Pequeno texto explicando o que é Taxa Interna de Retorno (TIR), Valor Presente Líquido (VPL) e Fluxo de Caixa

1. FLUXO
DE
CAIXA,
VPL
E
TAXA
INTERNA
DE
RETORNO
(TIR)
O
QUE
É
ISSO?
Suponha que você tenha $ 100. Se colocado na poupança com um
rendimento de 10% ao ano, pago anualmente, você terá
$100 x 1,1 = $ 110
AO
FINAL
DO
ANO.
Ao final de dois anos, o saldo na conta será de
$ 110 + 10%, ou $ 110 x 1,1 = $ 121.
Ou seja, o original $ 100 multiplicado por 1,1 duas vezes:
$121 = $ 100 x 1,1 x 1,1 = $ 100 x(1,1)2
.
Em 5 anos, por exemplo, o saldo será de

2. $ 100 x (1,1)5
= $ 161,05.
Agora suponha que seu amigo prometa que, caso você empreste dinheiro
a ele, poderá receber $ 110 no ano que vem. Isso significa que para o
investimento de 10% ao ano, você verá que o valor presente dos $ 110, que
chegará apenas no ano que vem, é simplesmente
$110
1,1
= $ 100
De forma similar, o valor presente de $ 121 (visto acima) remetido ao final de 2
anos é também calculado como
$121
1,1!
= $100
Ou seja, seu amigo está, de fato, pagando 10% ao ano.
De forma geral, falaremos sobre o valor presente (VP) de uma
quantia x que será recebida ao final de n períodos.
Ou, inversamente, X é o valor que VP terá no futuro, após n períodos
com a taxa de juros.
Para saber o VP, é claro que precisamos conhecer a taxa de juros.
Seja portanto r a taxa por período de tempo, na forma decimal, i.e., se a
taxa é 10%, r = 0,10. A fórmula para calcular o VP é:
€
VP(x,n,r) =
x
1+ r( )
n (1)

3. sendo X o valor presente, r a taxa de juros e n o número de períodos.
O denominador é portanto SEMPRE um numero > 1. Assim, dividindo x (o valor
futuro!) por (1+r)
n
iremos obter, SEMPRE, um VP < x (o que faz todo
sentido, já que um está no future outro está no presente!). Por essa razão,
frequentemente dizemos que “descontamos”, ou “trazemos” x para o valor
presente.
Para fins correção de cálculo, manter a taxa de juros consistente com o
período de tempo é fundamental.
Por exemplo, um investimento pode pagar 10% “composto mensalmente”.
Então, 1 ano é de fato 12 períodos e portanto n = 12. A taxa de juros é 10% / 12
ou 0,8333% (0,01 / 12 = 0,00833). Assim, o valor de $ 100 depositado na conta
e deixado por 1 ano no investimento seria $ 100 x (1,008333)
12
, i.e., $ 100 x (1
+ 0,008333) = $110,47. Observe que a taxa composta ajuda o valor no final
porque o juro em si ganha juro de cada período anterior.
Podemos falar agora sobre o valor presente (VP) de um fluxo de caixa.
Suponha que seu amigo ofereça novamente um negocio. Para $ 425,00 pago a
ele agora, ele diz que você terá $ 110,10 no primeiro ano, $ 121,00 no
segundo, $ 133,10 no terceiro e $ 140,41 no quarto. É um grande negocio,
segundo ele, porque o total de pagamentos soma $ 510,51 ($ 110,1 + $ 121,00
+ $ 133,1 + $ 140,41).
Entretanto, você se pergunta: qual será o valor presente deste fluxo de
pagamentos? Vamos comparar com a poupança, supondo que ela forneça 10%,
composto anualmente. Teremos então que calcular o valor presente (do valor
futuro que seu amigo lhe devolverá) do fluxo de caixa como a soma dos valores
presentes de cada fluxo de caixa individual
∗
:
€
VP =
110,1
1,1
+
121
1,1( )
2 +
133,1
1,1( )
3 +
146,41
1,1( )
4 (2)
∗
Lembre
que
para
saber
o
VP
precisamos
conhecer
uma
taxa
de
juros;
neste
caso
estamos
usando
os
10%
da
poupança.

