Tich phan (nguyen duy khoi)

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUY N DUY KHÔI

L I NÓI ð U
Ngày nay phép tính vi tích phân chi m m t v trí h t s c quan tr ng trong Toán h c,
tích phân ñư c ng d ng r ng rãi như ñ tính di n tích hình ph ng, th tích kh i tròn xoay,
nó còn là ñ i tư ng nghiên c u c a gi i tích, là n n t ng cho lý thuy t hàm, lý thuy t
phương trình vi phân, phương trình ñ o hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn ñư c
ng d ng r ng rãi trong Xác su t, Th ng kê, V t lý, Cơ h c, Thiên văn h c, y h c...
Phép tính tích phân ñư c b t ñ u gi i thi u cho các em h c sinh

l p 12, ti p theo

ñư c ph bi n trong t t c các trư ng ð i h c cho kh i sinh viên năm th nh t và năm th
hai trong chương trình h c ð i cương. Hơn n a trong các kỳ thi T t nghi p THPT và kỳ
thi Tuy n sinh ð i h c phép tính tích phân h u như luôn có trong các ñ thi môn Toán c a
kh i A, kh i B và c kh i D. Bên c nh ñó, phép tính tích phân cũng là m t trong nh ng
n i dung ñ thi tuy n sinh ñ u vào h Th c sĩ và nghiên c u sinh.
V i t m quan tr ng c a phép tính tích phân, chính vì th mà tôi vi t m t s kinh
nghi m gi ng d y tính tích phân c a kh i 12 v i chuyên ñ “TÍNH TÍCH PHÂN

B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ð I BI N S

VÀ T NG PH N” ñ

ph n nào c ng c , nâng cao cho các em h c sinh kh i 12 ñ các em ñ t k t qu cao trong
kỳ thi T t nghi p THPT và kỳ thi Tuy n sinh ð i h c và giúp cho các em có n n t ng
trong nh ng năm h c ð i cương c a ð i h c.
Trong ph n n i dung chuyên ñ dư i ñây, tôi xin ñư c nêu ra m t s bài t p minh
h a cơ b n tính tích phân ch y u áp d ng phương pháp phân tích, phương pháp ñ i bi n s ,
phương pháp tích phân t ng ph n. Các bài t p ñ ngh là các ñ thi T t nghi p THPT và ñ
thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng c a các năm ñ các em h c sinh rèn luy n k năng tính tích
phân và ph n cu i c a chuyên ñ là m t s câu h i tr c nghi m tích phân.
Tuy nhiên v i kinh nghi m còn h n ch nên dù có nhi u c g ng nhưng khi trình bày
chuyên ñ này s không tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong ñư c s góp ý chân tình c a
quý Th y Cô trong H i ñ ng b môn Toán S Giáo d c và ðào t o t nh ð ng Nai. Nhân d p
này tôi xin c m ơn Ban lãnh ñ o nhà trư ng t o ñi u ki n t t cho tôi và c m ơn quý th y cô
trong t Toán trư ng Nam Hà, các ñ ng nghi p, b n bè ñã ñóng góp ý ki n cho tôi hoàn
thành chuyên ñ này. Tôi xin chân thành cám ơn./.
Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai

Trang 1



M CL C
L i nói ñ u

1

M cl c

2

I.

Nguyên hàm:

I.1.

ð nh nghĩa nguyên hàm

3

I.2.

ð nh lý

3

I.3.

Các tính ch t c a nguyên hàm

3

I.4.

B ng công th c nguyên hàm và m t s công th c b sung

4

II.

Tích phân:

II.1. ð nh nghĩa tích phân xác ñ nh

5

II.2. Các tính ch t c a tích phân

5

II.3

Tính tích phân b ng phương pháp phân tích

5

Bài t p ñ ngh 1

9

Tính tích phân b ng phương pháp ñ i bi n s

10

II.4

II.4.1 Phương pháp ñ i bi n s lo i 1

10

ð nh lý v phương pháp ñ i bi n s lo i 1

13

M t s d ng khác dùng phương pháp ñ i bi n s lo i 1

14

Bài t p ñ ngh s 2

14

Bài t p ñ ngh s 3

15

Bài t p ñ ngh s 4: Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng

16

II.4.2 Phương pháp ñ i bi n s lo i 2

16

Bài t p ñ ngh s 5

21

Các ñ thi T t nghi p trung h c ph thông

22

Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng

22

II.5. Phương pháp tích phân t ng ph n
Bài t p ñ ngh s 6: Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng
III.

23
28

Ki m tra k t qu c a m t bài gi i tính tích phân b ng máy tính
CASIO fx570-MS

29

Bài t p ñ ngh s 7: Các câu h i tr c nghi m tích phân

30

Ph l c

36


Trang 2



I. NGUYÊN HÀM:
I.1. ð NH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm s F(x) ñư c g i là nguyên hàm c a hàm s f(x) trên (a;b) n u v i m i
x∈(a;b):

F’(x) = f(x)
VD1: a) Hàm s F(x) = x3 là nguyên hàm c a hàm s f(x) = 3x2 trên R
b) Hàm s F(x) = lnx là nguyên hàm c a hàm s f(x) =

1
trên (0;+∞)
x

I.2. ð NH LÝ:
N u F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên (a;b) thì:
a) V i m i h ng s C, F(x) + C cũng là m t nguyên hàm c a f(x) trên kho ng ñó.
b) Ngư c l i, m i nguyên hàm c a hàm s f(x) trên kho ng (a;b) ñ u có th vi t
dư i d ng F(x) + C v i C là m t h ng s .
Theo ñ nh lý trên, ñ tìm t t c các nguyên hàm c a hàm s f(x) thì ch c n tìm m t
nguyên hàm nào ñó c a nó r i c ng vào nó m t h ng s C.
T p h p các nguyên hàm c a hàm s f(x) g i là h nguyên hàm c a hàm s f(x) và
ñư c ký hi u: ∫ f(x)dx (hay còn g i là tích phân b t ñ nh)
V y:

∫ f(x)dx = F(x)+C

VD2: a) ∫ 2xdx = x 2 + C

b) ∫ sinxdx = - cosx + C

c)

1

∫ cos x dx = tgx +C
2

I.3. CÁC TÍNH CH T C A NGUYÊN HÀM:
1)

'

( ∫ f(x)dx ) = f(x)

2) ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx

(a ≠ 0 )

3) ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx


4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫ f (u(x) ) u'(x)dx = F (u(x) )+C
VD3: a)

∫ (5x

4

-6x 2 + 8x )dx = x 5 - 2x 3 + 4x 2 +C

b) ∫6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos 2 x +C


Trang 3



I.4. B NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM:

B NG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ B N
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ C P THƯ NG G P

3/ ∫

x α +1
+C
α +1

dx
= ln x + C
x

2/ ∫ uα du =

( α ≠ -1)

3/ ∫

(x ≠ 0)

4/ ∫ e x dx = e x + C
5/ ∫ a x dx =

H P

1/ ∫ du = u + C

1/ ∫ dx = x + C
2/ ∫ x α dx =

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S

uα +1
+C
α +1

( α ≠ -1)

du
= ln u + C (u = u(x) ≠ 0)
u

4/ ∫ eu du = eu + C

ax
+C
lna

( 0 < a ≠ 1)

5/ ∫ au du =

au
+C
lna

( 0 < a ≠ 1)

6/ ∫ cosx dx = sinx + C

6/ ∫ cosu du = sinu + C

7/ ∫ sinx dx = -cosx + C

7/ ∫ sinu du = - cosu + C

dx
π
= (1+ tg2 x ) dx = tgx + C (x ≠ + k π )
cos 2 x ∫
2
dx
9/ ∫
= (1+ cotg 2 x ) dx = -cotgx + C (x ≠ k π )
sin 2 x ∫
8/ ∫

du
π
= (1+ tg2u ) du = tgu + C (u ≠ + kπ )
cos2u ∫
2
du
9/ ∫
= (1+ cotg2u ) du = -cotgu + C (u ≠ kπ )
sin2u ∫
8/ ∫

CÁC CÔNG TH C B
CÔNG TH C NGUYÊN HÀM THƯ NG G P:

1/

∫

1
dx = 2 x + C
x

2/ ∫ ( ax + b ) dx =
α

α +1

+ C (a ≠ 0)

2/

am
1
= a m-n ; n = a -n
n
a
a

3/

m

1

1
1
3/ ∫
dx = ln ax + b + C (a ≠ 0)
ax + b
a
1 ax +b
ax+b
4/ ∫ e
dx = e
+ C (a ≠ 0)
a
a kx
5/ ∫ a kx dx =
+ C ( 0 ≠ k ∈ R, 0 < a ≠ 1)
k.lna
1
6/ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C (a ≠ 0)
a
1
7 / ∫ sin ( ax + b ) dx = - cos ( ax + b ) + C (a ≠ 0)
a
8 / ∫ tgx dx = - ln cosx + C (x ≠

CÁC CÔNG TH C LŨY TH A:

1/ a m . a n = a m+n

(x ≠ 0)

1 ( ax + b )
a
α +1

SUNG

π
2

+ kπ )

9/ ∫ cotgx dx = ln sinx + C (x ≠ k π )

a = am ;

n
m

an = a m

CÁC CÔNG TH C LƯ NG GIÁC:
a. CÔNG TH C H B C:

