Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Un resumen sobre conceptos básicos. Clasificación.  Fundamentos requeridos en las diversas técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

1. Ecuaciones Diferenciales
Conceptos Básicos
Resumen Preparado por: Rosa De Peña
Ecuación Diferencial: Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más
variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
Ecuación Diferencial Ordinaria: Es una ecuación diferencial que contiene una
sola variable independiente.
Ej:
dA d 2 y dy
1) = − kA 2) − + 6y = 0
dt dx 2 dx
Ecuación diferencial en derivadas parciales: Es una ecuación diferencial que
contiene una o más de una variable independiente.
Ej:
∂f ∂u ∂v
1) = 8y 2) = − Solución Particular de Ecuación Diferencial
∂x ∂y ∂x
Orden de una ecuación diferencial: Se define por la mayor derivada obtenida
de la función primitiva.
Ej:
5
d3y ⎛ dy ⎞
+ 6⎜ ⎟ − 3 y = e x Ecuación diferencial de orden tres o de tercer orden
dx 3 ⎝ dx ⎠
Grado de una ecuación diferencial: Es el grado algebraico que se obtiene en
la derivada de mayor orden de una ecuación diferencial.
Ej:
5
d3y ⎛ dy ⎞
+ 6⎜ ⎟ − 3 y = e x Ecuación diferencial de primer grado
⎝ dx ⎠
3
dx
Forma implícita de una ecuación diferencial:
F (x, y, y ’, y ’’, ..., y(n) ) = 0
Ej: 4x y ’ + y = x
Forma explícita o normal de una ecuación diferencial:
Dn y = f (x, y, y ’, y ’’, ..., y(n – 1))
x− y
Ej: y' =
4x
1

2. Ecuación Diferencial Lineal:
dny d ( n −1) y dy
An ( x) n + A( n −1) ( x) ( n −1) + ... + A1 ( x) + A0 ( x) y = g ( x)
dx dx dx
La variable dependiente y sus derivadas son de primer grado.
Cada coeficiente solo depende de x.
x es la variable independiente.
Ej: 4xy’ + y = x Ecuación lineal respecto a y.
Solución de una ecuación diferencial ordinaria: Es una función φ(x) definida
en un intervalo I, que posee al menos n derivadas contínuas en I, que al
sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n la reducen en una
identidad. Desprovista de derivadas o diferenciales y contiene un número de
constantes esenciales atendiendo al orden de la ecuación diferencial que
corresponde.
Representa una familia infinita de curvas.
Es decir, si F (x, y, y’, ..., y(n) ) = 0
y = φ(x) es solución en I.
(n)
F (x, φ(x) , φ’(x), ..., φ (x) ) = 0 ∀x ∈ I.
Intervalo de definición: Intervalo de validez, intervalo de existencia. Es el
dominio de la solución.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden y Primer Grado.
a) Ecuación Diferencial de Variables Separables.
dy
= g ( x ) h( y )
dx
dy
b) Ecuaciones de la forma: = G ( Ax + By + C )
dx
Mediante: z = Ax + By + C se logra la separación de variables.
c) Función homogénea. F ( t x , t y ) = t α f ( x, y )
α = Número real, f es una función homogénea de grado α.
La ecuación diferencial: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
Es homogénea si N, M son funciones homogéneas del mismo grado.
Mediante: y = v x ó x = v y se logra la separación de variables.
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3. d) Ecuación de coeficientes lineales
dy a1 x + b1 y + c1
=
dx a2 x + b2 y + c2
Cuando:
d.1) c1 = 0 , c2 = 0 la ecuación es homogénea
a1 b1
d.2) = =k la ecuación se resuelve mediante la
a2 b2
sustitución z = a1 x + b1 y + c1 ó z = a1 x + b1 y
a1 b1
d.3) ≠ para hallar la solución se hace una traslación de ejes
a2 b2
mediante x=u+h
y= w+k
∂f ∂f
e) Diferencial total: z = f (x, y) ; dz = dx + dy
∂x ∂y
Ecuación Diferencial Exacta:
∂M ∂N
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 . Es exacta si =
∂y ∂x
F(x, y) = ∫ M ∂x + φ (y) = ∫ N ∂y + φ (x) = C
φ (y), φ (x) son funciones a determinar.
