Este documento presenta la unidad 1 de un curso de cálculo diferencial. La unidad cubre los números reales, incluyendo sus propiedades como la tricotomía, transitividad y densidad. También introduce conceptos como intervalos, desigualdades de primer grado y cuadráticas, y valor absoluto. El objetivo es establecer los fundamentos sobre números reales necesarios para comprender funciones y derivadas en unidades posteriores.

1. Cálculo
Diferencial
ACF-0901
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
Ing. Rodolfo Alcántara Rosales
MONOGRAFÍA DE:
“CÁLCULO DIFERENCIAL ”
CARRERA: TODAS LAS INGENIERÍAS
FECHA: 6 DE JULIO DE 2015
CONTENIDO
No.
UNIDAD
NOMBRE DE LA UNIDAD
1
NÚMEROS REALES
1.1 La recta numérica.
1.2 Los números reales.
1.3 Propiedades de los números reales.
1.3.1 Tricotomía.
1.3.2 Transitividad.
1.3.3 Densidad.
1.3.4 Axioma del supremo.
1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.
1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de
desigualdades cuadráticas con una incógnita.
1.6 Valor absoluto y sus propiedades.
1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.
2 FUNCIONES
2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una
función.
2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva
2.3 Función real de variable real y su
representación gráfica.
2.4 Funciones algebraicas: función polinomial,
racional e irracional.
2.5 Funciones trascendentes: funciones
trigonométricas y funciones exponenciales.
2.6 Función definida por más de una regla de
correspondencia. función valor absoluto.
2.7 Operaciones con funciones: adición,
multiplicación, composición.
2.8 Función inversa. Función logarítmica.
Funciones trigonométricas inversas.
2.9 Funciones con dominio en los números
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2. Cálculo
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naturales y recorrido en los números
reales: las sucesiones infinitas.
2.10 Función implícita.
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LÍMITES Y CONTINUIDAD
3.1 Límite de una sucesión.
3.2 Límite de una función de variable real.
3.3 Cálculo de límites.
3.4 Propiedades de los límites.
3.5 Límites laterales.
3.6 Límites infinitos y límites al infinito.
3.7 Asíntotas.
3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.
3.9 Tipos de discontinuidades.
4
DERIVADAS
4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una
función.
4.2 La interpretación geométrica de la derivada.
4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.
4.4 Propiedades de la derivada.
4.5 Regla de la cadena.
4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.
4.7 Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital.
4.8 Derivada de funciones implícitas.
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APLICACIONES DE LA DERIVADA
5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas
ortogonales.
5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del
cálculo diferencial.
5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función.
Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.Concavidades y
puntos de inflexión.Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.
5.4 Análisis de la variación de funciones
5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.
5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas.
UNIDAD 1
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1.1 RECTA NUMÉRICA
1.2 Los números reales
Los números reales son el conjunto de números naturales, cardinales, enteros
racionales e irracionales.
o Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar.
1, 2, 3,…
o Los números cardinales son el conjunto de números naturales y el cero.
0, 1, 2, 3, 4, 5…
o Los números enteros consisten de los números naturales, sus opuestos y el
cero.
…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
Número entero positivo es todo entero positivo mayor de cero.
1, 2, 3, 5,347, 1, 702,445...
Número entero negativo es todo entero negativo menor que cero.
-1, 000,345, -57, -3,- 4,- 2,- 1,
El cero representa el lugar de partida en alguna dirección. No es positivo ni
negativo.
Los números racionales representan partes de un todo, un cociente que ha sido
dividido en partes iguales.
⅛, 7.4, -2.35, 8, -25
Los números irracionales son números que no pueden ser expresados como
cociente de dos números enteros.
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0.789, 3.1456, p
Figura 1. Esquema que muestra la composición de los números reales
1.3Propiedades de los números reales.
1.3.1 Tricotomía.
Dados a y b e R se cumple exactamente una de las siguientes a_rmaciones:
a = b:
a > b:
a < b:
1.3.2 Transitividad.
Dados a; b; c e R si
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a < b
y
b < c
entonces
a < c
1.3.3 Densidad.
Dados a; b e R si a > b entonces existen un elemento x e R tal que a > x y x > b:
La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definición de
NÚMERO REAL, el cual fue creado pensando en la necesidad de tener números
suficientes para explicar el mundo real.
1.3.4 Axioma del supremo.
Sea A _ R tal que existe k e R con la propiedad de que k > a para toda a e R:
Entonces existe un elemento s e R tal que cumple la propiedad anterior y además
si k’ es otro número que cumple la propiedad entonces s < k’:
ACTIVIDAD 1.
En las siguientes parejas de reales suponga que a > b; determine el orden y
coloquelo en la columna de la derecha:
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A) za;zb si z <0
B) 1/a, 1/b
C) a, -b
D) –a, b
E) a, (a+b)/2
F) b, (a+b)/2
ACTIVIDAD 2
Si a > b > 0; entonces la(s) afirmacion(es) verdadera(s) es (son) (anóte en la
columna de la derecha F o V)
A) ab >b
B) a
2
+ b
2
>2ab
C) a -b <b
D) a + b >a
E) (a/b) + (b/a) >2
F) a
2
-b
2
>0
G) (a + b)(a
2
- ab + b
2
) >0
1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.
Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales
que la hace verdadera. En contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución,
consta de un número o conjunto finito de números, el conjunto solución de u
nadesigualdad consta de un intervalo completo de números, o en su caso, la unión
de esos intervalos.
Intervalo
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Dados dos números a y b en R con a < b el intervalo definido por a y b es el
conjunto de números x en R que están entre a y b.
Los puntos a y b pueden o no pertenecer al intervalo, por lo que se tienen los
siguientes casos:
La noción de intervalo se puede extender para los casos que denotan el conjunto
de las x que pertenecen a los reales y que son más grandes o mas chicas que un
número dado, tal como se ilustra a continuación:
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ACTIVIDAD 3
En la siguiente tabla, coloque en la columna central el símbolo de desigualdad que
corresponda y en la columna de la derecha, grafique el intervalo indicado:
1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de
desigualdades cuadráticas con una incógnita.
Resolver una desigualdad (o inecuación) es encontrar los valores de la variable
para los cules puede ser válida o no.
Ejemplo: Sea la desigualdad 2 + x < 9x + 6
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Para el caso de desigualdades de según orden, la solución se puede obtener de
dos formas:
1. Factorizando.
2. Utilizando la fórmula general.
x2
– 4x + 3 £ 0
Factorizando (x-3)(x-1)
Números críticos x = 1, x = 3
Posibles soluciones
La solución está dada
por los intervalos que
cumplan que
0)1()3( ≤−− xx ,
(signo negativo en la
quinta columna).
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Solución: [1, 3]
Ejemplo: x2
– x – 1 £ 0
Como no se
puede factorizar,
es decir, tiene
raíces
irracionales,
entonces
utilizamos la
fórmula general
para ecuaciones
cuadráticas
Números
críticos
Posibles
soluciones
La solución es:
)
2
51
,
2
51
(
+−
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1.5 Valor absoluto y sus propiedades.
El valor absoluto de un número real x se denota por | x | y se define como:
Las propiedas del valor absoluto son:
1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.
Ejemplo: sea la desigualdad 972 <−x
Por propiedad: babba <<−⇔<
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12. Cálculo
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1
8x
x-22x
162x2x2-
792x2x79-
97-2x7-2x9-
casoSegundocasoPrimer
9729
2
2
2
16
−>
<−>
<>
<<
+<<+
<<
<−<−
x
x
x
Solución: (-1, 8)
12
-1
( )
8