1/ sin2 x =

1
(1- cos2x )
2

2/ cos2 x =

1
(1+cos2x )
2

b. CÔNG TH C BI N ð I TÍCH THÀNH T NG

1
cos ( a - b ) + cos ( a +b ) 

2
1
2/ sina.sinb = cos ( a - b ) - cos ( a + b ) 

2
1
3/ sina.cosb =  sin ( a - b ) + sin ( a + b ) 

2

1/ cosa.cosb =


Trang 4



II. TÍCH PHÂN:
II.1. ð NH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ð NH:
Gi s hàm s f(x) liên t c trên m t kho ng K, a và b là hai ph n t b t kỳ c a K,
F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên K. Hi u F(b) – F(a) ñư c g i là tích phân t
a ñ n b c a f(x). Ký hi u:
b

b

∫ f(x)dx = F(x) = F(b)-F(a)
a

a

II.2. CÁC TÍNH CH T C A TÍCH PHÂN:
a

1/

∫ f (x )dx

=0

a
a

2/

b

∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx

b
b

3/

a
b

∫ k.f (x )dx = k.∫ f (x )dx

a
b

4/

a
b

b

∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx

a
b

5/

(k ≠ 0)

a
c

a
b

∫ f(x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx

a

a

v i c∈(a;b)

c
b

6 / N u f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ 0 .
a
b

b

a

a

7 / N u f (x ) ≥ g (x ), ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx .
b

8 / N u m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ] thì m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) .
a
t

9 / t bi n thiên trên [a;b ] ⇒ G (t ) = ∫ f (x )dx là m t nguyên hàm c a f (t ) và G (a ) = 0
a

II.3. TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
b

Chú ý 1: ð tính tích phân I = ∫ f (x )dx ta phân tích f (x ) = k1 f1(x ) + ... + km fm (x )
a

Trong ñó: ki ≠ 0 (i = 1,2, 3,..., m ) các hàm fi (x ) (i = 1,2, 3,..., m ) có trong b ng nguyên
hàm cơ b n.
VD4: Tính các tích phân sau:
Trang 5

2

2

-1


-1

1) I = ∫(3x 2 - 4x +3)dx =(x 3 - 2x 2 +3x)

= (2 3 - 2.2 2 +3.2) -((-1)3 - 2.(-1)2 +3.(-1)) = 12
Nh n xét: Câu 1 trên ta ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 1/ và 2/
trong b ng nguyên hàm.
2
3x 4 -6x 3 + 4x 2 - 2x + 4
2) I = ∫
dx
x2
1
Nh n xét: Câu 2 trên ta chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên
hàm, trư c h t tách phân s trong d u tích phân (l y t chia m u) r i áp d ng tính ch t 4
và s d ng công th c 1/, 2/, 3/ trong b ng nguyên hàm.
2
2
3x 4 -6x 3 + 4x 2 - 2x + 4
2 4
⇒ I= ∫
dx = ∫(3x 2 -6x + 4 - + 2 )dx
2
x
x x
1
1

4 2
= (x 3 -3x 2 + 4x - 2ln |x |- ) = 4 - 2ln2
x 1
2

x 2 -5x +3
3) I = ∫
dx
x +1
0
Nh n xét: Câu 3 trên ta cũng chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng
nguyên hàm, trư c h t phân tích phân s trong d u tích phân (l y t chia m u) r i áp d ng
tính ch t 4 và s d ng công th c 1/, 2/ trong b ng nguyên hàm và công th c 3/ b sung.
2 2
2
x -5x +3
9 

⇒ I= ∫
dx = ∫  x − 6 +
 dx
x +1
x +1 

0
0

 x2
2
=  -6x +9ln | x +1 | = 2 -12 +9ln3 = 9ln3 -10
2
0
1

4) I = ∫e x (2xe -x +5 x e-x -e-x ) dx
0

Nh n xét: Câu 4: bi u th c trong d u tích phân có d ng tích ta cũng chưa áp d ng
ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t nhân phân ph i rút g n r i áp
d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 1/, 2/, 5/ trong b ng nguyên hàm.

 2 5x
1 4
⇒ I = ∫e (2xe +5 e -e ) dx = ∫ (2x +5 -1 ) dx =  x +
-x  =
ln5  0 ln5

0
0
1

1

x

π
4

-x

x -x

-x

x

π

2
5) I = ∫(4cosx +2sinx - 2 )dx =(4sinx - 2cosx - 2tgx) 4 = 2 2 - 2 - 2+2 = 2
cos x
0
0

Nh n xét: Câu 5 trên ta ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 6/, 7/ và 8/
trong b ng nguyên hàm.
Trang 6



π

π

8

6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx = (-2cos2x - 3sin4x)
0

8

= - 2 -3 + 2 = -1- 2

0

Nh n xét: Câu 6 trên ta cũng ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 6/ ,
7/ trong b ng nguyên hàm ph n các công th c b sung.
π
12

7) I =

∫ sin

2

(2x -

π

)dx
4
0
Nh n xét: Câu 7 h c sinh có th sai vì s d ng nh m công th c 2/ trong b ng b ng

nguyên hàm c t bên ph i, b i ñã xem u 2 = sin 2(2x -

π

) (hơi gi ng ñ o hàm hàm s h p).
4
V i câu 7 trư c h t ph i h b c r i s d ng công th c 6/ trong b ng nguyên hàm ph n các
công th c b sung.
π

⇒ I=

π

12

∫ sin

2

(2x -

0

π
4

)dx =

1
2

12

π



π 

1

12


∫  1 - cos(4x - 2 ) dx = 2 ∫ (1 - sin4x )dx


0

π


1
1
1 π 1
π
=  x + cos4x  12 =  + cos
2
4
2  12 4
3
0

0

 1
 π
1
1
 - 2 0 + 4 cos0  = 24 - 16




π
16

8/ I =

∫ cos6x.cos2xdx
0

Nh n xét: câu 8: bi u th c trong d u tích phân có d ng tích ta cũng chưa áp d ng
ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t ph i bi n ñ i lư ng giác bi n
ñ i tích thành t ng r i áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 6/ trong b ng nguyên hàm
ph n các công th c b sung.
π

π

16

16

1
⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx =
2
0
=


1 1
1

∫ (cos8x +cos4x )dx = 2  8 sin8x + 4 sin4x 

0

π
16
0

 1 1
1 1
π 1
π  1 1
1
2 1
1+ 2
=
 sin + sin  −  sin 0 + sin 0  =  +

2 8
2 4
4  2 8
4
8  16
 2 8


(

)

2

9) I =

∫x

2

-1dx

-2

Nh n xét: Câu 9 bi u th c trong d u tích phân có ch a giá tr tuy t ñ i, ta hư ng
h c sinh kh d u giá tr tuy t ñ i b ng cách xét d u bi u th c x2 – 1 trên [-2;2] và k t h p
v i tính ch t 5/ c a tích phân ñ kh giá tr tuy t ñ i.

Trang 7

2

⇒ I=

∫x

-1
2

-1dx =

-2

∫ (x

1

2

2

-1 )dx − ∫ ( x 2 - 1 ) dx + ∫ ( x 2 -1 )dx

-2

-1

1

x
 -1  x
 1 x
2
=  -x  − -x  + -x  = 5
3
 -2  3
 -1  3
1
3

3

3

3

3x +9
dx
x - 4x -5
2
Nh n xét: Câu 10 trên ta không th c hi n phép chia ña th c ñư c như câu 2 và 3,
m t khác bi u th c dư i m u phân tích ñư c thành (x -5)(x +1) nên ta tách bi u th c
3x+9
A
B
4
1
=
+
=
trong d u tích phân như sau: 2
(phương pháp h s
x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1
b t ñ nh)
3
3
3
3x +9
1 
 4
⇒ I= ∫ 2
dx = ∫ 
dx = ( 4ln | x -5 |-ln |x +1 |)

2
x - 4x -5
x -5 x +1 
2
2
10) I = ∫

2

= 4ln2 -ln4 - 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln

Chú ý 2: ð tính I = ∫

a'x +b'
dx
ax 2 +bx + c

4
27

(b2 - 4ac ≥ 0) ta làm như sau:

TH1: N u b 2 - 4ac = 0 , khi ñó ta luôn có s phân tích ax 2 +bx + c = a(x +
⇒ I= ∫

b 2
)
2a

b
ba'
ba'
)+b' b' a'
dx
dx
2a
2a dx =
∫ b + a2a ∫
b
b
a x+
a(x + )2
(x + )2
2a
2a
2a

a'(x +

TH2: N u b 2 - 4ac >0 ⇒ ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x 2 ) . Ta xác ñ nh A,B sao cho
A+ B = a'
a'x + b' = A(x - x1 )+ B(x - x 2 ) , ñ ng nh t hai v ⇒ 
Ax1 + Bx 2 = -b'
1 A(x - x1 )+ B(x - x 2 )
1
A
B
I= ∫
dx = ∫(
+
)dx .
a
(x - x1 )(x - x 2 )
a x - x 2 x - x1


Trang 8



Chú ý 3:
TH1: ð tính I = ∫

P(x)
dx ta làm như sau:
(x -a1 )(x -a2 )...(x -an )

P(x)
A1
A2
An
=
+
+...+
(x -a1 )(x -a2 )...(x -an ) (x -a1 ) (x -a2 )
(x -an )


