca
(k1 , . . . , kn ) + (l1 , . . . , ln ) = (k1 + l1 , . . . , kn + ln ) e um produto
por escalares dado por α(k1 , . . . , kn ) = (αk1 , . . . , αkn ).
2. Exemplos s˜o: Rn , Cn e K = (Zp )n s˜o espa¸os vetoriais.
a a c
8

9. 2.3 ´
Algebras
Defini¸˜o: Uma ´lgebra ´ um espa¸o vetorial V sobre um corpo
ca a e c
K dotado de uma opera¸˜o bin´ria “ · ” dita produto da ´lgebra, de
ca a a
modo que as seguintes propriedades s˜o satisfeitas para a, b, c ∈ V e
a
α, β ∈ K
1. O produto da ´lgebra ´ distributivo em rela¸˜o a soma vetorial
a e ca
a.(b + c) = a.b + a.c (1)
(a + b).c = a.c + b.c (2)
2. O produto por escalares comuta com o produto da ´lgebra e ´
a e
distributivo
α(a.b) = (αa).b = a.(αb) (3)
Uma ´lgebra ´ dita ser comutativa ou ´lgebra abeliana se
a e a
9

10. a.b = b.a. Uma ´lgebra ´ associativa se a.(b.c) = (a.b).c.
a e
2.3.1 ´
Algebra de Lie
Uma ´lgebra L sobre um corpo K ´ dita ser uma ´lgebra de Liea se
a e a
seu produto al´m das propriedades b´sicas satisfaz
e a
• Para todo a ∈ L vale [a, a] = 0.
• Para todo a, b, c ∈ L a identidade de Jacobi ´ v´lida
e a
[a, [b, c]] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]] = 0 (4)
Propriedades importantes desta ´lgebra. Para todo a, b ∈ L devido
a
o fato que [a, a] = 0, ent˜o [a + b, a + b] = 0 e devido as
a
propriedades b´sicas de uma ´lgebra
a a
a Marius Sophus Lie (1842-1899)
10

11. [a + b, a + b] = 0 (5)
= [a, b] + [b, a] (6)
E assim obtemos a importante propriedade da ´lgebra
a
[a, b] = −[b, a].
11

12. 3 ´
Algebras Geom´tricas do espa¸o
e c
euclidiano R3
Escolhemos um vetor v ∈ R3 . Se {e1 , e2 , e3 } ´ uma base de
e
v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3
.
Queremos que o teorema de Pit´goras seja v´lido
a a
|v|2 = v1 + v2 + v3
2 2 2
(7)
O produto de um vetor por ele mesmo ´ dado por
e
12

13. P (v, v) = |v|2 = 2
v1 e2 + v2 e2 + v3 e2
1
2
2
2
3 (8)
+ v1 v2 [e1 e2 + e2 e1 ]
+ v1 v3 [e1 e3 + e3 e1 ]
+ v2 v3 [e2 e3 + e3 e2 ]
Para que seja v´lido o teorema de Pit´goras o produto deve ser
a a
definido por
e2 = 1
i com i = 1, 2, 3 (9)
ei ej + ej ei = 0 i=j
Esta ´ a Escolha de Clifford.
e
Os ei definimos como sendo vetores, mas ei ej o que ´? vetor?
e
escalar? Sabemos que um escalar α e um vetor u, ´ v´lido a
e a
13

14. seguinte rela¸˜o
ca
αu = uα
Vamos verificar esta propriedades dos escalares para (e1 e2 )
(e1 e2 )e1 = −e1 e1 e2 = −e2 (10)
e1 (e1 e2 ) = e2 (11)
Portanto a quantidade e1 e2 n˜o pode ser considerada um escalar.
a
Vamos verificar se esta quantidade ´ um vetor. Sabemos que o
e
quadrado de um vetor ´ maior ou igual a zero |v|2 = v 2 0, ent˜o
e a
(e1 e2 )2 = e1 e2 e1 e2 = −e2 e2 = −1 < 0
1 2 (12)
Desta forma e1 e2 tamb´m n˜o ´ um vetor! Ent˜o o que ´?
e a e a e
Por enquanto vamos limitar a defini¸˜o de que ei ej ´ um 2-vetor ou
ca e
14

