1. Momento lineal y choques Física I

3. Momento líneal y su conservación La cantidad de movimiento de una partícula se define como el producto de la velocidad v por la masa de la partícula: p = m v La segunda ley de Newton establece que la fuerza sobre un objeto es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento del objeto. En términos de la cantidad de movimiento, la segunda ley de Newton se escribe como:

4. Conservación de la cantidad de movimiento para dos partículas Para dos partículas que interactúan se cumple que: De la tercera ley de Newton, tenemos que: m 1 m 2 F 12 F 21 P 1 = m 1 v 1 P 2 = m 2 v 2

5. De aquí se obtiene que: Esto significa que: p total = p 1 + p 2 = constante La ley de la conservación del momento lineal establece que siempre que dos partículas aisladas interactúan entre sí, su momento total permanece constante.

6. Impulso y momento El impulso se define como el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo: El impulso de la fuerza F es igual al cambio de momento de la partícula. El impulso es un vector que tiene una magnitud igual al área bajo la curva de fuerza-tiempo. t i t f t F

7. La fuerza F que actúa en un tiempo muy corto, y se le llama fuerza de impulso . El impulso se puede escribir como: I = F m  t. Donde F m es la fuerza promedio durante el intervalo. t i t f t F F m Área = F m  t

8. Ejemplo Una pelota de golf de 50 g es golpeada por un palo de golf y ésta alcanza una distancia de 200m, calcule el impulso aplicado por el palo, suponga un ángulo de 45° el la velocidad inicial. El alcance esta dado por: A B C I =  p = mv B – mv A = (0.050)(44) = 2.2 kg m/s El alcance esta dado por: Si el tiempo de contacto dura 4.5 x 10 –4 s la fuerza es: F = I /  t = 4900 N

9. Colisiones Llamamos colisión a la interacción de dos (o más) cuerpos mediante una fuerza impulsiva. Si m 1 y m 2 son las masas de los cuerpos, entonces la conservación de la cantidad de movimiento establece que: m 1 v 1 i + m 2 v 2 i = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f Donde v 1 i , v 2 i , v 1 f y v 2 f son las velocidades iniciales y finales de las masas m 1 y m 2 . m 1 m 2 F 12 F 21 v 1 f v 1 i v 2 f v 2 i antes después

10. Ejemplo Un automóvil de 1800 kg está detenido y es golpeado por atrás por otro automóvil de 900 kg y los dos quedan enganchados. Si el auto pequeño se movía a 20 m/s ¿cuál es la velocidad final de los dos? p i = m 1 v 1 i = (900)(20) = 18000 kg m/s p f = m 1 v f + m 2 v f = ( m 1 + m 2 ) v f = 2700 v f v f = 18000/2700 = 6.67 m/s

11. Clasificación de las colisiones Consideraremos colisiones en una dimensión. Las colisiones se clasifican en: Elásticas : cuando se conserva la energía cinética total, es decir: Inelásticas : cuando parte de la energía cinética total se transforma en energía no recuperable (calor, deformación, sonido, etc.). Perfectamente inelásticas : cuando los objetos permanecen juntos después de la colisión. v 1 f = v 2 f

12. Colisiones perfectamente inelásticas Para colisiones perfectamente inelásticas se cumple lo siguiente: Si m 2 está inicialmente en reposo, entonces: Si m 1 » m 2 , entonces v  v 1 i . Si m 1 « m 2 , entonces v  0 . Si v 2 i =  v 1 i , entonces: Si en este caso m 1 = m 2 , entonces: v = 0 m 1 m 2 v 1 i v 2 i m 1 + m 2 v f

13. Choques elásticos En colisiones elásticas se conserva el momento y la energía total. Entonces se tiene que: y Es fácil mostrar, a partir de lo anterior, que: m 1 m 2 v 1 i v 2 i v 2 f v 1 f Antes de la colisión Después de la colisión

14. Es fácil mostrar que las velocidades finales de los dos objetos son: En una colisión elástica la velocidad relativa de los cuerpos en colisión cambia de signo, pero su magnitud permanece inalterada. Si denotamos por u la velocidad relativa de los objetos, entonces:

15. Si m 1 = m 2 , entonces v 1 f = 0 y v 2 f = v 1 i . Es decir, dos objetos de masas iguales intercambian sus velocidades. Si m 1 » m 2 , entonces v 1 f  v 1 i y v 2 f  2 v 1 i . Quiere decir que un objeto grande que choca con otro pequeño casi no altera su velocidad pero el objeto pequeño es arrojado con una velocidad del doble de la del pesado. Si m 1 « m 2 , entonces v 1 f   v 1 i y v 2 f  ( 2 m 1 / m 2 ) v 1 i  0. Cuando un objeto ligero choca con otro pesado, adquiere una velocidad opuesta a la que traía. Si v 2 i = 0, entonces:

16. Colisiones en dos dimensiones Para el caso de dos dimensiones la conservación del momento se expresa para cada componente como: m 1 v 1 ix + m 2 v 2 ix = m 1 v 1 fx + m 2 v 2 fx m 1 v 1 iy + m 2 v 2 iy = m 1 v 1 fy + m 2 v 2 fy m 1 m 2 v 1 i v 2 f v 1 f Antes de la colisión Después de la colisión v 2 i

17. Consideraremos el caso en que m 2 está en reposo inicialmente. Después del choque m 1 se mueve a un ángulo  con la horizontal y m 2 se mueve a un ángulo  con la horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan como: m 1 v 1 i = m 1 v 1 f cos  + m 2 v 2 f cos  0 = m 1 v 1 f sen  m 2 v 2 f sen  m 1 m 2 v 1 i v 2 f v 1 f Antes de la colisión Después de la colisión   La ley de la conservación de la energía suministra otra ecuación. Sin embargo, dadas las masas y la velocidad inicial deberá darse alguna de las cantidades restantes v 1 f , v 2 f ,  ,  .

18. Ejemplo Un auto de 1500 kg a 25 m/s hacia el este choca con una camioneta de 2500 kg que se mueve hacia el norte a 20 m/s en un cruce. Encuentre la magnitud y dirección de la velocidad de los autos después del choque, suponga un choque perfectamente inelástico. 25 m/s 20 m/s v f Momento en x: Antes Después (1500 kg)(25 m/s) = (4000 kg) v f cos(  ) Momento en y: Antes Después (2500 kg)(20 m/s) = (4000 kg) v f sen(  ) Resolviendo  = 53.1° v f = 15.6 m/s 

19. Ejemplo   v 1 i v 1 f v 2 f y x En un juego de billar un jugador desea meter la bola objetivo en la buchaca de la esquina. Conservación de la energía Conservación del momento (bidimensional) Efectuando el producto punto  = 55°

20. Centro de masa El centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el cual paracería estar concentrada toda la masa del sistema. En un sistema formado por partículas discretas el centro de masa se calcula mediante la siguiente fórmula: m 1 m 2 m n m i r 1 r 2 r i r n r CM x y z

21. Centro de masa de un objeto extendido r CM x y z r i  m i El centro de masa de un objeto extendido se calcula mediante la integral: El centro de masa de cualquier objeto simétrico se ubica sobre el eje de simetría y sobre cualquier plano de simetría.

22. Movimiento de un sistema de partículas Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema de partícula se obtiene la velocidad del centro de masa: El momento total del sistema es:

23. La aceleración del centro de masa es: De la segunada ley de Newton: Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton: El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.