P(x)
dx ta làm như sau:
(x -a1 ) (x -a2 )k ...(x - an )r
m

A1
A2
Am
P(x)
=
+
+ ...+
+ ...
m
m -1
k
r
(x - a 1 )
(x - a 2 )
(x - a m )
(x -a1 ) (x -a2 ) ...(x -an )
P(x)
dx v i P(x) và Q(x) là hai ña th c:
Q(x)
m

* N u b c c a P(x) l n hơn ho c b ng b c c a Q(x) thì l y P(x) chia cho Q(x).
* N u b c c a P(x) nh hơn b c c a Q(x) thì tìm cách ñưa v các d ng trên.
Nh n xét: Ví d 4 trên g m nh ng bài t p tính tích phân ñơn gi n mà h c sinh có
th áp d ng ngay b ng công th c nguyên hàm ñ gi i ñư c bài toán ho c v i nh ng phép
bi n ñ i ñơn gi n như nhân phân ph i, chia ña th c, ñ ng nh t hai ña th c, bi n ñ i tích
thành t ng...Qua ví d 4 này nh m giúp các em thu c công th c và n m v ng phép tính
tích phân cơ b n.
BÀI T P ð NGH 1: Tính các tích phân sau:
1

1) I = ∫(x x + 2x 3 +1)dx
0

2

2x 2 x + x 3 x - 3x + 1
dx
x2
1

2) Ι = ∫

0

3) I =

x 3 -3x 2 -5x +3
dx
∫
x -2
-1

2

4) I =

∫ (x

+ x - 3 ) dx
2

-2

π

π

6

5) I =

2

12

∫ (sinx + cos2x - sin3x )dx

6) I =

0

∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx
0

π

16

7) I =

∫ cos

2

4

2xdx

8) I =

∫x

2

+ 2x -3 dx

-2

0
4

dx
9) I = ∫ 2
x -5x +6
1
2

1

10) I = ∫
0

dx
x +1+ x

x + 2x +6
11) I = ∫
dx
(x -1)(x - 2)(x - 4)

x 2 +1
12) I = ∫
dx
(x -1)3 (x +3)

xdx
13) I = ∫ 4
x -6x 2 +5

x 7 dx
14) I = ∫
(1+ x 4 )2


Trang 9



II.4. TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP ð I BI N S :
II.4.1. Phương pháp ñ i bi n s lo i 1:
b

Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân

∫ f(x)dx

ch ph thu c vào hàm s f(x),

a

c n a và b mà không ph thu c vào cách ký hi u bi n s tích phân. T c là:
b

b

b

a

a

a

∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = ...
Trong m t s trư ng h p tính tích phân mà không tính tr c ti p b ng công th c hay
qua các bư c phân tích ta v n không gi i ñư c. Ta xét các trư ng h p cơ b n sau:
VD5: Tính các tích phân sau:
1) I =

2
2

dx
2 -x2

∫
0

Phân tích: Bi u th c trong d u tích phân có ch a căn b c hai, ta không kh căn
b ng phép bi n ñ i bình phương hai v ñư c, ta th tìm cách bi n ñ i ñưa căn b c hai v
2
2
d ng A 2 , khi ñó ta s liên tư ng ngay ñ n công th c: 1-sin x = cos x = cosx , do ñó:

π π

ð t x = 2sint ⇒ dx = 2costdt , t ∈ - ; 
 2 2


ð i c n:

x=

2
2
π
⇒ 2sint =
⇒t =
2
2
6

x =0 ⇒
π
6

⇒ I= ∫
0

2sint = 0 ⇒ t = 0
π

π

π

6
2cost.dt 6 2cost.dt
π
π
6
=∫
= ∫ dt = t =
( vì t ∈ 0;  ⇒ cost > 0 )
 6
2
2
6


2 -2sin t 0 2(1-sin t) 0
0

Trong VD trên khi ta thay ñ i như sau: I =

2

∫
0

ñư c k t qu I =

π
2

. K t qu trên b sai vì hàm s

Do ñó khi ra ñ

f (x) =

dx
. H c sinh làm tương t và
2 -x2

1
không xác ñ nh khi x= 2 .
2-x2

d ng trên Giáo viên c n chú ý: hàm s


f (x) xác ñ nh trên [a;b]

Trang 10



6
2

2) I =

∫

3 - x 2 dx

0

π π

ð t x = 3 sint ⇒ dx = 3 costdt , t ∈ - ; 
 2 2


ð i c n:

x=

6
6
π
⇒ 3sint =
⇒t =
2
2
4

x =0 ⇒
π
4

⇒I = ∫
0

2sint = 0 ⇒ t = 0
π

π

π

34
3
1
3 π 1 
4
3 -3sin t . 3cost.dt = ∫ 3cos t.dt = ∫ (1+cos2t ).dt =  t+ sin2t  =  + 


20
2 2
24 2

0
4

2

2

0

β

a) Khi g p d ng

∫
α

β

∫
α

a 2 - x 2 dx hay

dx
(a > 0)
a2 - x 2
π π

ð t x = a.sint ⇒dx = a.cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2


2
2
2
2
2
( ð bi n ñ i ñưa căn b c hai v d ng A 2 , t c là: a -a sin x = a cos x =a. cosx )

π π

x = β ⇒ t = β’ ∈ - ; 
 2 2



ð i c n:

π π

x = α ⇒ t = α’ ∈ - ; 
 2 2


π π

π π

Lưu ý: Vì t ∈ - ;  ⇒ α ', β ' ∈ - ;  ⇒ cost > 0
 2 2
 2 2




β

⇒ ∫ a - x dx =
2

α

β'

∫
α

β'

a -a sin t .acostdt = ∫ a 2cost 2dt , h b c cos2t.
2

2

2

α'

'

β

hay

2

β'
β'
dx
a.costdt
=∫
= ∫ dt
a 2 - x 2 α ' a 2 -a 2sin 2 t α '

∫

α

ð n ñây, công th c nguyên hàm không ph thu c vào bi n s nên ta tính ñư c tích
ñây ta c n lưu ý: Bi u th c trong d u tích phân

phân theo bi n s t m t cách d dàng.

này là hàm s theo bi n s t ñơn ñi u trên [α;β].
Ta m r ng tích phân d ng trên như sau:
β

b) Khi g p d ng

∫
α

β

a 2 -u 2(x)dx hay

∫
α

dx
(a > 0)
a 2 - u 2(x)
π π

ð t u(x) = a.sint ⇒ u'(x).dx = a.cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2



Trang 11

π π
ð i c n:
x = β ⇒ t = β’ ∈ - ; 
 2 2


π π
x = α ⇒ t = α’ ∈ - ; 
 2 2

2+

VD6: Tính tích phân sau: I =

6
2

∫


2+

-x 2 + 4x -1 dx . Ta có: I =

2

6
2

∫

3 - (x -2 ) dx
2

2

π π

ð t x - 2 = 3 sint ⇒ dx = 3 cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2


ð i c n:

x = 2+

6
2
π
⇒ sint =
⇒t =
2
2
4

x = 2 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0
π

π

4

⇒ I=

4

3 - 3sin 2 t . 3 cost.dt = ∫ 3cos 2 t.dt

∫
0

0

π

3 4
3
1

= ∫ (1+ cos2t ).dt =  t + sin2t 
20
2
2

2

VD7: Tính tích phân sau: I = ∫
0

π
4

=

0

3 π 1 
+ 
24 2


dx
dx
2+x 2

Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai

m u s vô nghi m nên ta không s d ng

phương pháp h s b t ñ nh như ví d 4.10 và không phân tích bi u th c trong d u tích
phân ñư c như chú ý 2 và chú ý 3.
 π π
ð t: x = 2tgt ⇒ dx = 2. (1+tg 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2
x = 2 ⇒ 2tgt = 2 ⇒ t =

ð i c n:

x =0 ⇒
π
4

⇒ I= ∫
0

π
4

2tgt = 0 ⇒ t = 0
π

2.(1+tg 2t )dt 4 2
2 4
2π
= ∫ dt =
t =
2
2+2tg t
2
8
0 2
π

0

β

dx
(a > 0)
+x2
Nh n xét: a2 + x2 = 0 vô nghi m nên ta không phân tích bi u th c trong d u tích
phân ñư c như chú ý 2 và chú ý 3.
 π π
2
ð t x = a.tgt ⇒ dx = a. (1+ tg t ) dt , t ∈  - ; 

c) Khi g p d ng

∫
αa

2

 2 2


Trang 12


 π π
x = β ⇒ t = β’ ∈  - ; 
 2 2
 π π
x = α ⇒ t = α’ ∈  - ; 

ð i c n:


 2 2

Ta xét ví d tương t ti p theo:
1+ 2

VD8: Tính tích phân sau: I =

∫
1

dx
x -2x+3
2

Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai

m u s vô nghi m nên ta phân tích m u s

ñư c thành: a2 + u2(x).
1+ 2

Ta có: I =

∫
1

1+ 2
dx
dx
= ∫
2
2
x -2x+3
1 2+ ( x -1)

 π π
ð t x -1= 2tgt ⇒ dx = 2. (1+tg 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2

ð i c n:
π

x = 1+ 2 ⇒ tgt = 1 ⇒ t =
x = 1 ⇒ tgt = 0
π
4

⇒ I= ∫
0

4

⇒t = 0

π

2.(1+tg 2t )dt 4 2
2
= ∫ dt =
t
2
2+2tg t
2
2
0

π
4

0

=

2π
8

V y:
β

dx
(a > 0)
+u 2 (x )
V i tam th c b c hai a 2 +u 2 (x ) vô nghi m thì

d) Khi g p d ng

∫
αa

2

 π π
ð t u(x) = a.tgt ⇒ u'(x)dx = a.(1+tg 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2
 π π
ð i c n:
x = β ⇒ t = β’ ∈  - ; 
 2
 π
x = α ⇒ t = α’ ∈   2

2
π
; 
2

Tóm l i: Phương pháp ñ i bi n s d ng 1:
ð nh lý: N u
1. Hàm s x = u(t) có ñ o hàm liên t c, ñơn ñi u trên ño n [α;β].
2. Hàm s h p f [u(t)] ñư c xác ñ nh trên ño n [α;β].

