4.medidas

Medidas
Medidas de tendência
central
São medidas de posição que tendem a se agrupar
em torno dos valores centrais de uma distribuição,
tendo a capacidade de representá-la como um
todo.
As mais utilizadas são:
Média Aritmética
Mediana
Moda

Medidas
Moda (Mo)
Mo é o valor que ocorre com mais frequência na
distribuição, isto é, o valor que mais se repete.
Quando há dois valores que se repetem na mesma
quantidade, chamamos a série de BIMODAL.
Analogamente, para a TRIMODAL e MULTIMODAL.
Se todos os valores se repetirem na mesma quantidade
então a série é AMODAL, isto é, não existe moda.

Medidas
Moda (Mo)
2 5 5 5 6 7 9 9 9 10 10
Mo1 = 5 e Mo2 = 9 → Série Bimodal
4 4 4 5 6 7 7 7 8 9 9 9
Mo1= 4, Mo2= 7 e Mo3= 9 → Série Trimodal
1 2 5 6 9 10 12 13
Não existe moda→ Série Amodal
Mo1 = 60
Mo2 = 70
Série Bimodal

Medidas
Moda (Mo)
No caso da tabela em classes, sabemos
que a moda está entre o limite inferior e
superior de uma classe, mas não há como
saber o seu valor exato.
É possível encontrar sua aproximação por
meio de vários procedimentos.
Moda
BrutaSerá o ponto médio da classe de maior frequência.
𝐌𝐨 𝐁 =
𝟑𝟎 + 𝟒𝟎
𝟐
= 𝟑𝟓
A MAIORIA dos
alunos tiraram 35
pontos.

Medidas
Média (X ou µ)
A média de uma distribuição pode ser amostral (X) ou populacional (µ).
Em ambos os casos, pode ser:
Média aritmética
(Mais simples de calcular e mais usada)
Média Ponderada
(Quando são atribuídos pesos a cada valor)
Média Geométrica
(Uso mais comum em progressões e variações percentuais em sequência)
Média Harmônica
(Uso mais comum em velocidade, tempo, resistores de circuitos elétricos e
outras grandezas inversamente proporcionais)

Medidas
Média (X ou µ)
Média
aritméticaSe os dados estiverem em
ROL, basta somar todos e
dividir pelo o total da
amostra.
Se os dados estiverem agrupados,
o somatório será do produto de
cada variável pela sua respectiva
frequência. Trata-se de uma
média aritmética ponderada.

Medidas
Média (X ou µ)
Média
aritmética
𝐗 =
𝟐𝟎 + 𝟑𝟎 + … + 𝟕𝟎 + 𝟒𝟓
𝟒𝟐
=
𝟐𝟒𝟎𝟐
𝟒𝟐
= 𝟓𝟕
A MÉDIA da turma 2.302.V foi
de 57 pontos.

Medidas
Média (X ou µ)
Média
aritmética
𝐗 =
𝟎 ∙ 𝟐 + 𝟏𝟎 ∙ 𝟏 + ⋯ + 𝟗𝟓 ∙ 𝟐 + (𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟒)
𝟒𝟐
𝐗 =
𝟐𝟒𝟎𝟐
𝟒𝟐
= 𝟓𝟕

Medidas
Média (X ou µ)
Média
aritmética
𝐗 =
𝟕, 𝟓 ∙ 𝟑 + 𝟐𝟐, 𝟓 ∙ 𝟑 + ⋯ + 𝟖𝟐, 𝟓 ∙ 𝟑 + 𝟗𝟕, 𝟓 ∙ 𝟔
𝟒𝟐
𝐗 =
𝟐𝟑𝟕𝟑, 𝟖
𝟒𝟐
= 𝟓𝟔, 𝟓
Nos dados em classe, usa-
se o ponto médio de cada
classe como variável.