4. ou seja
VP = 100 + 100 + 100 + 100 = $ 400
Vê-se portanto que o negocio não é tão bom, já que você teria que
emprestar $ 425 para o seu amigo para uma corrente de fluxo de caixa, a juros
de poupança, que tem um valor presente de apenas $ 400 !
O valor presente liquido (VPL) do fluxo de caixa é o valor presente do
fluxo de caixa ($ 400) menos o custo do negocio ($ 425), ou - $ 25; logo, neste
caso, fica evidente que é melhor investir os seus $ 425 em poupança, com taxa
de 10% por período.
A fórmula para calcular o VPL para uma corrente de fluxo de caixa, xo,
..., xn, por n períodos a uma taxa de juros de r é
€
VPL =
x0
1+ r( )
0 +
x1
1+ r( )
1 + ...+
xn
1+ r( )
n (3)
VPL =
xi
1+ r( )
i
i= 0
n
∑ (4)
Em geral, podemos ter tanto fluxos de caixa negativos (números
negativos) e fluxos de caixa positivos. No exemplo, podemos incluir o fluxo de
caixa de $ 425 como um número negativo no cálculo do VPL (já que se trata do
custo do negócio!):

5. VPL =
−425
1,1( )0 +
110
1,1( )1 +
121
1,1( )2 +
133,1
1,1( )3 +
146,41
1,1( )4
= −$425 + $400 = −$25 (5)
O VPL negativo significa o que já vimos: não é bom negócio emprestar os $425
ao seu amigo!
Pode haver um grande fluxo positivo e em seguida vários negativos (um
empréstimo, por ex.), ou pode haver um grande fluxo negativo (compra de uma
máquina) e algum positivo (faturamento), outro negativo (custos de
manutenção), etc.,
Quando o VPL é calculado, ele revela o valor da corrente do fluxo de
caixa. Um VPL < 0 para um projeto indica que o dinheiro seria melhor
empregado em outro investimento à taxa de juros r (mesmo valor usado no
cálculo, evidentemente).
Podemos perceber como o cálculo do valor presente estabelece barganhas
entre $ em um ponto no tempo e $ em outro. Isto é, é indiferente receber $ 1
agora ou $1(1+r) ao final do próximo período de tempo. Mais genericamente,
$1 agora vale exatamente $1(1+r)
n
ao final de n períodos de tempo. O cálculo
do VPL trabalha usando essas taxas de barganha para descontar (“trazê-los”)
todos os fluxos de caixa para o presente.
Conhecer a taxa de juros é, portanto, fundamental ao usar a análise de
valor presente. Qual é a taxa adequada? Em geral, é a taxa que você obteria por
investir seu $ na próxima melhor oportunidade. Para comparação, podemos usar
a taxa de juros da poupança, de um certificado de depósito, de aplicação de curto
prazo, etc.
Para uma empresa, a taxa de juros adequada pode ser aquela que esta
empresa teria que pagar a fim de levantar $ para emitir certificados. A taxa de
juros é, frequentemente, chamada de “handle rate”, indicando que um
investimento aceitável deve ganhar mais do que essa taxa.

6. Exemplos
1) Um amigo pede um empréstimo de $ 1000 e oferece pagá-lo de volta a
uma taxa de $ 90 / mês durante 12 anos.
a) usando uma taxa de juros anual de 10%, encontre o valor presente
liquido (para você) do empréstimo para seu amigo. Repita, usando uma
taxa de juros de 20%. (Sol.: $23,71; $-18,44)
b) descubra a taxa de juros que fornece um VPL igual a 0 (zero). A taxa de
juros para a qual VPL = 0 é conhecida como TAXA INTERNA DE
RETORNO (Sol.: 14,5%)
2) Calcule o valor presente líquido de um investimento que custa $ 2500
hoje e irá retornar $ 1500 ao final deste ano e $ 1700 ao final do próximo
ano. Use uma taxa de juros de 13% (Sol.: $ 158,78).
3) Encontre o VPL de um projeto cujo fluxo de caixa é -$ 12000 no ano 1, +
$ 5000 nos anos 2 e 3, -$ 2000 no ano 4 e + $ 6000 nos anos 5 e 6. Use
uma taxa de juros de 12 %. Ache a taxa de juros que dá a VPL = 0 (Sol.:
$ 2003,90; 19,2%).
Texto adaptado e baseado no livro “Making hard decisions – with Decision Tools”,
de Robert T. Clemen, Terence Reilly e Thomas Learning. Editora Duxburg, 2a
.
edição, 2001.