Trang 13



3. u(α) = a, u(β) = b.
β

b

thì

∫ f(x)dx = α f [u(t)]u'(t).dt
∫
a

T ñó ta rút ra quy t c ñ i bi n s d ng 1 như sau:
B1: ð t x = u(t) (v i u(t) là hàm có ñ o hàm liên t c trên [α ;β ] , f(u(t)) xác ñ nh trên
[α ;β ] và u(α ) = a, u( β ) = b ) và xác ñ nh α , β
β

β

b

B2: Thay vào ta có: I = ∫ f(u(t)).u'(t)dt = ∫ g(t)dt = G(t)
α

a

α

= G( β ) -G (α )

M t s d ng khác thư ng dùng phương pháp ñ i bi n s dang 1:
1
a
* Hàm s trong d u tích phân ch a a 2 -b 2 x 2 hay
ta thư ng ñ t x = sint
b
a 2 -b 2 x 2
1
a
* Hàm s trong d u tích phân ch a b 2 x 2 - a 2 hay
ta thư ng ñ t x =
bsint
b2 x 2 - a 2
a
1
* Hàm s trong d u tích phân ch a 2
ta thư ng ñ t x = tgt
2 2
b
a +b x
a
* Hàm s trong d u tích phân ch a x(a -bx) ta thư ng ñ t x = sin 2t
b
1
1
x2
2
1) I = ∫ x 1 - x dx
2) I = ∫
dx
2
0
0 4 - 3x
1

3) I = ∫
0
3
2

5) I =

∫

1

2

x
3 + 2x - x 2

dx

4) I =

x2 - 1
dx
x

∫
1
1

x +1
dx
x(2 - x)

dx
0 x + x +1

6) I = ∫

Hư ng d n: Câu 4: ð t x =

1
sint

2

Câu 5: ð t x = 2sin 2t

π
VD9: Ch ng minh r ng: N u hàm s f(x) liên t c trên 0;  thì
 2


π

π

2

2

0

0

∫ f (sinx )dx = ∫ f (cosx )dx

Áp d ng phương pháp trên ñ tính các tích phân sau :
π

π

4
sin x
1) I = ∫
dx
2) I = ∫ ln(1+ tgx)dx
sin 4x + cos 4x
0
0
2

4

Trang 14



Gi i
π
2

VT =

∫ f (sinx )dx

ð t x=

0

ð i c n x =0 ⇒t =

π

π

;x=

2

2

π
2

- t ⇒ dx = -dt .

⇒t =0

π

2
 π

⇒ VT = − ∫ f  sin  − t  dt = ∫ f (cosx )dx = VP (ñpcm)
2

π 
0
0

2

Áp d ng phương pháp trên ñ tính các tích phân sau :
π

sin 4x
dx
∫ 4
4
0 sin x + cos x
2

1) I =

π

ð t x=

2

- t ⇒ dx = -dt .

ð i c n x =0 ⇒t =
sin 4(

0

I= - ∫
π

2

sin 4(

π

π

2

π
2

π

π

;x=

2

2

⇒t =0
π

- t)

π
4

2
cos t
cos 4x
dt = ∫
dx
∫ 4
4
4
4
0 sin t + cos t
0 sin x + cos x
2

π

- t)+ cos 4(

2

dt =
- t)
π

π

2
sin x
cos x
π
π
dx + ∫
dx = ∫ dx = ⇒ I = .
∫ sin 4x + cos 4x
4
4
2
4
0
0 sin x + cos x
0
4

2

⇒ 2I =

4

2

π

4

2) I = ∫ ln(1+ tgx)dx
0

ð t x = π - t ⇒ dx = -dt
4

ð i c n x =0 ⇒t =

π
4

;x=

π
4

⇒t =0

π

π

4

π

4

π

4
1-tgt
⇒ I = - ∫ ln[1+tg( -t)]dt = ∫ ln(1+
)dt = ∫ [ln2 -ln(1+tgt)]dt = ln2. ∫ dt - I
4
1+tgt
π
0
0
0
0

4

⇒2I =

πln2
4

⇒I =

π.ln2
8



Trang 15

π
2

1)

π
2

n
n
∫ sin xdx = ∫ cos xdx

0

HD: ð t x =

0

π
2


-t .

a

2) Cho I =

∫ f(x)dx . CMR:

-a
a

a) I = 2 ∫ f(x)dx n u f(x) là hàm s ch n.
0

b) I = 0 n u f(x) là hàm s l .
b

b
f(x)
3) Ch ng minh r ng: N u f(x) là hàm s ch n thì ∫ x
dx = ∫ f(x)dx .
-b a + 1
0
2

2x 2 + 1
Áp d ng: Tính I = ∫ x
dx .
-2 2 + 1
π

ππ

0

20

4) Ch ng minh r ng: ∫ xf(sinx)dx =
π

Áp d ng: Tính I =

∫ f(sinx)dx (HD: ð t x = π - t )

xsinx

∫ 4+ sin 2 x dx .

0

BÀI T P ð NGH 4: Tính các tích phân sau: (Các ñ tuy n sinh ð i h c)
a) I =

2
2

∫
0
2

1

x2
1- x 2

dx

c) I = ∫ x 2 4 - x 2 dx

(ðH TCKT 1997)
(ðH T.L i 1997)

d) I = ∫ x 2 a 2 - x 2 dx (ðH SPHN 2000)

1- x

1
2

-1

1

dx

∫x

g) I = ∫

(ðH Y HP 2000)

0

3
2

1

2 3

0
a

0

e) I =

(1- x ) dx

b) I = ∫

2

dx

(1+ x )

2 2

(ðH TCKT 2000)

f) I = ∫
0

(ðH N.Ng 2001)

h) I =

dx
(ðH T.L i 2000)
x + 4x 2 +3
4

2

∫x
2
3

dx
x 2 -1

(ðH BKHN 1995)

II.4.2. Phương pháp ñ i bi n s lo i 2: (D ng ngh ch)
b

N u tích phân có d ng ∫ f u(x)  u'(x)dx


a

ð t: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx
ð i c n:

x = b ⇒ u2 = u(b)
x = a ⇒ u1 = u(a)

u2

⇒ I = ∫ f (u )du
u1


Trang 16



a) M t s d ng cơ b n thư ng g p khi ñ i bi n s lo i 2:(D ng ngh ch)
Trong m t s trư ng h p tính tích phân b ng phương pháp phân tích hay tính tích
phân b ng tích phân ñ i bi n s lo i 1 không ñư c nhưng ta th y bi u th c trong d u tích
phân có ch a:
1. Lũy th a thì ta th ñ t u b ng bi u th c bên trong c a bi u th c có ch a lũy th a
cao nh t.
2. Căn th c thì ta th ñ t u b ng căn th c.
3. Phân s thì ta th ñ t u b ng m u s .
4. cosx.dx thì ta th ñ t u = sinx.
5. sinx.dx thì ta th ñ t u = cosx.
6.

dx
hay (1 + tg2x)dx thì ta th ñ t u = tgx.
2
cos x

7.

dx
hay (1 + cotg2x)dx thì ta th ñ t u = cotgx.
2
sin x

8.

dx
và ch a lnx thì ta th ñ t u = lnx.
x

VD 10: Tính các tích phân sau:
1

3
5 2
1. a) I = ∫(x +1) x dx
0
3
2
2
ð t: u = x +1 ⇒ du = 3x dx ⇒ x dx =

du
3

ð i c n:
x

0

1

u

1

2

2

⇒ I = ∫ u5
1

du 1 2 5
u6 2 2 6 16 7
= ∫ u du =
=
=
3 31
18 1 18 18 2

π
2

b) I = ∫(1+sinx )3 .cosx.dx

(Tương t )

0

2

2. a) I = ∫ 4+3x 2 .12x.dx
0

ð t: u = 4+3x 2 ⇒ u 2 = 4+3x 2

Trang 17

⇒ 2udu = 6xdx ⇒ 12xdx = 4udu


ð i c n:
x

0

2

u

2

4

4

4

⇒ I = ∫ u.4u.du = ∫ 4u 2 .du =
2

2

4

4u 3
3

2

=
2

4.43 4.2 3 224
=
3
3
3
2

b) I = ∫ 1+2x 2 .x 3 .dx

(HD: I = ∫ x 2 . 1+2x 2 .xdx )