Profª Juliana Schivani Medidas
Média (X ou µ)
Média
geométricaÉ a raiz n-ésima do produto de todos os elementos de uma série.
No caso dos dados agrupados:

Média (X ou µ)
Média
harmônicaÉ o inverso da média aritmética dos inversos.

Média (X ou µ)
Se somarmos ou subtrairmos uma constante de todos os valores
de uma série, a média fica aumentada ou diminuída dessa
constante.
𝐲𝐢 = 𝐱𝐢 ± 𝐜 ⟹ 𝐘 = 𝐗 ± 𝐜
Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma séria
por uma constante, a média fica multiplicada ou dividida por
essa constante.
𝐲𝐢 = 𝐱𝐢 ∙ 𝐜 ⟹ 𝐘 = 𝐗 ∙ 𝐜 ou 𝐲𝐢 =
𝐱 𝐢
𝐜
⟹ 𝐘 =
𝐗
𝐜

Mediana (Me)

Mediana (Me)
Me é o valor central da distribuição que a divide em
duas partes iguais.

Mediana (Me)
Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor
mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total
da amostra (n).
Se “n” for
par:
𝑴𝒆 =
𝑿 𝒏
𝟐
+ 𝑿 𝒏
𝟐+𝟏
𝟐
Como n=50, ou seja, um
número par, a mediana
será a média aritmética dos
dois valores centrais. Estes
valores estão na 25ª e 26ª
posição.

Mediana (Me)
da amostra (n).
Se “n” for
par:
𝑴𝒆 =
𝑿 𝒏
𝟐
+ 𝑿 𝒏
𝟐+𝟏
𝟐
Para saber que variável está
na posição 25ª e 26ª,
precisamos da frequência
acumulada “abaixo de”.

Mediana (Me)
da amostra (n).
Se “n” for
par:
𝑴𝒆 =
𝑿 𝟓𝟎
𝟐
+ 𝑿 𝟓𝟎
𝟐 +𝟏
𝟐
=
𝑿 𝟐𝟓 + 𝑿 𝟐𝟔
𝟐
=
𝟏 + 𝟐
𝟐
= 1,5 sessão

Mediana (Me)
da amostra (n).
Se “n” for
ímpar:𝑴𝒆 = 𝑿 𝒏+𝟏
𝟐
Como n=59, ou seja, um
número ímpar, a mediana será
a variável que estiver na
posição 59+1/2, ou seja, 30ª
posição.
= 𝑿 𝟓𝟗+𝟏
𝟐
= 𝑿 𝟔𝟎
𝟐
= 𝑿 𝟑𝟎 = 𝟐 𝒔𝒆𝒔𝒔õ𝒆𝒔

Mediana (Me)
Na tabela de frequência em classes, utiliza-se uma fórmula
originada da regra de três simples, para determinar a Me
aproximada.
𝑴𝒆 − 𝒍𝒊
𝒍 𝒔 − 𝒍𝒊
=
𝑷 𝑴𝒆 − 𝑭 ↓ 𝒂𝒏𝒕
𝑭 ↓ −𝑭 ↓ 𝒂𝒏𝒕
𝒄
=
𝒇
𝑴𝒆 = 𝒍𝒊 +
𝒇
∙ 𝒄

Mediana (Me)
n=49, então a Me está na
24,5ª posição, ou seja, na
2ª classe.
𝑴𝒆 = 𝟗 +
𝟐𝟒, 𝟓 − 𝟐𝟎
𝟏𝟎
∙ 𝟕
𝑴𝒆 = 𝒍𝒊 𝑴𝒆 +
𝒇 𝑴𝒆
∙ 𝒄
= 12,15

Mediana (Me)
𝑴𝒆 − 𝟗
𝟏𝟔 − 𝟗
=
𝟐𝟒, 𝟓 − 𝟐𝟎
𝟑𝟎 − 𝟐𝟎
𝑴𝒆 − 𝟗
𝟕
=
𝟒, 𝟓
𝟏𝟎
𝑀𝑒 =
31,5
10
+ 9 = 12,15
𝒍 𝒔 − 𝒍𝒊
=
𝑭 ↓ −𝑭 ↓ 𝒂𝒏𝒕

Simetria da distribuição

X = Me = Mo
50% 50%
Uma distribuição é simétrica quando 𝑿 = Me = Mo.
Isso significa que há uma maior concentração nos
valores centrais.

