Dokumen tersebut membahas tentang rotasi dan transformasi rotasi. Rotasi adalah perputaran benda pada suatu sumbu yang tetap, misalnya perputaran gasing dan bumi. Ada tiga hal yang perlu diperhatikan dalam rotasi yaitu pusat titik putar, besar sudut putaran, dan arah putaran. Dokumen tersebut juga menjelaskan rumus transformasi rotasi dengan memberikan contoh-contoh soal dan penyelesaiannya.

1. ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI
ROTASI

2. Rotasi adalah perputaran
benda pada
suatu sumbu yang
tetap, misalnya
perputaran gasing dan
perputaran bumi pada
poros/sumbunya
12
9
3
6
Ada 3 hal yang perlu
diperhatikan dalam rotasi yaitu :
1. Pusat titik putar
2. Besar sudut putaran
3. Arah putaran.
2

3. y
3
2
1
A
-4
-3
Q
-2Q
C
C
B
-1
0
-1
-2
-3
1
2
D
D
3
4-
x

4. y
3
2
1
A
-4
-3
Q
-2
C
B
-1
0
-1
-2
-3
1
2
D
3
4-
x

6. Transformasi Rotasi
dengan titik pusat di O(0,0)
Di dalam segitiga OAP diperoleh :
OA=OP cos β → x=r cos β dan
AP=OP sin β → y=r sin β
Di dalam segitiga OBP’ diperoleh :
OB=OP’ cos (β+ θ )
X’=r cos β cos θ - r sin β sin θ
X’=x cos θ - y sin θ
BP’ = OP’ sin (β+ θ )
Y’=r sin (β+ θ )
Y’=r sin β cos θ + r cos β sin θ
Y’=y cos θ + x sin θ
Perhatikan gambar
berikut !
Y
P’(x’, y’)
C
r
P(x, y)
D
r
β

0
B
A
x

7. Dari keterangan diatas dapat disimpulkan bahwa:
Misalkan titik P(x,y) diputar sejauh θ dengan titik pusat
rotasi di O(0,0) sehingga diperoleh bayangan titik
P’(x’,y’). Dengan hubungan sbb:
X’ = x cos θ - y sin θ
Y’ = x sin θ + y cos θ
Jadi dapat dituliskan sbb:
O , 
P(x,y)
P’(x’,y’) dimana :
 

X’=x cos θ -ysin θ
Y’=x sin θ + y cos θ
Secara matriks dapat dituliskan sbb :
 x '   cos 
   
 y '  sin 
 sin    x 
 
cos    y 

8. y
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4-
x
-1
-2
-3
 x '


 y '

 0

 1
1 2
 

0 3
 x '


 y '

1
 0 x 2    x 3  

  1 x 2    0 x 3 


 x '


 y '

0  3




 2  0
 x '


 y '

3




 2


9. y
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
1
2
3
4-
x

10. 2. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di
M(h,k)
Y
P’(x’, y’)

Jika titik P(x,y) kita pandang
terhadap titik pusat M(h,k) maka
posisi titik P terhadap titik M dapat
dituliskan P(x-h, y-k).dan posisi
bayangannya P’(x’-h, y’-k) Sehingga
dengan demikia dapat dituliskan
bayang titik P tersebut didalam
koordinat kartesiusnya sbb:
P(x,y)
 M ( h , k ),  P’(x’,y’)
dimana   
:
X’-h =(x-h) cos θ – (y-k) sin θ
P(x, y) Y’-k =(x-h) sin θ + (y-k) cos θ
Secara matriks dapat dituliskan sbb :
M(h,k)
X
0
 x '   cos 
  
 y '  sin 
 sin    x  h   h 
 
 
cos    y  k   k 

11. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik
pusat di M(h,k) dan θ=(+90o).
• Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
M(h,k) dan sudut θ= (+90o) maka diperoleh
bayangan sbb :
 x '   cos 90 
  