Ecuación Diferencial Inexacta:
∂M ∂N
≠ ; M y ≠ Nx
∂y ∂x
⎛ M y −Nx ⎞ ⎛ N x − My ⎞
∫⎜
⎜
⎟ dx
⎟ ∫⎜
⎜ ⎟ dy
⎟
µ ( x) = e ⎝ ⎠
µ ( y) = e ⎝ ⎠
N M
Factor integrante es una función que transforma una ecuación diferencial
inexacta en exacta.
µ (x) , µ ( y ) representan factores integrantes.
3

4. f) Ecuación Diferencial Lineal:
dy dy
A1 (x) + A0 (x) y = g (x) Es decir: e.1 ) + P (x) y = Q(x)
dx dx
∫ P (x) dx
µ (x) = e
µ (x) y = ∫ µ (x) Q(x) dx + C Solución de ecuación diferencial lineal e.1
dx
e.2) + P (y) x = Q(y)
dy
µ (y) x = ∫ µ (y) Q(y) dy + C Solución de ecuación diferencial lineal e.2
Ecuación de Bernoulli:
dy
1) + P (x) y = Q (x) yn siendo: n≠0 ∧ n≠1
dx
dx
2) + P (y) x = Q (y) xn siendo: n≠0 ∧ n≠1
dy
Aplicaciones
Trayectorias Ortogonales:
Dos familias infinitas de curvas definen trayectorias ortogonales si se cortan
atendiendo a un ángulo de 900
a) Coordenadas rectangulares:
f (x, y, C ) = 0 ∧ g (x, y, k ) = 0 mf mg = -1
f ∧ g son ortogonales si mf es perpendicular a mg
b) Coordenadas polares:
f (r, θ, C ) = 0 ∧ g (r, θ, k) = 0 mf mg = -1
Tg ψ = r dθ
dr
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5. Modelo matemático
Es la representación de todas las características importantes de un sistema con el
propósito de derivar las ecuaciones matemáticas que determinen su
comportamiento. Debe incluir los mínimos detalles del sistema tal que dicho
comportamiento pueda ser representado por una ecuación. Puede ser lineal o no
lineal. Un modelo matemático permite soluciones rápidas y simples, sin embargo
los modelos no lineales, revelan algunas veces ciertas características del sistema
que los modelos lineales no proporcionan. La descripción matemática de un
sistema o fenómeno se llama modelo matemático..
Con frecuencia podemos describir el comportamiento de algún sistema o
ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales o podríamos
tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una sustancia radiactiva o
cualquier fenómeno de la vida real en términos matemáticos; dicho sistema puede
ser físico, sociológico o hasta económico.
La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia:
1) En un problema del mundo real, identificar las variables causantes del cambio
del sistema.
2) Formular el modelo. Establecer un conjunto de hipótesis razonables que
incluya todas las leyes empíricas aplicables al Sistema.
Dado que las hipótesis acerca de un sistema implican con frecuencia la razón, o
tasa, de cambio de una o más de las variables, el enunciado matemático de
todas esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas. En
otras palabras, el modelo matemático puede ser una ecuación o un sistema de
ecuaciones diferenciales.
3) Resolver el modelo planteado.
4) Interpretar la conclusión matemática. Juzgamos que el modelo es razonable si
su solución es consistente con los datos experimentales o los hechos conocidos
acerca del comportamiento del sistema Si las predicciones que se basan en la
solución son deficientes, podemos aumentar el nivel de resolución del modelo o
elaborar hipótesis alternativas sobre los mecanismos de cambio del sistema;
entonces, se repiten los pasos del proceso modelado.