0

0

ð t u = 1+2x 2 ⇒ u 2 = 1+2x 2 ⇒ x 2 =
⇒ 2udu = 4xdx ⇒ xdx =
1

udu
...
2

x2
dx
1+7x 3

c) I = ∫ 3
0

u2 -1
2

ð t u 3 = 3 1+7x 3 ⇒ u 3 = 1+7x 3
⇒ 3u 2du = 21x 2dx ⇒ x 2dx =

u 2du
7

ð i c n:
x

0

u
2

1

1

2
2

2

2 2

u
1
1u
du = ∫ udu =
7u
71
14
1

⇒I = ∫

1

3.a) I = ∫

x3

=
1

2 2 12 3
=
14 14 14
1

x 2 .x
dx
x 2 +1
0

dx

Ta có: I = ∫

x

0

1

u

1

2

x 2 +1
ð t u = x 2 +1 ⇒ x 2 = u -1
du
⇒ du = 2xdx ⇒ xdx =
2
ð i c n:
0

2

2
u -1
12
1
1
1
du = ∫ 1- du = (u -ln |u |) = (2 -ln2 -1 ) = (1-ln2 )


2u
2 1 u
2
2
1
1

⇒ I= ∫
2

b) I = ∫
1

x2
dx
x 3 +2

(HD: ð t u = x 3 +2 )


Trang 18



π
6

4
4.a) I = ∫ sin x.cosx.dx

ð t: u = sinx ⇒ du = cosx.dx

0

ð i c n:
x
u

π

0
0

6
1
2

1
2

 u5 
⇒ I = ∫ u du =  
5 
0
4

1
2

0

=

1
160

π

sinx
dx
1+3cosx
0
2

b) I = ∫

(HD: ð t u = 1+3cosx )

π
2

c) I = ∫ 1+3sinx.cosxdx

(HD: ð t u = 1+3sinx )

0

π

sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2

5.a) I = ∫

π

(ð ðH kh i A – 2005)
π

2
sinx (2cosx +1 )
2sinxcosx +sinx
Ta có I = ∫
dx = ∫
dx
1+3cosx
1+3cosx
0
0
2

ð t u = 1+3cosx ⇒ u 2 = 1+3cosx ⇒ cosx =
⇒ 2udu = -3sinxdx ⇒ sinxdx =

u2 -1
3

-2udu
3

ð i c n:
π

0

x
u

2

2

1

 u -1
 -2udu 
+1  
2


3
  3  dx = 2
⇒I = ∫
2

1

2

=

u

2

(2u
9∫

2

+ 1 )du

1

 2 2  2.2 3
2  2u 3
2.13  34
+u  = 
+2 -1 =
9 3
3

1 9 3
 27


Trang 19



Nh n xét: ð i v i nh ng bài ch a căn th c, h c sinh có th ñ t u b ng bi u th c
trong d u căn, nhưng sau khi ñ i bi n thì tích phân m i v n còn ch a căn th c nên vi c
tính ti p theo s ph c t p hơn (t c là h c sinh ph i ñưa v xα). Ví d : Cách 2 c a câu 5
π

sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2

5.a) I = ∫

(ð ðH kh i A – 2005)

π

π

2
sinx (2cosx +1 )
2sinxcosx +sinx
dx = ∫
dx
1+3cosx
1+3cosx
0
0
2

Ta có I = ∫

ð t u = 1+3cosx ⇒ cosx =

u -1
3

⇒ du = -3sinxdx ⇒ sinxdx =

-du
3

ð i c n:
x
u

π

0
4

2

1

-du 
 u -1
+1  
4
2


 3
 3  du = 1 (2u+1 ) du
⇒I = ∫
∫
1

9

u

4

u

1

4
4
1
− 
1 4
1  1  1
14

2 u+
= ∫ 2u 2 + u 2  =  u u + 2 u 

9 ∫
u  9 1
1
 9 3
1
1  32
4  34
= 
+4- -2  =
9 3
3  27

=

Nh n xét: Rõ ràng cách gi i 2 ñ t u b ng bi u th c trong căn th y ph c t p hơn so
v i cách 1.
π

sin2x.cosx
dx
1+cosx
0
2

b) I =

∫

π
4

6.a) I = ∫
0

(tgx +1 ) dx

(ðH kh i B – 2005)

2

2

cos x

ð t: u = tgx +1 ⇒ du =

ð i c n:
x
u
2

0
1

dx
cos 2 x

π
4

2

 u3  2 8 1 7
 = - =
3 1 3 3 3

⇒ I = ∫ u 2du = 
1


Trang 20



π
4

tg 2 x - 3tgx +1
dx
cos 2 x
0

b) I = ∫

(HD: ð t u = tgx )

π
2

ecotgx

7.a) I = ∫ sin 2 x dx
π
4

ð t: u = cotgx ⇒ du =
ð i c n:

-dx
sin 2x

π

u

π

4

x

2

1

0

0

1

1

1

0

0

⇒ I = - ∫e udu = ∫e udu = e u = e - 1
π
2

b) I =

3cotgx +1
dx
sin 2 x

∫
p
4
e3

8.a) I =

∫
1

(HD: ð t u = 3cotgx +1 )

1+lnx.dx
x

ð t u = 1+lnx ⇒ u 2 = 1+lnx ⇒ 2udu =

dx
x

ð i c n:
x

1

e3

u

1

2

2

2

⇒ I = ∫ u.2udu = 2 ∫ u 2du =
1

1

2u 3
3

2

=
1

2.2 3 2.13 14
=
3
3
3

e7

lnx.3 1+lnx
dx
x
1

b) I = ∫

ð t u = 3 1+lnx ⇒ u 3 = 1+lnx ⇒ u 3 - 1= lnx ⇒ 3u 2du =

dx
x

ð i c n:
x

1

e7

u

1

2

2

2

1

1

 u7 u 4  2
 27 2 4  300
-  = 3  - =
7
7 4 1
7 4 

⇒ I = ∫ (u 3 -1 ) .u.3u 2du = 3 ∫ (u 6 -u 3 )du = 3 
BÀI T P ð NGH 5:

Trang 21



1. Tính các tích phân sau:
π
2

2

a) I = ∫ (5sinx -1 ) cos x.dx
3

1

b) I = ∫ 1+ 2x .x .dx
2

3

3

c) I =

0

0

∫
0

x2
3

π

p
2

p
4

6

sinx
dx
1+3cosx
0

e) I = ∫ sin 4x.cosx.dx

d) I = ∫

f) I = ∫ cos5 x.
dx

0

π

0

π

π

6

4

2

g) I = ∫ sin 2 x.cos 3 x.dx

h) I =

0

∫

i) I = ∫(1+sin2x )3 .cos2x.dx

1+3sinx .cosxdx

0

0

π

π

p
2

e tgx + 1
l) I = ∫
dx
cos 2 x
0
4

2

sin2x
k) I = ∫
dx
1+cos 2 x
0

j) I = ∫ sinx - sin x .dx
3

0

dx

1+ 26x 3

2. Tính các tích phân sau: (Các ñ thi t t nghi p)
π
2

a) I = ∫ sin 5 x. (TNTHPT Năm 93-94)
dx

2

x2

b) I = ∫

x3 + 2

1

0

dx (TNTHPT Năm 95-96)

π
2

∫

c) I =

2

∫

2
x + 2.x .dx (TNTHPT Năm 96-97) d) I = cos 4x.dx (TNTHPT Năm 98-99)
2

3

0

1

π

π

6

e) I = ∫(sin6xsin2x+6).dx (TNTHPT 00-01)
0

2

f) I = ∫(x+sin2x)cosx.dx (TNTHPT 04-05)
0

3. Tính các tích phân sau: (Các ñ thi tuy n sinh ð i h c)
π

sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2

∫

a) I =

(ðH kh i A – 2005)

π

sin2x.cosx
dx
1+cosx
0
2

b) I =

∫

(ðH kh i B – 2005)

π
2

c) I = ∫ (esinx +sinx )cosxdx

(ðH kh i D – 2005)

0

π

sin2x
dx
cos x + 4sin 2 x
0
ln5
dx
e) I = ∫ x
e +2e -x -3
ln3
2

d) I =

∫

2

(ðH kh i A – 2006)
(ðH kh i B – 2006)

1

f) I = ∫(x -2)e 2xdx

(ðH kh i D – 2006)

0

4. Tính các tích phân sau: (Các d ng khác)
13

a) I =

∫
0

dx
3
2x +1

3

b) Ι = ∫ x x +1.dx
0


1

dx
0 1+ x +1

c) I = ∫

3

Trang 22

p
3

2sin2x +3sinx
d) I = ∫
dx
6cosx - 2
0

e7

1

e4

h) I =

1+e x

0

1
5
4

1

∫

x +1
.dx
x -1

i) I = ∫

∫ x.lnx.ln(lnx) dx

5
3

ln5

l) I =

1+lnx .dx
x.lnx

∫

f) I =

e -1

dx

k) I = ∫

e3

1
e) I = ∫ 3
dx
1 x 1+lnx

e7

lnx.3 1+lnx
g) I = ∫
dx
x
1


e

(x +1)
x
dx (HD: t = xe )
x(1+ xe x )
0

m) I = ∫

e x -1 dx

0

1

7

x 3dx

∫

1) I =

(ðH T.M i 1997);