 y '  sin 90 
 x '  0
 
 y '  1
 sin 90    x  h   h 

 
cos 90    y  k   k 
 1  x  h 


0  y  k 
h 
 
k 
 x '   0 . x  h     1  y  k 
 

 y '  1 . x  h   0  y  k  
h  k  h  y 
 

k x  k  h


12. y
3
2
1
-4
-3
-2
-1
 x '
0
 


 y '
1
 1  3  1 
1 
  


0  3  0 
0 
 x '
0
 


 y '
1
 1  2 
1 
  
 
0  3
0 
 x '
  0 x 2      1  x 3 
1 
 
  



 y '
 1 x 2    0 x 3   
0 
 x '
 0  (  3) 
1 
 
  



 y '
 2  0 
0 
 x '
 (  3) 
1 
 2
 
    




 y '
 2 
0 
 2 
0
-1
-2
-3
1
2
3
4-
x

13. y
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4-
x
-1
-2
-3
 x '


 y '

 0

 1
1 2
 

0 3
 x '


 y '

1
 0 x 2    x 3  

  1 x 2    0 x 3 


 x '


 y '

0  3




 2  0
 x '


 y '

3




 2


14. Tugas
1. Tentukanlah bayangan dari titik A( 5, 10) yang diputar
sebesar 90 derajat berlawanan arah dengan arah jarum jam
dengan titik pusat putaran di O(0, 0)
2. Tentukanlah bayangan dari garis y = 4x – 5 yang diputar
sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam
dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?
3. Tentukanlah bayangan dari garis x2 + y2 – 2x + 4y = 25 yang
diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum
jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?

15. Tugas
1. Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 270 derejat dengan titik
pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
2. Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (-180) derejat dengan titik
pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
3. Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (-90) derejat dengan titik
pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
4. Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang diputar
sebesar (-270) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ?
5. Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang diputar
sebesar (180) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ?

16. Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 3x-4y=12 oleh rotasi berpusat di M(-1, 2) dengan susut
rotasi 90o ?
• Jawab :
 x '  k  h  y 
 x   y ' h  k 
 
 atau    

y '  x  k  h 
y   k  h  x '


Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = k+h-x’, h=-1,dan k=2 ke
persamaan 3x – 4y = -12 diperoleh sbb:
3(y’+h-k) – 4(k+h-x’) = -12
3(y’+(-1)-(2)) – 4(2+(-1)-x’)= -12 atau 3(y’-3) – 4(1-x’) = -12
3y’ - 9 – 4 + 4x’ = -12 atau 4x’ + 3y’ = -12 + 13
4x’ + 3y’ = 1
Jadi persamaan bayangan kurva 3x – 4y = -12 oleh rotasi berpusat di
M(-1,2) dengan sudut rotasi 90o adalah
4x + 3y= 1

17. 2.B. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik
pusat di M(h,k) dan θ= (-90o)
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k)
dan sudut rotasi sebesar θ= (-90o) maka diperoleh
bayangan secara matriks sbb :
 x '   cos   90  
  
 y '  sin   90  
 x '  0
  
 y '   1
 sin   90    x  h   h 

 
cos   90     y  k   k 
1   x  h   h   0 .( x  h )  1( y  k )   h 

  
 
0   y  k   k   (  1).( x  h )  0 ( y  k   k 
 x '  y  k  h 
 x   h  k  y '
  
 atau    

y '  h  k  x 
y   x ' k  h 



18. Contoh 2.2.a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang
diputar sebesaar (-90o) dengan titik pusat M(1,2)?
• Jawab :
Y
7
6
5
4
3
M(1,2)
2
1
P(3, 5)
P’(4, 0)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
X

19. Secara matematis dapat ditentukan sbb :
• Jawab :
 x '
 0
 


 y '
 1
1 3  1
1 
 



0  5  2 
2
 x '
 0
 


y '

 1
1 2
1 
 



0 3
2

 x '
  0 x 2    1  x 3  
1 
 
 



  1 x 2    0 x 3 
y '
2




 x '
 0  3 
1 
 
 




y '
 2  0
2



 x '
 3 
1 
4
 
 
 





 y '
 2
2
0 
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-90o) dengan
titik pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)

20. Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -90o
?
• Jawab :
 x   h  k  y '
   

y   x ' k  h 

Dengan mensubstitusikan x = h+k-y’, y = x’+k-h’, h=2,dan k=3 ke
persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:
2(h+k-y’) – (x’+k-h) = 12 atau 2(2+3-y’) – (x’+3-2)= 12
2(5-y’) – (x’+1)= 12 atau 10-2y’-x’-1 = 12
-x’ - 2y’ = 12 – 9 atau x’ + 2y’ = -3
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di
M(2, 3) dengan sudut rotasi -90o adalah
x + 2y= -3

21. 2.C. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik
pusat di M(h,k) dan θ= (180o) .
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k)
dan sudut rotasi sebesar θ= (180o) maka diperoleh
bayangan secara matriks sbb :
 x '   cos 180  
  
 y '  sin 180  
 x '
 1
   
 y '
 0
 sin 180    x  h   h 

 
cos 180     y  k   k 
0   x  h  h

 
 1  y  k   k 
 X '
 (  1)( x  h )  0 .( y  k )   h 
 2h  x 

  
   

Y '
0 .( x  h )  (  1).( y  k )   k 
2k  y 




22. Contoh 2.3.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang
diputar sebesaar 180o dengan titik pusat M(2,1)?
• Jawab :
Y
7
6
P’(-1, 5)
5
4
3
2
1
M(2,1)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
P(5, -3)
X

23. Secara matematis dapat ditentukan sbb :
• Jawab :
 x '
 1

  
 y '
 0
0  5  2 
2

   
 1   3  1
1 
 x '
 1

  
 y '
 0
0  3 
2

   
 1   4 
1 
 x '
    1  x 3    0 x   4  
2

  
   
 y '
  0 x 3      1  x   4  
1 
 x '
 3  0
2

  
   
 y '
 0  4 
1 
 x '
  3
2
  1

  
     

y '
4 
1
5 




Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (180o)
dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(-1, 5)

24. Contoh 2.3.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 180o
?
• Jawab :
 x '  2 h 
 
 y '  2 k 
x
 atau
y
 x   2 h  x '
 

y   2 k  y '

Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3 ke
persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:
2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 12
8 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12
-2x’ + y’ = 10
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi
berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah
2x - y= -10

25. 2.D. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di
M(h,k) dan θ= (-180o) .
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-180o) maka
diperoleh bayangan secara matriks sbb :
 x '   cos   180  
  
 y '  sin   180  
 x '   1
 
 y '  0
 sin   180    x  h   h 

 
cos   180     y  k   k 
0   x  h  h 

 
 1  y  k   k 
 x '   (  1).( x  h )  0 .( y  k )   h   2 h 
 
  
 y '  0 .( x  h )  (  1).( y  k )   k   2 k 
x

y

26. Contoh 2.4. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang
diputar sebesaar (-180o) dengan titik pusat M(1,2)?
Y
• Jawab :
7
6
5
4
3
2
1
P(3, 5)
M(1,2)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P’(-1, -1) -2
-3
-4
-5
-6
X

27. Secara matematis dapat ditentukan sbb :
Jawab :
 x '
 1

  
y '

 0
0 3 1
1 

   
 1  5  2 
2
 x '
 1

  
y '

 0
0  2
1 
    
 1  3 
2
 x '
   1 x 2    0 x 3 
1 
 
  



 y '
  0 x 2     1 x 3 
2
 x '
  2  0 
1 
 
  



 y '
 0    3 
2
 x '
 2
1 
  1
 
    




 y '
 3
2
  1
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-180o) dengan
titik pusat M(1,2) adalah P’(-1, -1)

28. Contoh 2.4.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -180o
?
• Jawab :
 x '  2 h 
 
 y '  2 k 
x
 atau
y
 x   2 h  x '
 

y   2 k  y '

Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3 ke
persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:
2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 12
8 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12
-2x’ + y’ = 10
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di
M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah
2x - y = -10