Uma distribuição é assimétrica negativa ou assimétrica à
esquerda quando 𝑿< Me < Mo. Isso significa que há uma
maior concentração nos valores maiores.
Me
50%50%
X Mo

Uma distribuição é assimétrica positiva ou assimétrica à
direita quando 𝑿> Me > Mo. Isso significa que há uma
maior concentração nos valores menores.
Me
50%50%
Mo X

Medidas de dispersão

São medidas que se distanciam (dispersam) da média,
dizendo se a distribuição é mais homogênea ou mais
heterogênea.
Ex.: “Se uma pessoa comeu dois frangos e a outra não comeu
nenhum, qual a média de frango comido, por pessoa?”
A média seria de um frango por pessoa. Mas como fica a pessoa
que não comeu nenhum frango?
As mais utilizadas são a Variância e o Desvio padrão

Em uma escola há três turmas (A, B e C) em que a média
das idades em cada turma é igual a 16 anos.
TURMA A
IDADE ALUNOS
15 3
16 15
17 3
∑ 21
TURMA B
IDADE ALUNOS
14 3
15 7
16 1
17 7
18 3
∑ 21
TURMA C
IDADE ALUNOS
14 7
15 6
16 1
17 2
18 1
19 0
20 4
∑ 21
Na turma B e C só há 1 aluno com 16 anos,
embora esta seja a média de idade na escola.

Qual das turmas é mais homogênea?
TURMA A
IDADE ALUNOS
15 3
16 15
17 3
∑ 21
TURMA B
IDADE ALUNOS
14 3
15 7
16 1
17 7
18 3
∑ 21
TURMA C
IDADE ALUNOS
14 7
15 6
16 1
17 2
18 1
19 0
20 4
∑ 21

≈ 0,28 anos²
DP = 0,28 ≈ 0,53 anos

≈ 1,81 anos²
DP = 1,81 ≈ 1,34 anos

≈ 4,95 anos²
DP = 4,95
DP ≈ 2,22 anos
TURMA C
IDADE ALUNOS (DESVIO) (DESVIO)²
14 7 14 – 16 = -2 (-2)² = 4
15 6 15 – 16 = -1 (-1)² = 1
16 1 16 – 16 = 0 0² = 0
17 2 17 – 16 = 1 1² = 1
18 1 18 – 16 = 2 2² = 4
19 0 19 – 16 = 3 3² = 9
20 4 20 – 16 = 4 4² = 16
∑ 21 - -

TURMA V 𝐃𝐏
A 0,28 0,53
B 1,81 1,35
C 4,95 2,22
Isso nos diz que, a turma que mais se aproxima da média de
16 anos é a A, pois apresenta menor desvio.
Já a turma C, com maior desvio, é a que mais se distancia da
média e, portanto, tem maior variabilidade, isto é, trata-se
de uma turma mais heterogênea.

Variância
É o somatório de cada quadrado da diferença da
variável pela média, dividido pelo total da amostra.
𝑉 = 𝑠² = 𝞼² =
(𝑋 − 𝑋) ² ∙ 𝑓
𝑛
Quanto maior a variância, mais heterogênea é a
distribuição, isto é, os dados estão espalhados por
uma gama de valores. Mas se a variância for baixa,
então os dados estão próximos à média.

Desvio padrão
É a raiz quadrada da variância. Isso tira o quadrado
da unidade estudada, deixando a medida mais
direta com a realidade.
𝐷𝑃 = 𝑠 = 𝞼 = 𝑉
Da mesma forma que a variância, quanto menor o
desvio, mais homogênea é a distribuição, isto é, os
dados estão próximos à média.

