100411 184 trabajo_fase_1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNADESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA
TRABAJO COLABORATIVO 3 CURSO: CÁLCULO INTEGRAL
CURSO ACADÉMICO CALCULO INTEGRAL
ACT. FORO COLABORATIVO MOMENTO 1
Erikt Daniel Benítez
Jose Alfredo Guzmán
Rodrigo Alberto Sanabria
COD: 100411_184
Presentado A:
WILSON IGNACIO CEPEDA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA
MARZO
2015

INTRODUCCION.
El siguiente trabajo se refiere al tema de anti derivadas y aplicaciones, estudiados en la unidad uno del
módulo del curso de Cálculo Integral. Su desarrollo se basa en la resolución de los ejercicios propuestos
en la guía de trabajo utilizando como estrategias el debate, los aportes individuales y el trabajo en
equipo.
Este trabajo tiene como fin enfocarnos en los primeros principios de la integración, además de
enseñarnos a utilizar el procedimiento como el del teorema fundamental del cálculo. Aunque
primordialmente el trabajo es sobre la realización de situaciones problemas solucionando integrales
indefinida y definida, aplicando las distintas propiedades que poseen.
Además los diferentes ejercicios que miraremos a continuación están desarrollados detalladamente para
su mayor análisis y comprensión, al igual que hechos a mano para mejor apropiación y compromiso con
respecto a los diferentes temas de estudio.

OBJETIVOS
En la actividad se deben desarrollar los momentos del aprendizaje basado en problemas por lo tanto
debe primero reconocer el problema planteado en la guía, luego en grupo analizarlo y plantear
soluciones y con el apoyo de los contenidos, ideas grupales y retroalimentación del tutor hacer una
síntesis con el fin de elaborar un producto final del momento 1 para ser presentado en el entorno de
evaluación y seguimiento.
Responder los interrogantes a las preguntas del foro inicial y generar debate entre mis compañeros de
grupo.
En el foro del trabajo colaborativo el estudiante debe aportar, discutir y acordar con sus compañeros cuál
será en producto final momento 1 de esta actividad del curso Calculo Integral.
A través de esta actividad también se lograron adquirir nuevas habilidades, destrezas conocimientos que
fortalecen el proceso de aprendizaje.

Desarrollo De La Actividad
Problemas Propuestos
Ejerció 1
1. ∫
𝑥5
+ 3𝑥 − 2
𝑥3
𝑑𝑥
= ∫ (
𝑥5
𝑥3
+
3𝑥
𝑥3
−
2
𝑥3
) 𝑑𝑥
= ∫
𝑥5
𝑥3
𝑑𝑥 + ∫
3𝑥
𝑥3
𝑑𝑥 − ∫
2
𝑥3
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
3
𝑥2
𝑑𝑥 − ∫
2
𝑥3
𝑑𝑥
= ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫ 3 𝑥−2
𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥−3
𝑑𝑥
=
𝑥(2+1)
(2 + 1)
+
3𝑥(−2+1)
(−2 + 1)
−
2𝑥(−3+1)
(−3 + 1)
+ 𝑐
=
𝑥3
3
+
3𝑥−1
−1
−
2𝑥−2
−2
+ 𝑐
=
𝑥3
3
−
3
𝑥
+
1
𝑥2
+ 𝑐
Ejerció 2.
2. ∫ sin 𝑥 + 3 sec2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 3 sec2
𝑥 𝑑𝑥
= ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 + 3 ∫ sec2
𝑥 𝑑𝑥

= − cos 𝑥 + 3 tan 𝑥 + 𝑐
Ejerció 3.
3. ∫
√ 𝑡 − 𝑡 + 𝑡3
√ 𝑡
3 𝑑𝑡
= ∫
√ 𝑡
√ 𝑡
3 𝑑𝑡 − ∫
𝑡
√ 𝑡
3 𝑑𝑡 + ∫
𝑡3
√ 𝑡
3 𝑑𝑡 = ∫
𝑡
1
2
𝑡
1
3
𝑑𝑡 − ∫
𝑡
𝑡
1
3
𝑑𝑡 + ∫
𝑡3
𝑡
1
3
𝑑𝑡
= ∫ 𝑡
1
2. 𝑡−
1
3 𝑑𝑡 − ∫ 𝑡. 𝑡−1
3 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡3
. 𝑡−
1
3 𝑑𝑡
= ∫ 𝑡
1
6 𝑑𝑡 − ∫ 𝑡
2
3 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡
8
3 𝑑𝑡 =
𝑡
7
6
7
6
−
𝑡
5
3
5
3
+
𝑡
11
3
11
3
+ 𝑐
=
6
7
𝑡
7
6 −
3
5
𝑡
5
3 +
3
11
𝑡
11
3 + 𝑐
Ejerció 4.
4. ∫ tan3
𝑥 𝑑𝑥
= ∫ tan2
𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ (sec2
𝑥 − 1) tan 𝑥 𝑑𝑥
= − ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ sec2
= − ∫
sin 𝑥
cos 𝑥
𝑑𝑥 + ∫ sec2
𝑢 = tan 𝑥 𝑑𝑢 = sec2
𝑥 𝑑𝑥 𝑢´ = cos 𝑥 𝑑𝑢´ = −sin 𝑥 𝑑𝑥
= − ∫
−𝑑𝑢´
𝑢´
+ ∫ 𝑢𝑑𝑢
= −𝑙𝑛|𝑢´| +
𝑢2
2