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6. Crecimiento Demográfico dP
= KP
dt
P(t) es la población de un país en cualquier momento t.
k es una constante de proporcionalidad.
dP/dt = tasa de cambio de la población
(1/p) ( dp/dt) = tasa de crecimiento
Desintegración radiactiva dm
= Km
dt
m(t) = es la masa restante a partir de una masa inicial de una sustancia después
de un tiempo t
-(1/m) (dm/dt) = tasa de desintegración relativa.
La ley de la desintegración radiactiva predice el decrecimiento con el tiempo del
número de núcleos de una sustancia radiactiva dada, que van quedando sin
desintegrar.
Ley de Newton del enfriamiento o calentamiento
dT
= K (T − Tm )
dt
T(t) representa la temperatura del objeto al tiempo t
Tm es la temperatura constante del medio que lo rodea
dT/dt es la razón con que la temperatura del cuerpo cambia
k es una constante de proporcionalidad.
Para calentamiento o enfriamiento, si Tm es constante es razonable suponer que
k < 0.
Propagación de una enfermedad dX
= KXY
dt
Denotemos con x (t) el número de personas que han contraído la enfermedad y
con y (t) el número de personas que no ha estado expuesta, todavía, al contagio.
La razón dx/dt a la que se propaga la enfermedad es proporcional al número de
encuentros o interacciones entre estos dos grupos de personas. Sí suponemos que
el número de interacciones es conjuntamente proporcional a x(t) y y(t) es
proporcional a el producto xy. Siendo k la constante de proporcionalidad usual.
6

7. Reacciones químicas dC
= KAB
dt
En una reacción química elemental, las moléculas sencillas de dos reactivos A y B
forman una molécula del producto C: A + B → C
dC = K (A)( B)
dt
Si α y β son las cantidades de dos sustancias en t = 0 . Las cantidades
instantáneas de A y B que no se han convertido en la sustancia C son (α – X ) y
(β –X ), respectivamente. Por lo tanto, la rapidez de formación de C está dada por
dX = k ( α - X ) (β - X )
dt
1
Drenado de un tanque
dv
En hidrodinámica la ley de Torricelli: = − a 2 gy
dt
y(t) = altura
v(t) = volumen del agua en un tanque en un instante t.
Se aplica si el agua se fuga por un agujero de area “a” que se encuentra en el
fondo del tanque.
g = aceleración debido a la gravedad.
v =a y = el volumen de agua que sale del tanque
Mezclas
dA = Razón de entrada de solución – Razón de salida de solución = Ri - Ro
La mezcla de dos soluciones salinas de distintas concentraciones, da lugar a una
ecuacion de primer orden, que define la cantidad de sal que contiene la mezcla.
Circuitos en serie
Examinemos el circuito eléctrico simple:
Que contiene una fuerza electromotríz (batería o generador)
Produce un voltaje E(t) volts
Con una corriente de I(t) amperes (A) en el instante t.
Una resistencia de R ohms.
Un inductor con una inductancia de L henrys (H).
Según la segunda ley del Kirchhoff :
dI
E(t) = L +RI
dt
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8. Caída libre
Mediante la segunda ley de Newton F = ma= m dv = mg - kv
dt
m es la masa del cuerpo.
dv + k v = g
dt m
Ecuación Diferencial Lineal General:
⊗ L (y) = g (x)
Si g (x) = 0 entonces ⊗ es ecuación homogénea o ecuación reducida.
La solución es: y = yc solución complementaria
Si g (x) ≠ 0 entonces ⊗ es ecuación no homogénea
La solución es: y = yc + yp. Yp = solución particular.
Si : L = An (x) Dn +A(n – 1)_(x) D(n – 1) + ... + A1 (x) D + A0 (x)
La solución general de una ecuación diferencial homogénea es:
Y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn
Wronskiano: Considere funciones f1 (x), f2 (x), ..., fn (x) que poseen al menos (n
– 1) derivadas.
f1 f2 ... fn
W (f1, f2, ..., fn) = f1 ’ f2’ ... fn’
. . .
. . .
. . .
f1(n –1) f2 (n – 1) (n – 1)
fn
Si w ≠ 0 entonces las funciones son linealmente independientes.