29. 2.E. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik
pusat di M(h,k) dan θ= (270o)
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k)
dan sudut rotasi sebesar θ= (270o) maka diperoleh
bayangan secara matriks sbb :
 x '   cos  270  
  
 y '  sin  270  
 x '  0
  
 y '   1
 sin  270    x  h   h 

 
cos  270     y  k   k 
1  x  h  h 

 
0  y  k  k 
 x '   0 .( x  h )  1 .( y  k )   h   y  h  k 
  
   

y '  (  1).( x  h )  0 .( y  k )   k   h  k  x 


30. Contoh 2.5. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang
diputar sebesar (270o) dengan titik pusat M(1,2)?
• Jawab :
Y
7
6
5
4
3
2
1
P(3, 5)
M(1,2)
P’(4, 0)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
X

31. Secara matematis dapat ditentukan sbb :
• Jawab :
 x '


 y '

 0

 1
1  3  1 
1 
 
 


0  5  2 
2
 x '


 y '

 0

 1
1 2
1 
 
 


0 3
2
 x '


 y '

1
 0 x 2     x 3  
1 
 



   1 x 2    0 x 3 
2
 x '


 y '

0  3


1 
 



 2  0
2
 x '


 y '

3


1 
 



 2
2

4


0 
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (270o) dengan titik
pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)

32. Contoh 2.5.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 270o
?
• Jawab :
 x '  y  h  k 
 
 atau
 y '  x  k  h 
 x   h  k  y '
 

 y   k  h  x '
Dengan mensubstitusikan x = h-k-y’, y = k-h-x’, h=2,dan k=3 ke
persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:
2(h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2-3-y’) – (3-2-x’)= 12
-2 – 2y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2y’ = 12
x’ - 2y’ = 15
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di
M(2, 3) dengan sudut rotasi 270o adalah
x - 2y = 15

33. 2.F. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat
di M(h,k) dan θ=(-270o).
• Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
M(h,k) dan sudut θ= (-270o) maka diperoleh bayangan
sbb :
 x '   cos   270  
  
 y '  sin   270  
 x '  0
 
 y '  1
 sin   270    x  h   h 

 
cos   270     y  k   k 
 1  x  h   h 

 
0   y  k  k 
 x '   0 .( x  h )  (  1).( y  k )   h   h  k  y 
 
  

 y '  1 .( x  h )  0 .( y  k )   k   x  k  h 

34. Contoh 2.6. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang
diputar sebesaar -270o dengan titik pusat M(2,1)?
• Jawab :
Y
7
6
5
4
3
2
M(2,1)
1
P’(6, 4)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-3
-4
-5
-6
P(5, -3)
X

35. Secara matematis dapat ditentukan sbb :
• Jawab :
 x '
0
 


 y '
1
 1  5  2 
2
 



0    3  1
1 
 x '
0
 


 y '
1
 1  3 
2
 



0   4
1 
 x '
  0 x 3      1  x   4  
2
 
 



1 x 3    0 x   4   
 y '


1 
 x '
0  4 
2
 
 




 y '
3  0 
1 
 x '
4
2
6 
 
 
 





 y '
3
1 
4
Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (-270o)
dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(6, 4)

36. Contoh 2.6.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -270o
?
• Jawab :
 x '
 
 y '
h  k  y 

 atau
x  k  h
x
 
 y
 y ' h  k 


h  k  x '

Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = h+k-x’, h=2,dan k=3 ke
persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:
2(y’h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2-3-y’) – (3-2-x’)= 12
-2 – 2y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2y’ = 12
x’ - 2y’ = 15
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di
M(2, 3) dengan sudut rotasi -270o adalah
x - 2y = 15

37. Tugas
1. Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 45 derejat dengan titik pusat
M(2,-3). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
2. Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (60) derejat dengan titik pusat
M(4, -6). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
3. Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (135) derejat dengan titik pusat
M(-4, -2). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
4. Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang diputar sebesar (270) derejat dengan titik pusat M(3, 4) ?
5. Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang diputar
sebesar (180) derejat dengan titik pusat M(-3, 2) ?