1+ x 2

0

2) I = ∫x5 (1-x3 ) dx (ðH KTQD 1997)
6

0

π

sin 3 x
dx (ðH QGHN 1997);
1+cos 2 x
0

1

2

3) I = ∫

xdx
(ðHQGTPHCM 1998)
2x +1

∫

4) I =

0

π

π

5) Ι = ∫ cosx sinxdx (ðHBKHN98);
0
7
3

7) I = ∫ 3
0

x +1
dx (ðH GTVT 1998);
3x +1

2

6) I = ∫cos2x (sin4x+cos 4x ) dx (ðHBKHN 98)
0
1

dx
e +1
0

8) I = ∫

x

(ðH QGHN 1998)

π

π

9) I = ∫ sin 3 xcosxdx (ðH DLHV 1998);

2

sin2x
dx (ðHQGTPHCM 1998)
1+cos 4x
0

10) I = ∫

0

π

π

2

sin 4x
dx (ðH GTVT 1999)
sin 4x +cos 4x
0
2

11) I = ∫ sin2x (1+ sin 2 x ) dx (ðHNT 1999); 12) I = ∫
3

0
1

dx
(ðH Cñoàn 2000);
2x
e +3
0

13) I = ∫

14) I =

ln2

∫
0

e 2xdx
e x +1

(ðH BKHN 2000)

π
4

2

sin4x
dx
dx (ðH CThơ 2000); 16) I = ∫
4
4
3
sin x +cos x
1 x ( x +1 )
0

15) I = ∫
π

(ðH NNghi p 2000)

π
6

2

sin x
dx (ðH Hu 2000);
6
cos x + sin 6 x
0

17) I = ∫

2

18) I = ∫
0

cosx
dx (ðHNN1-KB 01)
sinx + cosx

π
2

dx
4
1 x ( x +1 )

19) I = ∫

2

(ðH Aninh 2001)

20) Ι = ∫ cos 2 xsin2xdx (ðH NL HCM 2001)
0

1

3

0

x7
dx (CðSPNtrang 2002)
1+ x 8 - 2x 4
2

π

π

21) I = ∫ x 5 1 - x 3 dx (ðH Lu t HCM 2001); 22) I = ∫
2

23) I = ∫
0

(

3

2 3

25) I =

∫

5

)

4

1- 2sin 2 x
dx (ðHCð kh i B 2003)
1+ sin2x
0

cosx - sinx dx (CðSPQN 2002); 24) I = ∫
3

dx
x x2 + 4

1

(ðH-Cð kh i A 2003); 26) I = ∫ x 3 1- x 2 dx (ðH-Cð kh i D 2003)


0

Trang 23



II.5. TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N:
ð nh lý: N u u(x) và v(x) là hai hàm s có ñ o hàm liên t c trên ño n [a;b] thì:
b

∫ u(x).v'(x)dx = [u(x).v(x) ]

b

a

a

b

∫ u(x).dv = [u(x).v(x)]
a

hay

b

a

b

a

− ∫ v(x).u'(x).dx
a

b

− ∫ v(x).du
a

b

a

hay

b

b

a

∫ u.dv = u.v - ∫ v.du

a) Phương pháp tính tích phân t ng ph n:
b

b

a

a

Bư c 1: Bi n ñ i I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f1 ( x ) f2 ( x ) dx

u = f1 ( x )

du = df1 ( x )
⇒
Bư c 2: ð t 
dv = f2 ( x ) dx
v = ∫ f2 ( x ) dx (v là m t nguyên hàm c a f2(x) )


b

Bư c 3: Tính I = u.v a

b

∫ v.du
a

Chú ý: Khi tính tích phân t ng ph n ta ph i n m nguyên t c sau:
+ Ch n phép ñ t dv sao cho d xác ñ nh ñư c v
+

b

∫ vdu
a

ph i d xác ñ nh hơn

b

∫ udv
a

b) M t s d ng thư ng dùng phương pháp tích phân t ng ph n:
N u bi u th c trong d u tích phân có ch a:
D ng 1: P (x ) sin(nx).dx ; P ( x ) cos(nx).dx ; P ( x ) .enxdx ; P (x ).a nxdx ta nên ñ t:
u = P(x)

nx
nx
dv = sin(nx)dx hay cos(nx)dx hay e dx hay a dx

D ng 2: P ( x )lnx.dx ; P ( x ) loga x.dx ta nên ñ t:
u = lnx hay u = loga x

dv = P(x)dx
x
x
x
x
D ng 3: a sin(nx)dx hay e cos(nx)dx hay a cos(nx)dx hay a cos(nx)dx thì
ph i s d ng tích phân t ng ph n ñ n hai l n.
Trang 24



VD 11: Tính các tích phân sau:
π
3

1. I = ∫(3x -1)cos3xdx
0

du = 3dx
u = 3x -1

⇒
1
v = sin3x
dv = cos3xdx

3


ð t: 


π

π

π

3
3
2
⇒ I = 1 (3x -1)sin3x - ∫ sin3xdx = 0+ 1 cos3x = 3
3
3
0
0
0
3

1

2. I = ∫(2x +1)ln(x +1)dx
0



dx
u = ln(x +1)
du =


x+1
ð t: 
⇒

2
dv =(2x +1)dx

 v = x + x = x(x + 1)

1

1

1

⇒ I = (x 2 + x)ln(x +1) 0 - ∫ xdx = 2ln2 0

x2
1
1
= 2ln2 - = - +ln4
2 0
2
2

1

2
2x
3. I = ∫ ( 4x - 2x -1 )e dx (ðH GTVT 2004)
0



du = (8x - 2)dx

u = 4x 2 - 2x -1


⇒
ð t: 
1
2x
 v = e2x
dv = e dx


2

1 1
1
1
⇒ I = (4x 2 - 2x -1). e 2x - ∫(4x - 1) e 2xdx = A - Β
2
2
0 0
1
2

1

1
2

A = (4x 2 - 2x -1). e 2x = e 2 +

du = 4dx
u = 4x -1
⇒

ð t: 
1
2x
 v = e2x
dv = e dx
2


1

Β = ∫(4x - 1)e dx
2x

0

1
⇒ ( 4x -1 ) e 2x
2

1

0

1
2

1

3
1
− ∫ 2e 2x dx = e 2 + -e 2x
2
2
0
0

1

0

1
3
= e2 +
2
2

⇒ I = A - Β = -1

Nh n xét: Ví d trên là d ng 1 c a tích phân t ng ph n ∫ P ( x ) .enxdx do ñó hư ng

h c sinh ñ t u = P(x) nhưng do P(x) là tam th c b c hai nên ta tính tích phân t ng ph n
hai l n. Tù ñó rút ra nh n xét chung cho h c sinh: N u P(x) là ña th c b c k thì tính tích
phân t ng ph n k l n.

Trang 25



π
4
x
2
4. I = ∫ 4e cos xdx
0

Nh n xét: D ng 3 c a tích phân t ng ph n là tích phân có d ng

∫ e sin(nx)dx
x

nhưng bi u th c trong d u tích phân c a ví d trên ch a cos 2 x do ñó h b c ta s ñưa tích
phân v ñúng d ng 3.
π

π

π

π

4

4

4

4

π
4

I = ∫ 4e cos xdx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e dx+ ∫ 2excos2x. = I1 + I2
dx
x

2

x

0

x

0

x

0

0

0

Ta có:
π

π

4

x 4

I1 = ∫ 2e dx = 2e
x

0

π

= 2e 4 -2

0

π
4

I2 = ∫ 2excos2x. x
d
0

du = -2.sin2xdx
u = cos2x
⇒

ð t: 
x
 v = 2ex
dv = 2e dx

π
4

⇒ I2 = 2e cos2x
x

0

1

+ ∫ 4e x sin2xdx = -2 + Β
0

1

Β = ∫ 4e x sin2xdx
0

du = 2.cos2xdx
u = sin2x
⇒

ð t: 
x
 v = 4e x
dv = 4e dx

π

⇒ B = 4e sin2x
x

4

0

π

1

− ∫ 8e cos2xdx = 4e 4 − 4 I2
x

0

π

⇒ I2 = -2 + B = -2 + 4e 4 − 4I2
π

π

1
⇔ 5 I2 = -2 + 4e ⇔ I 2 =  -2 + 4e 4
5

4






π

π
 14 π 12
1
4
I = I1 + I2 = 2e -2+  -2 + 4e  = e 4 −

5
5

 5
4

Nh n xét:

ví d trên h c sinh ph i tính tích phân t ng ph n hai l n, trong khi tính

l n hai bi u th c xu t hi n tích phân I c n tính ban ñ u nên ta còn g i d ng trên là

Trang 26



tích ph n t ng ph n l p. Trong d ng bài t p này khi làm h c sinh c n lưu ý v d u
khi s d ng công th c tích phân t ng ph n.
π

π

4

4
x
dx . T ñó suy ra: B = ∫ x.tg 2xdx (ðH NN Kh i B 2000)
5. A = ∫
2
cos x
0
0
π

u = x
du = dx

ð t
dx ⇒ 
v = tgx
dv = cos 2 x


π

=

4

π

+ ln cosx

4
0

=

⇒ A = x.tgx

4

0

π

π

4

4
- ∫ tgxdx = π + d(cosx)
4 ∫ cosx
0
0

π 1

- ln2
4 2

π

π

π

4

4

4

π

4
1
π 1
π2
1
dx - ∫ xdx = - ln2 ⇒ B = ∫ x.tg xdx = ∫ x.(
-1)dx = ∫ x.
cos 2 x
4 2
32
cos 2x
0
0
0
0
2

