Materi Permukaan Berderajat Dua Untuk Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang

1. Geometri AnalitikRuang
PERMUKAANBERDERAJAT DUA
Dosen : Aziz Muslim, M.Pd.
Oleh : Rizka Nurhalida

2. Berikut ini akan diselidiki suatu permukaan yang terjadi dari suatu
ellips yang letak dan besarnya berubah menurut aturan tertentu.
1). Pada bidang XOY terletak ellips dengan persamaan:
Pada bidang YOZ terletak ellips dengan persamaan :
10 2
2
2
2

b
y
a
x
z
10 2
2
2
2

c
z
b
y
x

3. Kedua ellips diatas mempunyai puncak puncak yang sama pada
sumbu y. Selanjutnya ellips yang terletak pada bidang XOY digerakkan
dengan aturan sebagai berikut:
a)Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY
b)Titik pusatnya tetap pada sumbu z
c)Dua dari puncaknya selalu terletak pada ellips yang terletak pada bidang
YOZ, dan
d)Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan

4. Berarti ellips pada bidang YOZ
merupakan garis arah dari ellips yang
bergerak. Adapun persamaan permukaan
yang terjadi dapat dicari sebagai berikut.
Misalkan ellips:
z = 0
12
2
2
2

b
y
a
x

5. Digerakkan sehingga terletak pada bidang z = λ dan setengah
sumbu- sumbunya adalah x0 dan y0 berturut turut sumbu yang sejajar sumbu
x dan sumbu y. Karena memenuhi aturan a, b, dan c,maka titik (0, y0, λ)
terletak pada ellips
sehingga memenuhi atau
10 2
2
2
2

c
z
b
y
x
12
2
2
2

c
z
b
y






 2
2
22
0 1
c
by


6. Karena aturan a, b, dan c maka dipenuhi atau
Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z = λ tersebut adalah:
b
a
y
x

0
0












 2
2
2
2
2
2
2
2
2
02
2
2
0 11
c
a
c
b
b
a
y
b
a
x

1
11
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
0
2


















c
b
y
c
a
x
z
atau
y
y
x
x
z




7. Dengan mengeliminasi λ dan persamaan ellip sini,
diperoleh persamaan :
Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida
dengan titik pusat O dan sumbu-sumbunya berimpit dengan
sumbu-sumbu koordinat. Jika dua diantara a, b, dan c
adalah sama, maka ellipsoida tersebut merupakan suatu
ellipsoida putaran. Jika a = b = c,maka ellipsoida tersebut
merupakan bola
12
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x

8. Pandang persamaan ellipsoida
Titik pusat ellipsoida ini adalah (0, 0, 0)
12
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x

9. Sumbu-sumbu simetrinya adalah sumbu x,
sumbu y,dan sumbu z yang masing-masing
panjangnya 2a, 2b, dan 2c. Titik-titik puncaknya ada
enam yaitu (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, b, 0), (0, -b, 0), (0,
0, c) dan (0, 0, -c)

10. Thank's For
Attention