Si w = 0 entonces las funciones son linealmente dependientes.
Conjunto Fundamental de Soluciones: Son las soluciones de una ecuación
diferencial homogénea y1, y2, ..., yn que existen en un intervalo I.
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9. A partir de ⊗ podemos formar la Ecuación Característica, Ecuación
discriminante o Ecuación Auxiliar:
An rn + A(n – 1) r(n – 1) + A(n – 2) r(n – 2) + … + A1r + A0 = 0
Si la ecuación auxiliar y posee raíces reales distintas su solución es:
r x r x r x
Y = C1 e 1 + C2 e 2 + ... + Cn e 3
Si la ecuación auxiliar posee “n” raíces reales repetidas su solución es:
Y = [ C1 + C2x + ... + Cnx(n – 1) ] er x
Siendo n un número par. Si la ecuación auxiliar posee raíces complejas:
Para un par conjugado: r1 = α + βi r2 = α - βi
La solucion es :
Y = eα x ( C1 cos β x + C2 sen β x )
Para todas las raices complejas repetidas, si la suma de constantes esenciales es
igual a n, la solucion es :
αx
Y=e [ (A0 + A1x + A2x2 + ... + A (m – 1) x (m – 1) ) cos βx +
(B0 + B1x + B2x2 + … + B (m –1) x (m – 1)) sen βx ]
A partir de las series :
x x 2 x3
e = 1+ +
x
+ + ...
1! 2! 3!
x2 x4
cos x = 1 − + − ...
2! 4!
x3 x5
senx = x − + + ...
3! 5!
Tenemos la fórmula de Euler:
ei x = cos x + i sen x
e – i x = cos x – i sen x
9

10. Soluciones de Ecuación ⊗ .
Ecuaciones No Homogéneas. Determinación de Solucion particular yp.
a) Coeficientes Indeterminados: A partir de g (x) se puede usar siempre
que las derivadas de g(x) sean finitas o periódicas.
g(x) = p (x) . sen Bx . eα x
g(x) = p (x) . cos Bx, . eα x
p(x) es un polinomio.
P(x) = An xn + A (n – 1) x (n – 1) + ... + A1 x + A0
Yp se forma atendiendo al tipo de función de g(x). Tomando en cuenta la
repetición de raíz que exista en g(x) y en la solución complementaria yc.
b) Variación de Parámetros: A partir de Yc, cambiando las constantes por
parámetros
Tenemos:
Yp = µ 1 (x) y1 (x) + µ 2 (x) y2 (x) + ... + µ n (x) yn (x)
Construimos el sistema siguiente:
µ 1’ (x) y1 (x) + µ 2’ (x) y2 (x) + ... + µ n’ (x) yn (x) = 0
µ 1’ (x) y1’ (x) + µ 2’ (x) y2’ (x) + ... + µ n’ (x) yn’ (x) = 0
.
.
.
µ 1’ (x) y1(n-1) (x) + µ 2’ (x) y2(n-1) (x) + ... + µ n’ (x) yn(n-1) (x) = g(x)
Wk Wk
µ 'k = k = 1, 2, ... , n µk = ∫ dx
W W
c) Operadores. Método Abreviado.
1) f (D) (ea x y ) = ea x f (D + a) y
2) f (D 2) sen a x = f ( - a 2) sen a x
3) f (D 2) cos a x = f ( - a 2) cos a x
1 1 ax
4) y = e ax = e , F (a) ≠ 0
F ( D) F (a)
10

11. 1 1
5) y = sen(ax + b) = sen(ax + b) , F( -a2 ) ≠ 0
2
F (D ) F (−a 2 )
1 1
6) y = cos(ax + b) = cos(ax + b) , F( -a2 ) ≠ 0
2
F (D ) F (−a 2 )
1
7) y = x m = (a0 + a1D + a2 D 2 + ... + am D m ) x m , ao ≠ 0
F ( D)
1 1
8) y = e axV = e ax V
F ( D) F ( D + a)
1 1 F ' ( D)
9) y= XV = X V− V
F ( D) F ( D) {F ( D)}2
Ecuación de Cauchy – Euler:
Es de la forma:
dny d ( n −1) y dy
n (n-1)
An x +A (n – 1) x dx ( n −1) + … + A1x dx + A0 y = g (x)
dx n
y=xm , m es un valor a determinar. Cada termino se transforma en un
polinomio en m, multiplicado por xm. Asi y = xm es la solucion de la ecuación
diferencial siempre que m sea una solucion de la ecuación auxiliar.