3

2
6. I = ∫ ln ( x - x )dx (ðHCð Kh i D 2004)
2



(2x - 1)dx = (2x - 1)dx
x ( x -1 )

du =
u = ln(x 2 - x)

x2 - x
⇒
ð t: 


dv = dx

v = x - 1


(nguyên hàm v = x + c nên thay c = -1 ñ kh m u s )
3 3
2x - 1
2
⇒ I = (x -1).ln(x - x) - ∫
dx = 2ln6 -2ln2 +1 = 2ln3 + 1
x
2 2
Nh n xét: Trong d ng bài t p tích phân t ng ph n có ch a ln(u(x)) thư ng xu t hi n
phân s nên rèn luy n cho h c sinh khéo léo k t h p thêm tính ch t c a nguyên hàm
∫ f(x)dx = F(x)+C v i C là m t h ng s thích h p ta có th ñơn gi n ñư c phân
s ñ cho bư c tính tích phân ti p theo ñơn gi n hơn.
4

M t ví d tương t : I = ∫ 2xln(x - 2)dx
3
3

π 

 
2 

7. I =

∫

sin 3 x dx (ðH KTrúc HN 2001);

0

Nh n xét:

ví d trên h c sinh ph i nh n xét ñư c r ng bư c ñ u ph i ñ i bi n s .

ð t u = 3 x ⇒ u 3 = x ⇒ 3u 2 = dx
ð i c n:
x

0

π 
 
2

3


Trang 27


π

0

u


2

π

π

2

2

0

0

⇒ I = ∫ 3u 2sinudu ⇒ I = ∫ 3x 2sinx dx ta bi n ñ i như trên ñ h c sinh d nh n d ng tích

phân t ng ph n d ng 1.
Nh n xét: ð n ñây tích phân ti p theo có d ng 1 c a tích phân t ng ph n.
Do ña th c là b c hai nên ñ tính I, h c sinh ph i tính tích phân t ng ph n 2 l n:
u = 3x 2
du = 6xdx
⇒
ð t
v = sinx
dv = cosx.dx
π

⇒ I = 3x sinx
2

2

0

π

3π 2
− ∫ 6xsinx dx =
− I1
4
0
2

π
2

I1 = ∫ 6xsinx dx
0

u = 6x
du = 6dx
⇒
ð t
dv = sinxdx
v = -cosx
π

π

⇒ I1 = −6x.cosx

2

+ ∫ 6cosx dx = 6x.sinx
0

0

⇒I=−

π

2

2

= 3π

0

3π
3π
+ I1 =
− 3π
4
4
2

2

Nh n xét: Qua ví d trên, ñ tính tích phân ñôi khi h c sinh ph i áp d ng c hai
phương pháp ñ i bi n s lo i 2 và tích phân t ng ph n.
Ví d tương t : (ph i h p hai phương pháp)
π2

π2

4

a) I =

∫ sin

e4

1

x dx

b) I = ∫ x.ln(1+ x 2 )dx

0

0

π

∫

c) I =

cos lnx
dx
x

π
3

2

d) I = ∫ ecosx sin2x.dx
0

e) I =

ln tgx
∫ cos 2 x dx
π

0
4

f) I = ∫ e x dx
0

4

BÀI T P ð NGH 6:
1. Tính các tích phân sau:


Trang 28

ln2

π
6

6

-x
∫ xe dx

a) I =


π

c) I = ∫(2x 2 -4)sin2xdx

b) I = ∫(12x - 2)cos2xdx

0

0

1

3

0

π

d) I = ∫(2x -1)ln(x +1)dx

2

e) I = ∫(2x -1)ln(x -1)dx

0

f) I =

2

xdx

∫
π sin x
2

4

π
1

g) I = ∫ 2xln 2(x +1)dx

3

2

i) I = ∫ 2xln2(x -1)dx

h) I = ∫(12x - 4+e )sinxdx

0
π
2

x

2

0

j) I = ∫(x + sin 2 x)cosxdx (TNTHPT – 2005)
0

π
4

a) I = ∫ e3x sin4xdx (ðH A.Ninh 1997)

b) I = ∫ ( x -1)e2xdx (ðH DLNN-T.H c 1997)
1

0

0

2

π 
 
4

π

c) I = ∫ x 2sinxdx (ðH A.Ninh 1998)

∫

d) I =

cos xdx (ðH DLNN-T.H c 1998)

0

0

π
2

lnx
e) I = ∫ 2 dx (ðH Hu 1998)
x
1

4

f) I = ∫ x (2cos 2 x -1 )dx (ðH TCKT 1998)
0

ln ( x +1 )
2
g) I = ∫
dx (ðH Cñoàn 2000) h) I = ∫ xlg xdx (ðH Y Dư c 2001)
2
x
1
1
10

2

3

π 
 
2 

∫

i) I =

0

e

sin 3 x dx (ðH KTrúc HN 2001); j) I = ∫ x 2ln 2 xdx (ðH KT HDương 2002)
1

e

0
x 2 +1
lnxdx (ðHCð D b 2-2003); l) I = ∫ x e2x + 3 x +1 dx (ðHCð D.b 2003)
x
1
-1

(

k) I = ∫

)

1

m) I = ∫ x 3e x dx (ðHCð D b 2-2003); n) I = ∫ ( x 2 + 2x )e -xdx (ðH GTVT 2003)
0
1

2

0

III. Ki m tra k t qu c a m t bài gi i tính tích phân b ng máy tính CASIO fx570-MS
Trong m t s trư ng h p m t s bài tích phân ph c t p ñã gi i ñư c k t qu
nhưng chưa ñánh giá ñư c ñ chính xác c a k t qu là ñúng hay sai, khi ñó ta có th
s d ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS ñ ki m tra k t qu . Ví d v i ñ thi
π

sin2x +sinx
dx ta s d ng máy tính như sau:
1+3cosx
0
2

Kh i A năm 2005 I = ∫


Trang 29

34
+ V i k t q a gi i tay là
ta chuy n sang s th p phân ≈ 1,259259…
27

+ ð i v i bài tích phân lư ng giác trư c h t chuy n sang ch ñ Rad.
+ Quy trình b m máy CASIO fx-570MS như sau:

(

∫ dx

(

sin

(

÷

ALPHA

X

)

)

,

0

X

,

2

ALPHA

(
SHIFT

1

π

)

X

+

+

3

cos

÷

2

sin

)

ALPHA

=

Và k t q a máy tính là 1,2593. So v i k t qu g n ñúng trên ñ ng nghĩa v i ñáp s
bài gi i b ng tay trên ñã ñúng.

BÀI T P ð NGH 7: CÂU H I TR C NGHI M TÍCH PHÂN
1

Câu 1: ∫ 2x +1 dx có giá tr b ng:
0

A. 2

B. 0

C. -2

D. 3

C. -1

D.

e

Câu 2: ∫ x 2 -1 dx có giá tr b ng:
0

A. 1

B. 0

1
2

Câu 3: Ch n m nh ñ ñúng:
A.

π
4

≤

3π
4

dx

≤
∫
π 3 - 2sin x
2

π
2

B. 0 ≤

4
3π
4

C. 0 ≤

∫
π

3π
4

dx

≤
∫
π 3 - 2sin x
2

π
2

4

dx
π
≤
2
3 - 2sin x
4

1
D. ≤
4

4

3π
4

dx

≤
∫
π 3 - 2sin x
2

π
2

4

e

Câu 4:

lnx
dx có giá tr b ng:
x
1

∫

A. 1
1

B. 0

C. -1

D. e

Câu 5: ∫ ( x + 2 ) dx có giá tr b ng:
4

0


Trang 30

211
A.
B. 211
C. 201
5

201
D.
5

π
2

Câu 6: ∫ e sinxcosx dx có giá tr b ng:
0

A. e - 1

B. 0

C. e

D. 1 - e

C. 1

D. 2

π
2

Câu 7: ∫ 3 1 + 3cosx . sinx dx có giá tr b ng:
0

A. 3
1

Câu 8:

∫x

B.

5
3

dx
có giá tr b ng:
+ x +1

2

0

A.

π 3
9

B.

π

C.

9

π
9 3

D.

π 3
3

(2x -1 )dx có giá tr b ng:
∫ 2
2

Câu 9:

x - x -1

1

A. ln

2
3

B. ln

3
2

C. ln

4
9

D. ln

9
4

( 4x + 2 )dx có giá tr b ng:
∫ 2
1

Câu 10:

x + x +1

0

A. 3ln2
1

Câu 11:

dx

∫

x 2 + 2x + 2

-1

A. ln (2 + 5 )
2

Câu 11:

dx

∫

-3x 2 +6x +1

1

A.
2

Câu 12:

∫
1

π 3
3

B. 2ln3

C. ln4

D. ln6

C. ln ( 2 + 5 )

D. ln ( 5 - 2 )

có giá tr b ng:
B. ln ( 2 +5 )
có giá tr b ng:
B.

π 3
9

C.

π 3
12

D.