15. bi-vetor e est´ associado a um fragmento de plano.
a
Da mesma forma o elemento e1 e2 e3 tamb´m n˜o ´ nem escalar nem
e a e
vetor, ´ um 3-vetor ou tri-vetor.
e
Podemos provar que os 2-vetores formam um espa¸o vetorial
c
denotado por ∧2 (R3 ). E os 3-vetores tamb´m formam um espa¸o
e c
vetorial dado por ∧3 (R3 ).
Vamos classificar os espa¸os vetorial gerado pelo produto
c
geom´trico:
e
dimens˜o
a Espa¸o vetorial
c elementos
1 ∧0 (R3 ) escalares
3 ∧1 (R3 ) vetores (13)
3 ∧2 (R3 ) 2-vetores
1 ∧3 (R3 ) tri-vetor
15

16. Seja A ∈ Cl3 um multivetor
A = A0 + A1 + A2 + A3 ,
onde Ak ∈ ∧k (R3 ) ´ um k-vetor.
e
¸˜
1. PROJECAO: Definamos a rela¸˜o de proje¸˜o da seguinte
ca ca
forma
<>k : ∧(R3 ) → ∧k (R3 )
< A >k = Ak (14)
¸˜
2. INVOLUCAO: esta opera¸˜o ´ definida por
ca e
ˆ
Ak = (−1)k Ak (15)
a gradua¸˜o de Ak ´ par se (−1)k = +1 e ´ ´
ca e e ımpar se
(−1)k = −1.
16

17. ˜
3. REVERSAO: que ´ denotada por A
e ˜k = (−1) k(k−1) Ak ,
2
portanto o multivetor A altera-se para
˜
A = A0 + A1 − A2 − A3 (16)
¯ ˜
ˆ
¸˜ ¸˜ ˜
4. CONJUGACAO=INVOLUCAO+REVERSAO A = A
5. NORMA A norma de um multivetor ´ dada por
e
˜
|A|2 =< AA >0 .
6. DUALIDADE Dado um k-vetor Ak definamos o seu dual por
˜
∗Ak = Ak I (17)
I = e1 e2 e3
A opera¸˜o dualidade transforma um k − vetor em um
ca
17

18. 3 − k − vetor, devido ao fato de existir um isomorfismo entre
∧k (R3 ) ∼ ∧3−k (R3 ).
Alguns exemplos desta opera¸˜o:
ca
∗1 = I = e1 e2 e3
∗e1 = e2 e3
∗e2 = e3 e1
∗e3 = e1 e2
∗(e1 e2 ) = e3
∗(e3 e1 ) = e2
∗(e2 e3 ) = e1
∗I = 1 (18)
7. PRODUTO VETORIAL Na ´lgebra de Clifford definimos o
a
18

19. produto vetorial entre dois vetores da seguinte forma
v × u = ∗(v ∧ u) = −(v ∧ u)I = −I(v ∧ u) (19)
19

20. 4 Formalismo Lagrangiano da Part´
ıcula
Relativ´
ıstica com Spin
4.1 ´
Algebra de Clifford no espa¸o Vn
c
Considere um espa¸o Vn de dimens˜o arbitr´ria n. Para cada ponto
c a a
do espa¸o Vn podemos associar n parˆmetros xµ , onde
c a
µ = 1, 2, 3, . . . , n, que s˜o conhecidas como sendo as coordenadas
a
deste ponto. Podemos entender os pontos como sendo as casas em
uma cidade e as coordenadas s˜o os n´meros das casas, elas podem
a u
ser escolhidas de forma arbitr´ria, mas uma vez definidas n˜o
a a
devem ser alteradas.
O quadrado da distˆncia entre os pontos deste espa¸o ´ definida
a c e
como
ds2 = gµν dxµ dxν (20)
20

21. gµν ´ o tensor m´trico do espa¸o Vn . O elemento ds2 ´ invariante
e e c e
por uma transforma¸˜o geral de coordenadas xµ → x µ = f (xµ ).
ca
Lidar com a express˜o quadr´tica leva a algumas complica¸˜es n˜o
a a co a
lineares quando tentamos tirar a raiz. Portanto definimos o
seguinte objeto
dx = dxµ eµ (21)
que satisfaz o seguinte desenvolvimento
1
dx2 = eµ eν dxµ dxν = (eµ eν + eν eµ )dxµ dxν = gµν dxµ dxν
(22)
2
1
gµν ≡ (eµ eν + eν eµ ) (23)
2
Os objetos eµ s˜o vetores bases de uma ´lgebra de Clifford, e
a a
portanto o objeto dx = dxµ eµ ´ um vetor contido na estrutura
e
alg´brica citada. Enquanto que a m´trica ´ um elemento da ´lgebra
e e e a
constitu´ de bivetores.
ıdo
21