Na preparação para os jogos Olímpicos de Atenas, três atletas do
salto em altura ao realizarem um treinamento diário, consideraram
seus quatro melhores saltos em centímetros. Veja:
Dentre os atletas, a melhor média foi a do Atleta Z, veja:
Atleta X = (144 + 171 + 150 + 138) / 4 = 150,75
Atleta Y = (146 + 170 + 152 + 137) / 4 = 151,25
Atleta Z = (145 + 169 + 154 + 140) / 4 = 152
Atleta W = (150 + 167 + 149 + 141) / 4 = 151,75

ATLETA 𝒔
X 12,44 cm
Y 12,07 cm
Z 11,02 cm
W 9,47 cm
O atleta que obteve o menor Desvio Padrão deve ser
considerado o de melhor regularidade em resultados.
Dessa forma, temos que o atleta W se enquadra nessa condição
de melhor regularidade.

Separatrizes

Separatrizes
São medidas que dividem (separam) a distribuição
em partes iguais.
Podem ser
Quartis
(Divide a distribuição em 4 partes iguais)
Percentis
(Divide a distribuição em 100 partes iguais)

Quartis
Existem três quartis:
Primeiro quartil (Q1) – valor em que 25% dos dados da distribuição são menores
que ele e 75% são maiores.
Segundo quartil (Q2) – valor igual o da Mediana, já que está no meio da
distribuição.
Terceiro quartil (Q3) – valor na distribuição situado de tal modo que 75% dos
demais valores são menores que ele e 25% são maiores.
25% 25% 25% 25%

Quartis
Para encontrar um quartil no ROL é como encontrar três
Medianas.
Exemplo:
Calcule os quartis da série: {5,11,2, 6, 9,10,13,15}
ROL: {2, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 15}
n = 8, logo, Me =
𝑋4ª+ 𝑋5ª
2
=
9+10
2
= 9,5 = 𝑄2
Q1 =
𝑋2ª+ 𝑋3ª
2
=
5+6
2
= 5,5 Q3 =
𝑋2ª+ 𝑋3ª
2
=
11+13
2
= 12

Quartis
Para encontrar um quartil no ROL é como encontrar três
Medianas.
Exemplo:
Calcule os quartis da série: {5,11,2, 6, 9,10,13,15}
ROL: {2, 5, 6, 9, 10, 11, 13, 15}
25% dos dados estão abaixo de 5,5 ou 75% dos
dados estão acima de 5,5
50% dos dados estão abaixo de 9,5 ou 50% dos
dados estão acima de 9,5
75% dos dados estão abaixo de 12 ou 25% dos dados
estão acima de 12

Percentis
Existem 99 percentis, cada um, divide a distribuição em
duas partes.

Separatrizes
O cálculo de qualquer separatriz em dados agrupados em
classes é o mesmo da Mediana.
Através da regra de três, resulta na fórmula:
𝑺
= 𝒍𝒊 𝑺 +
𝑷 𝑺 − 𝑭 ↓ 𝒂𝒏𝒕
𝒇 𝑺
∙ 𝒄
𝑃𝑄 𝑥
=
𝑥 ∙ 𝑛
4
onde x = 1, 2 ou 3
𝑃𝑃 𝑥
=
𝑥 ∙ 𝑛
100
onde x = 1, ..., 99

Referência
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 8.ed. ref. atual. São Paulo.
Saraiva. 1991.
IEZZI, Gelson... [et al.]. Matemática: Ciência e Aplicações, 3. São
Paulo: Saraiva, 2010.
STOCCO, Kátia; DINIZ, Maria. Matemática 3. São Paulo: Saraiva,
2010.
SILVA, Marcos. Mundo Educação – Matemática – Variância e
Desvio Padrão. Disponível em:
http://www.mundoeducacao.com/matematica/variancia-desvio-
padrao.htm Acesso em: ago. de 2013.

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