= −𝑙𝑛|cos 𝑥| +
tan2
𝑥
2
+ 𝑐
Ejerció 5.
5. ∫
𝑥2
1 + 𝑥6
𝑑𝑥
= ∫
𝑥2
1 + (𝑥3)2
𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥3
𝑑𝑢 = 3𝑥2
𝑑𝑥
𝑑𝑢
3
= 𝑥2
𝑑𝑥
= ∫
1
3
𝑑𝑢
(1 + 𝑢2)
=
1
3
∫
1
(1 + 𝑢2)
𝑑𝑢
=
1
3
tan−1
𝑢
=
1
3
tan−1
𝑥3
+ 𝑐
Ejerció 6.
6. ∫ [𝑒 𝑥
−
5
√1 − 𝑥2
+ 2 sin 𝑥] 𝑑𝑥
= ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 − 5 ∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
+ 2 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒 𝑥
− 5 ∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
+ 2(−cos 𝑥)
= 𝑒 𝑥
− 5 ∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥2
− 2 cos 𝑥
Resolver entonces;
∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥2

𝑥 = sin 𝜃 θ = sin−1
𝑥 𝑑𝑥 = cos 𝜃 𝑑𝜃
= ∫
cos 𝜃
√1 − sin2 𝜃
𝑑𝜃 = ∫
cos 𝜃
√cos2 𝜃
𝑑𝜃
= ∫
cos 𝜃
cos 𝜃
𝑑𝜃 = ∫ 𝑑𝜃 = 𝜃
= sin−1
𝑥
Luego,
= 𝑒 𝑥
− 5 sin−1
𝑥 − 2 cos 𝑥 + 𝑐
Ejerció 7.
7. ∫ cos4
𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
= ∫(cos 𝑥)4
sin 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑢 = −sin 𝑥 𝑑𝑥 −𝑑𝑢 = sin 𝑥 𝑑𝑥
= ∫ −𝑢4
𝑑𝑢
= −
𝑢5
5
= −
cos5
𝑥
5
= −
1
5
cos5
𝑥 + 𝑐
Ejerció 8.
8. ∫
cos3
𝑡 + 1
cos2 𝑡
𝑑𝑡
= ∫
cos3
𝑡
cos2 𝑡
𝑑𝑡 + ∫
1
cos2 𝑡
𝑑𝑡
= ∫ cos 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ sec2
𝑡 𝑑𝑡
= sin 𝑡 + tan 𝑡 + 𝑐

Ejerció 9.
9. Valor promedio =
1
2−0
∫ 𝑥2
√1 + 𝑥32
0
𝑑𝑥
𝑢 = 1 + 𝑥3
𝑑𝑢 = 3𝑥2
𝑑𝑥
𝑑𝑢
3
= 𝑥2
𝑑𝑥
=
1
2
∫ √ 𝑢
2
0
𝑑𝑢
3
=
1
6
∫ (𝑢
1
2) 𝑑𝑢
2
0
=
1
6
(
𝑢
1
2
+1
1
2
+ 1
)|
2
0
=
1
3
𝑢
3
2
3
2
|
2
0
=
2
3
1
6
𝑢
3
2|
2
0
=
1
9
(1 + 𝑥3
)
3
2 =
1
9
√(1 + 𝑥3)3|
2
0
=
1
9
√(1 + 23)3 −
1
9
√(1 + 03)3
=
1
9
√93 −
1
9
√1 =
1
9
√729 −
1
9
= (
1
9
∗ 27) −
1
9
= 3 −
1
9
=
26
9
Ejerció 10.
10. ∫ (2𝑥 − 2𝑥2)𝑑𝑥
1
0
= ∫ 2𝑥 𝑑𝑥
1
0
− ∫ 2𝑥2
1
0
𝑑𝑥
=
2𝑥2
2
−
2𝑥3
3
|
1
0
= 𝑥2
−
2
3
𝑥3
|
1
0