Solución para raíces reales diferentes :
Y = C1 x r1 + C2 x r2 + ... + Cn x rn
Raíces reales e iguales:
Y = C1 x r1 + C2 x r2 lnx +... + Cn x rn
ln x
Raíces complejas conjugadas:
Para un par conjugado r = α ± βi
Y = Xα [ C1 cos (β ln x) + C2 sen (β ln x)]
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12. TRANSFORMADA DE LAPLACE ( )
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada
para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor.
Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés
Pierre Simón Marques de Laplace (1749 – 1827) que permite cambiar funciones de
la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
• Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones
diferenciales lineales.
• Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se
pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
• Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por
operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
• Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento
de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones
diferenciales correspondiente.
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ( )
La transformada de Laplace de una función f(t) f: ℜ → ℜ es una función F (s)
calculada como
La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace
converge. La integral ha de converger si f(t) es seccionalmente continua en todo intervalo
finito dentro del rango t > 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a infinito.
Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un
intervalo de “infinito” si es posible partir el intervalo en un número finito de subintervalos
de tal manera que la función sea continua en cada uno de ellos y tenga límites a izquierda
y derecha.
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13. TRANSFORMADA DE FUNCIONES ELEMENTALES
1. Suma y Resta
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:
{ f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s)
2. Multiplicación por una constante
Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:
{ kf(t)}
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS
Siendo: {f(t)}= ∫ ∞ e-st f(t) dt = F(s)
0
Para n=1:
{f ̀̕‘(t)}= s {f (t)} – f (0) = s F(s) – f(0)
Si n=2:
{f “(t)}= s {f ‘(t)} – f ‘(0) = s [s F(s) – f(0)] – f ‘(0) = s2 F(s) – s f(0) – f ’(0)
Si n=3:
{f ‘”(t)}= s {f “(t)} – f “(0) = s [s2 F(s) – s f ’(0)] – f “(0) =
s3 F (s) – s2 f(0) – s f ’(0) – f “(0)
En general:
[f(n) (t)] (s) = sn F(s) - sn-1 f(0+ ) - sn-2 f’(0+ ) - ··· - f(n-1) (0+ ) , (s > )
.
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Definición. Si la transformada de Laplace de una función F(t) es f(s), es
decir, si
{F(t)} = f(s), entonces F(t) se llama una transformada inversa de Laplace
-1
de f(s) y se expresa por F(t) = {f(s)} , donde -1 se llama el operador
transformada inversa de Laplace. Cuando evaluamos transformadas
inversas, con frecuencia sucede que una función de s que consideramos
no corresponde exactamente a la forma de una transformada de Laplace
F(s) como aparece en una tabla, por lo que será necesario reajustar la
función para que exista en la tabla.
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14. La transformada inversa de Laplace es lineal. Puede no ser unica.
Procedimiento para resolver una ecuación diferencial con valor inicial y coeficientes
constantes:
1) Aplique la transformada de Laplace. La ecuación diferencial transformada es
una ecuación algebraica en y(s).
2) Resolvemos la ecuación transformada para determinar y(s).
3) Aplicamos la transformada inversa.
4) Determine la y(t) desconocida que satisfaga la ecuación diferencial y las
condiciones iniciales.
Función escalón unitario o función de Heaviside.
Nos permite definir funciones que surgen en Ingenieria activadas o desactivadas,
encendidas o apagadas.
La funcion U (t-a) se define como:
⎧0, 0 ≤ t 〈a
µ (t − a ) = ⎨
⎩1, t≥a
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