22. Podemos definir a seguinte diferencia¸˜o
ca
dx dxµ
= eµ (24)
dτ dτ
onde τ ´ um parˆmetro arbitr´rio invariante por transforma¸˜o
e a a ca
geral de coordenadas.
dx µ dxµ
Fa¸amos as seguintes denota¸˜es a =
c co dτ ea = dτ , com isto a
equa¸˜o acima torna-se
ca
a = a µ eµ (25)
No caso de dois objetos semelhantes teremos o seguinte
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 (26)
e
1 1
a.b = (ab + ba) = (eµ eν + eν eµ )aµ aν = gµν aµ aν (27)
2 2
este ´ o produto interno da ´lgebra de Clifford.
e a
22

23. O produto externo ´ definido por
e
1 1
a ∧ b = (ab − ba) = (eµ eν − eν eµ )aµ aν (28)
2 2
´
E importante notar que a = aµ eµ ´ um vetor, aµ s˜o suas
e a
componentes e eµ s˜o suas bases. As componentes aµ e as bases eµ
a
s˜o alteradas devido uma transforma¸˜o geral de coordenadas,
a ca
enquanto que a ou dx n˜o se altera (s˜o invariantes).
a a
Importante:
• A raiz quadrada da distˆncia ´ um vetor
a e
• Os vetores s˜o elementos da ´lgebra de Clifford
a a
• Os vetores s˜o objetos que s˜o invariantes sob transforma¸˜o
a a ca
geral de coordenadas.
Consideremos agora o elemento mais geral poss´ desta ´lgebra de
ıvel a
Clifford
23

24. 1 1
A = α + αµ eµ + αµν eµ ∧ eν + αµνρ eµ ∧ eν ∧ eρ ∧ eσ + . . . (29)
2 3!
1
+ αµνρ... eµ ∧ eν ∧ eρ . . .
n!
as componentes deste Polivetor s˜o escalares, vetores, bivetores,
a
trivetores, quadrivetores, etc...
24

25. 4.2 ´
Algebra Geom´trica do Espa¸o de
e c
Minkowski R1,3
O espa¸o vetorial de Minkowsky (espa¸o-tempo) possui 4 vetores
c c
bases linearmente independentes eµ , µ = 0, 1, 2, 3. Vamos
considerar neste momento que o espa¸o-tempo seja plano, neste
c
caso as bases γµ obedecem a seguinte rela¸˜o
ca
γµ · γν = ηµν (30)
onde ηµν ´ um tensor m´trico diagonal com assinatura (+, −, −, −).
e e
Um elemento geral deste espa¸o, isto ´, um polivetor ´ dado por
c e e
1 µν 1 1
D = d + dµ γν + d γµν + dµνρ γµνρ + dµνρσ γµνρσ (31)
2! 3! 4!
25

26. onde os coeficientes (d, dµ , dµν , dµνρ e dµνρσ ) s˜o escalares, e
a
γµ vetor
γµν = γµ ∧ γν bivetor
(32)
γµνρ = γµ ∧ γν ∧ γρ trivetor
γµνρσ = γµ ∧ γν ∧ γρ ∧ γσ quadrivetor
O elemento de volume do espa¸o de Minkowski plano ´ um
c e
pseudoescalar dado por
2
γ5 = γ0 ∧ γ1 ∧ γ2 ∧ γ3 = γ0 γ1 γ2 γ3 γ5 = −1 (33)
Usando as rela¸˜es
co
γµνρσ = γ5 µνρσ (34)
γµνρ = γµνρσ γ σ (35)
onde µνρσ ´ um tensor totalmente antisim´trico, introduzindo os
e e
26

27. novos coeficientes
1 µν
S = d, V µ = dµ , T µν = d (36)
2
1 µνρ 1 µνρσ
Cσ = d µνρσ , P = d µνρσ (37)
3! 4!
Usando as rela¸˜es acima podemos escrever D como uma soma de
co
escalar, vetor, pseudovetor e pseudoescalar
D = S + V µ γµ + T µν γµν + C µ γ5 γµ + P γ5 (38)
27

28. 4.3 Sistema Dinˆmico Cl´ssico com Spin numa
a a
Variedade C4
Pavsic [?], [?] e [?] definiu a a¸˜o da part´
ca ıcula livre no espa¸o de
c
Clifford C4 , e mostrou que esta a¸˜o ´ equilavente ` teoria de
ca e a
Stueckelberg [?].
O que Pavsic propˆs foi escrever a a¸˜o numa variedade de Clifford
o ca
ou em C4 (“C-space”) ao inv´s do espa¸o-tempo. O espa¸o-tempo ´
e c c e
um sub-espa¸o da variedade de Clifford C4 .
c
O conceito de velocidade e momento da part´
ıcula s˜o generalizados.
a
O momento e a velocidade s˜o definidos como polivetores, isto ´
a e
P = µ + pµ eµ + S µν eµ eν + π µ e5 eµ + me5 (39)
˙
X = ˙ ˙ ˙ ˙
σ + xµ eµ + αµν eµ eν + ξ µ e5 eµ + se5
˙ (40)
28