= (12
−
2
3
13
) − (02
−
2
3
03
)
= 1 −
2
3
− 0 =
1
3
Ejerció 11.
11. 𝐻(𝑥) = ∫ (2𝑡 − 4)𝑑𝑡
𝑥2
1
= ∫ 2𝑡 𝑑𝑡
𝑥2
1
− ∫ 4 𝑑𝑡
𝑥2
1
=
2𝑡2
2
− 4𝑡|
𝑥2
1
= 𝑡2
− 4𝑡 = (𝑥2)2
− 4𝑥2
− (12
− 4 ∗ 1) = 𝑥4
− 4𝑥2
+ 3
𝐻(𝑥) = 𝑥4
− 4𝑥2
+ 3
Luego, 𝐻´(𝑥) = 4𝑥3
− 8𝑥
Ejerció 12.
12. ∫ sin3
(2𝑥) cos(2𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
4
0
𝑢 = sin(2𝑥) 𝑑𝑢 = 2 cos(2𝑥) 𝑑𝑥
𝑑𝑢
2
= cos(2𝑥) 𝑑𝑥
= ∫ 𝑢3
𝑑𝑢
2
𝜋
4
0
=
1
2
∫ 𝑢3
𝜋
4
0
𝑑𝑢
=
1
2
𝑢4
4
|
𝜋
4
0
=
1
8
sin4(2𝑥)|
𝜋
4
0
=
1
8
sin4
(2 ∗
𝜋
4
) −
1
8
sin4(2 ∗ 0)
=
1
8
sin4
(
𝜋
2
) −
1
8
sin4(0) =
1
8
∗ 1 −
1
8
∗ 0 =
1
8

CONCLUSIONES
Identificamos los principios del cálculo integral para asimilar la teoría de las integrales.
Interpretamos las diferentes teorías, definiciones y teoremas del cálculo integral para poder comprender
en diversos escenarios su mejor manera de utilizarlos.
Manejamos de manera apropiada las integrales indefinidas, las integrales definidas y los teoremas en los
cuales se basaban
El desarrollo de esta actividad nos permitió el reconocimiento del curso, su estructura general, toda su
temática y objetivo de la misma, de tal forma que nos proporcionó una visión clara del curso para la
organización y planeación de estrategias adecuadas para desarrollar con éxito el programa.
Es fundamental que yo como estudiante asuma la gestión académica de su proceso formativo con
entereza, compromiso y responsabilidad, para cumplir con todos los eventos formativos.
La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso, se tomara como
estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu investigativo, de esta forma se espera
que el estudiante amplié la gama de opciones documentales que aportan a la re significación cognitiva.
Se maneja toda la temática del módulo de manera didáctica y de fácil aprendizaje.
El trabajo colaborativo es de gran aporte a nuestro auto aprendizaje y desarrolla un habito de trabajo en
equipo.
Se conoce de manera específica las temáticas, metodología y modelo del curso de Inferencia Estadística.
En estas actividades reconocimos a los compañeros de curso y a mi tutor.

WEBGRAFIA
 Bonnet (2003).Calculo Infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias
experimentales .Alicante, España: Universidad de Alicante.
 RONDON, J.E (2007) Calculo Integral. Primera edición, UNAD Ciencias básicas
 URCELL, E (2001) Cálculo, Pearson Education: Prentice hall, Octava Edición, México.
 HOMAS Y FINNEY (1987). Cálculo con Geometría Analítica Vol. 1. Edición sexta, Addison
Wesley Iberoamericana. México.
 TEWART, J. (2001) Cálculo de una Variable. Thomsom-Learning. Cuarta edición, Bogotá.
 LARSON, R. Y HOSTETLER, R. (1998) Cálculo Vol. 1, Mc Graw Hill, sexta edición, México.
 SMITH, R. Y MINTON, R. (2002) Cálculo Vol. 1. Segunda Edición, Mc Graw Hill, Bogotá.
 Plataforma Virtual “UNAD” “Curso Calculo Diferencial. Recuperado de:
http://66.165.175.239/campus09_20142/course/view.php?id=14.

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