π 3
15

( 4x +6 )dx có giá tr b ng:
2
x - 2x +3

A. 4ln (2 + 3 )

B. 6ln (2 + 3 )

C. 8ln (2 + 3 )

D. 10ln (2 + 3 )

2 2

Câu 13:

∫

x x 2 +1 dx có giá tr b ng:

0


Trang 31

26
28
32
A.
B.
C.
3
3
3
6

Câu 14:

∫x
2

A.
1

Câu 15:

dx

có giá tr b ng:

x 2 -3

π 3

B.

2
dx

∫

A. ln 2
2

Câu 16:

π 3

C.

6

π 3
12

D.

π 3
36

có giá tr b ng:

x 2 +1

0

34
D.
3

C. ln ( 2 +1 )

dx

∫ cosx +1

D. ln ( 2 + 2 )

C. 2

D. 3

C. 2

D. 3

C. 1 -ln2

B. ln2

D. 1+ln2

có giá tr b ng:

1

A. 0
π

Câu 17:

B. 1

dx

∫ sinx +1

có giá tr b ng:

0

A. 0
π

Câu 18:

B. 1
dx

∫ sinx - 2cosx - 2

có giá tr b ng:

0

A. -ln2

B. ln2
2

π

sinx -cosx 
Câu 19: ∫ 
 dx có giá tr b ng:
sinx +cosx 
0 

A. 1+
π

Câu 20:

π

B. -1+

4
cosx

∫ 11 -7sinx -cos x dx
2

π
4

C. 1 -

π

D. -1-

4

π
4

có giá tr b ng:

0

1
3

A. - ln

5
8

1
3

B. - ln5

1
3

C. ln

8
5

1
3

D. ln

5
8

π
2

Câu 21:

x +cosx

∫ 4 - sin x dx
π
2

có giá tr b ng:

2

A.

1
ln3
8

1
6

B. ln3

1
4

C. ln3

1
2

D. ln3

π
2


Câu 22: ∫ ln 

 dx có giá tr b ng:
1+cosx 

0
1+ sinx


Trang 32

π
3π
A.
B.
C. 0
2
2


D. 1

π
4

Câu 23:

sin4x

∫ sin x +cos x dx
4

4

có giá tr b ng:

0

A. -ln2

B. -ln2

C. -ln3

D. -ln3
-

Câu 24: Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a f(-x) + f(x) = cos7x.

π
2

∫ f(x) dx
π

-

có giá tr

2

b ng:
16
35

A.

B.

32
35

C.

24
35

D.

12
35
-

4

5

Câu 25: Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a 3 f(-x) + f(x) = cos x.sin x .

π
2

∫ f(x) dx
π

-

có

2

giá tr b ng:
A. -

1
4

B. -

1
2

1
4

C. 0

D.

C. 2

D. 3

C. 14

D.

2

Câu 26: ∫ x 2 - x dx có giá tr b ng:
0

A. 0

B. 1

2

Câu 27: ∫ x 3 - 2x 2 - x + 2 dx có giá tr b ng:
-1

9
4

A.

B.

37
12

41
12

2

Câu 28:

∫x

2

-3x + 2 dx có giá tr b ng:

-3

A.

59
2

B.

π
2

Câu 29:

∫

2

5 - 4cos x - 4sinx dx

0

A. -2 3 - 2 -

π
6

2
59

C. -

59
2

D. -

2
59

π
π
2
2
có giá tr b ng:  ∫ 5 - 4cos 2 x - 4sinx dx = ∫ 2sinx -1 dx

0
0


B. 2 3 - 2 -

π
6


C. 2 3 + 2 -

π
6







D. 2 3 + 2 +

π
6

Trang 33



π
2

Câu 30: ∫ 2cosx -1 dx có giá tr b ng:
0

A. 2 3 - 2 +

∫(2

x

A. 2 +
Câu 32:

3

π

C. 2 3 - 2 +

3

π
6

D. 2 3 - 2 -

π
6

- 4 dx có giá tr b ng:

-1

2

B. 2 3 - 2 -

)

2

Câu 31:

π

1
ln2

dx

∫ 1+ 1- x

B. 3 +

1
ln2

C. 4+

1
ln2

D. 5 +

1
ln2

có giá tr b ng:

-1

A. ln2

B. 2ln2

C. 3ln2

D. 4ln2

C. 2

D. 3

C. 9

D. 11

2

Câu 33:

∫ ( x - x -1 )dx

có giá tr b ng:

-1

A. 0

B. 1

2

Câu 34:

∫ ( 1- x - 1+ x )dx

có giá tr b ng:

0

A. 5

B. 7

1

Câu 35: ∫ xlnxdx có giá tr b ng:
0

A.

e 2 +1
2

B.

e 2 +1
4

C.

e 2 +1
1

D.

e 2 +1
3

π
2

Câu 36: ∫ xcosxdx có giá tr b ng:
0

A.

π
2

B.

+2

π
2

C.

-2

π
2

+1

D.

π
2

-1

1

Câu 37: ∫ xe xdx có giá tr b ng:
0

A. 7

B. 5

C. 3

D. 1

π
2

Câu 38: ∫ e x sin2x dx có giá tr b ng:
0

2

π



A. -  e 2 +1 
5




1

π



B. -  e 2 +1 
5





C.


2 π
2
 e +1 
5


D.


1 π
2
 e +1 
5

Trang 34



π
2

Câu 39: ∫ e 2xcosx dx có giá tr b ng:
0

A.

1 π
(e + 2 )
5

B.

1 π
(e - 2 )
5

C.

1
(2 eπ +1 )
5

D.

1
(2 eπ -1 )
5

C.

3e 2 -5
2

D.

5 -3e 2
2

C.

1 π
(e - 1)
2

D.

1 π
(-e +1 )
2

1

Câu 40: ∫ e 2x (x - 2 ) dx có giá tr b ng:
0

A.

5 -3e 2
4

B.

3e 2 -5
4

ex

Câu 41: ∫ cos (lnx )dx có giá tr b ng:
0

A.

1 π
( e +1 )
2

B. −

1 π
( e +1 )
2

e

Câu 42: ∫ sin (lnx )dx có giá tr b ng:
0

A.
e

Câu 43: ∫ e x
0

(sin1-cos1 )e+1 B. (sin1-cos1 )e -1
2

π

e

0

B. eπ

1+ x 2

(1+ x )

2

A. 0
e

Câu 45: ∫ e x
0

A.

(cos1- sin1 )e+1
2

D.

(cos1-sin1)e+1
2

1+ sinx
1+cosx

A. e 2
Câu 44: ∫ e x

2

C.

(1+ x )

2

e-2
2

D. e2 π

C. e

D. 2


B. 1
x

3π

C. e 2


B.

e+ 2
2


C.

e -1
2

D.

e+1
2

Trang 35



Nh n xét: Trong ph n n i dung chuyên ñ trên, tôi ch nêu ra m t s bài t p minh
h a cơ b n tính tích phân ch y u áp d ng phương pháp phân tích, phương pháp ñ i bi n s ,
phương pháp tích phân t ng ph n. Các bài t p ñ ngh là các ñ thi T t nghi p THPT và ñ
thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng c a các năm trư c ñ các em h c sinh rèn luy n k năng
tính tích phân, bên c nh ñó cũng hư ng d n h c sinh ki m tra k t qu bài gi i c a mình có
k t qu ñúng hay sai b ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS và ph n cu i c a chuyên ñ
là m t s câu h i tr c nghi m tích phân. ð ph n nào c ng c , nâng cao cho các em h c sinh
kh i 12 ñ các em ñ t k t qu cao trong kỳ thi T t nghi p THPT và kỳ thi Tuy n sinh ð i
h c và giúp cho các em có n n t ng trong nh ng năm h c ð i cương c a ð i h c.
Tuy nhiên v i kinh nghi m còn h n ch nên dù có nhi u c g ng nhưng khi trình bày
chuyên ñ này s không tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong ñư c s góp ý chân tình c a
quý Th y Cô trong H i ñ ng b môn Toán S Giáo d c và ðào t o t nh ð ng Nai. M t l n
n a tôi xin c m ơn Ban lãnh ñ o nhà trư ng t o ñi u ki n t t cho tôi và c m ơn quý th y cô
trong t Toán trư ng Nam Hà, các ñ ng nghi p, b n bè ñã ñóng góp ý ki n cho tôi hoàn
thành chuyên ñ này. Tôi xin chân thành cám ơn./.


Trang 36



TÀI LI U THAM KH O
1. Sách giáo khoa gi i tích 12
2. Sách giáo viên gi i tích 12
3. Tuy n t p các chuyên ñ và k thu t tính tích phân - Tr n Phương
4. ð o hàm và tích phân - Võ ð i Mau & Võ ð i Hoài ð c
5. Chuyên ñ tích phân và ñ i s t h p xác su t - Ph m An Hòa & Nguy n Vũ Thanh
6. Các d ng toán cơ b n gi i tích 12 - Nguy n Ng c Khoa
7. Tr c nghi m khách quan gi i tích và tích phân - ðoàn Vương Nguyên.


Trang 37



NH N XÉT
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Trang 38



.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................


Trang 39



.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................


Trang 40

Tich phan (nguyen duy khoi)

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (19)

Ähnlich wie Tich phan (nguyen duy khoi)

Ähnlich wie Tich phan (nguyen duy khoi) (20)

Tich phan (nguyen duy khoi)