29. onde os termos S µν = −S νµ e αµν = −ανµ . E a seguinte rela¸˜o ´
ca e
v´lida
a
eµ · eν = ηµν (41)
onde ηµν ´ um tensor m´trico diagonal com assinatura (+, −, −, −).
e e
A a¸˜o ´ definida por
ca e
1 ˙ ˙
I[X, P, λ] = dτ P X + XP − λ(P 2 − K 2 ) (42)
2
onde a “massa”generalizada ´ dada por
e
K 2 = η 2 + k µ eµ + K µν eµ eν + K µ e5 eµ + k 2 e5 (43)
onde η 2 pode ser positivo, negativo ou zero.
29

30. Escreveremos as componentes da Lagrangiana de forma expl´
ıcita
4
1 ˙ ˙
L= P X + XP − λ(P 2 − K 2 ) = < L >k (44)
2
k=0
Agora fa¸amos a varia¸˜o em fun¸˜o do multiplicador de Lagrange
c ca ca
∂ < L >0
=0 µ2 + pµ pµ + π µ πµ − m2 − 2S µν Sµν − η 2 (45)
=0
∂λ
∂ < L >1 µν ρ 1
=0 µπσ − S π µνρσ − kσ = 0 (46)
∂λ 2
∂ < L >2
=0 (π µ π ν + mS µν ) µνρσ + 2µSρσ − Kρσ = 0(47)
∂λ
∂ < L >3 µν ρ 1
=0 µπσ + S p µνρσ + ησ = 0 (48)
∂λ 2
∂ < L >4
=0 2µm + S µν S ρσ µνρσ − k2 = 0 (49)
∂λ
30

31. Das equa¸˜es (??) e (??) obtemos as seguintes rela¸˜es
co co
ησ 1
πσ − = − S µν pρ µνρσ (50)
2µ µ
kσ 1 µν ρ
pσ − =− S π µνρσ (51)
2µ µ
ησ
o pseudovetor πσ − 2µ comporta-se como o pseudovetor
Pauli-Lubanski.
Das rela¸oes acima podemos mostrar que
c˜
µ ησ µ kσ
S µν = µνρσ
pρ πσ − =− µνρσ
πρ pσ − (52)
2pα pα 2µ 2π α πα 2µ
para obter a axpress˜o acima assumimos as seguintes rela¸˜es
a co
S µν pν = 0 S µν πν = 0 (53)
2
σ ησ
Para positivo p pσ > 0, obtemos πσ − < 0 (s˜o componentes
2µa
de um vetor tipo espa¸o. Da mesma forma, π σ πσ < 0 isto resulta
c
31

32. 2
kσ
pσ − 2µ > 0, ent˜o estas s˜o as componentes de um vetor tipo
a a
tempo. Inserindo (??) na (??) e levando em conta a (??) obtemos
2mµ − k 2 = 0 (54)
4.4 Part´
ıcula Livre Relativ´
ıstica sem Spin
Assumiremos que K 2 = 0 e a condi¸˜o (??) seja mantida, das
ca
equa¸˜es dos v´
co ınculos (??)-(??) nos fornece que
S µν = 0 , πµ = 0 e µ=0 (55)
o unico v´
´ ınculo que permanece ´
e
pµ pµ − m2 = 0 (56)
32

33. A a¸˜o (??) torna-se
ca
µ λ
I[X, P, λ] = I[s, m, x , pµ , λ] = dτ −ms + pµ x − (pµ pµ − m2 ) (57)
˙ ˙ µ
2
onde a massa m ´ uma vari´vel dinˆmica associada ao momento s.
e a a
Temos que
P = pµ eµ + me5 ˙
X = xµ eµ + se5
˙ ˙ (58)
As equa¸˜es de movimento s˜o dadas por
co a
δm : −s + λm = 0
˙ (59)
δs : m=0
˙ (60)
δpµ : xµ − λpµ = 0
˙ (61)
δxµ : pµ = 0
˙ (62)
δλ : pµ pµ − m2 = 0 (63)
33

34. Podemos mostrar que
xµ
˙ dxµ
pµ = =m (64)
λ ds
s 2 = λ2 m 2 = x 2 ,
˙ ˙ i.e. ds2 = dxµ dxµ (65)
usando a rela¸˜o (??) encontramos que
ca
λ 2 ms˙ 1 d
−ms + m = −
˙ =− (ms) (66)
2 2 2 dτ
Se escolhermos fixar λ = Λ(τ ) obteremos a seguinte a¸˜o
ca
Λ(τ ) µ
I= dτ (pµ xµ −
˙ p pµ ) (67)
2
esta ´ justamente a a¸˜o de Stueckelberg. As equa¸˜es de
e ca co
movimento derivada da a¸˜o (??) s˜o dadas por
ca a
xµ − Λpµ = 0
˙ (68)
pµ = 0
˙ (69)
34

35. a equa¸ao (??) nos informa que o momento ´ uma constante de
c˜ e
movimento, denotaremos que pµ pµ = m2 . Da equa¸˜o (??) obtemos
ca
µ xµ
˙ dxµ
p = m√ ν =m (70)
x xν
˙ ˙ ds
35

36. 5 Coment´rios Finais e Pretens˜es
a o
Futuras
O que foi feito na se¸˜o anterior foi muito diferente do que tem sido
ca
e ´
feito na literatura at´ o momento. E usual assumirmos que a f´ ısica
acontece no espa¸o tempo e por isto o princ´
c ıpio variacional ´
e
empregado sobre o espa¸o-tempo. O que a ´lgebra de Clifford nos
c a
sugere ´ que podemos encontrar a relatividade n˜o no
e a
espa¸o-tempo, mas em uma variedade de Clifford Cn , cujos pontos
c
s˜o as coordenadas dos polivetores
a
n
1
X= X µ1 ...µr γµ1 ∧ ... ∧ γµr ≡ X A EA (71)
r! r=0
onde X A s˜o as coordenadas e EA = (1, γµ , γµ ∧ γν , ...) s˜o os
a a
vetores bases do espa¸o Cn .
c
36

37. A a¸˜o invariante por reparametriza¸˜o da a part´
ca ca ıcula livre ´ dada
e
por
A
I[X ] = κ ˙ A XA ) 1
dτ (X ˙ 2 (72)
Se assumirmos que a dimens˜o do espa¸o-tempo ´ n = 4, ent˜o
a c e a
obteremos que
˙ ˙ ˙
X ≡ X A EA = X = ˙
σ + xµ eµ + αµν eµ eν + ξ µ e5 eµ + se5 (73)
˙ ˙ ˙ ˙
Em um caso particular das condi¸˜es iniciais teremos
co
1
I[X A ] = κ dτ (xµ xµ − s) 2
˙ ˙ ˙ (74)
Uma escolha natural do gauge ´ s = τ , a a¸˜o reduzida ´ dada por
e ca e
1
I[X A ] = κ ds(xµ xµ − 1) 2
˙ ˙ (75)
37

38. e as equa¸˜es de movimento s˜o
co a
dpµ µ κxµ
˙
= 0, p = 1 = constante (76)
ds (xν xν
˙ ˙ − 1) 2
Definindo que a constante de movimento seja
µ 2 κ2 xµ xµ
˙ ˙
p pµ = M = ν 1 obteremos o seguinte resultado
(x xν −1) 2
˙ ˙
M xµ
˙ κ(xµ xµ )1/2
˙ ˙
pµ = , M= (77)
˙ νx )1
(x ˙ ν 2 (xν xν
˙ ˙ − 1)
1
2
A diferen¸a neste formalismo ´ que a massa n˜o uma contante
c e a
fixada na a¸˜o, mas uma constante de movimento.
ca
38

39. 5.1 Pesquisas em Andamento - (2010-2011)
1. Encontrar a estrutura Hamiltoniana desta teoria e quantiza¸˜o
ca
via integra¸˜o funcional.
ca
2. Encontrar as transforma¸˜es passivas e ativas da relatividade
co
especial. (Projeto de Inicia¸˜o cient´
ca ıfica PIBIC em andamento)
´
3. Relacionar a Algebra de Clifford com as Teorias de Quebra
Espontˆnea da Simetria de Lorentz.
a
4. Estudar a estrutura espinorial de forma geom´trica.
e
5. Outros projetos.
Referˆncias
e
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York, (1966).
39

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Physics, D. Reidel Publ. Co., Dordrecht/Boston, pp. 1-23.
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Algebra, Int. J. Theo. Phys. 25, 581-588; Spinor Approach to
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ponctuel en th´orie classique, Helvetica Physica Acta 14,
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51-55; Stueckelberg, E.C.G. (1941) Remarque ` propos de la
a
cr´ation de paires de particules en th´orie de de relativit´,
e e e
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