metodo numerico

1. Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Universidad Fermín Toro
Núcleo Portuguesa
Ing. en Computación
Estudiante
Daniela Alvarado
Cl:23052381
Araure 9 de febrero del 2013

2. INTERPOLACIÓN
Es una función polinomio que además de interpolar los datos, es el de
menor grado posible; muy importante es la interpolación por funciones polinomia
les. Puesto que evidentemente pueden existir una infinidad de funciones
polinomiales de interpolación para una misma tabla de datos, se hace una petición
extra para que el polinomio de interpolación , sea único.
Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la
función se encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los
polos, se dice que estamos haciendo extrapolación. Siempre que se utiliza un
valor aproximado se está cometiendo un error. El estudio del error queda fuera de
los límites del curso al que está dirigida esta unidad didáctica.
LA INTERPOLACIÓN LINEAL
Es un método de conexión usando polinomios lineales de curva. La
contribución de interpolación lineal de interpelantes lineales entre cada par de
puntos de datos para establece datos puntos pueden calcularse mediante la
fórmula general
La interpolación lineal:
2 = ((y2 - y1)(x3 - x1) / (y3 - y1)) + x1
y2 = ((x2 - x1)(y3 - y1) / (x3 - x1)) + y1
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Consiste en efectuar la aproximación a través de un polinomio de segundo
grado. El proceso de interpolación consiste en, tomando tres puntos conocidos
(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), encontrar la ecuación de una parábola
y=a2.x2+a1.x+a0 que pase por ellos. Los coeficientes de este polinomio se
calculan resolviendo el sistema que resulta de sustituir en la expresión anterior las
coordenadas de los puntos conocidos :

3. TABLA DE DIFERENCIAS
Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos
valores de x, el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras
de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un
conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el
Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en
cuestión. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias (ejemplo):
x f(x) D f(x) D 2f(x) D 3f(x) D 4f(x)
0,0 0,000
0,203
0,2 0,203 0,017
0,220 0,024
0,4 0,423 0,041 0,020
0,261 0,044
0,6 0,684 0,085 0,052
0,346 0,096
0,8 1,030 0,181 0,211
0,527 0,307
1,0 1,557 0,488
1,015
1,2 2,572
MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
Sea una variable discreta de elementos y sea otra variable
discreta de elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u
ordenada y abcisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales
que:

4. Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en
determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio
interpolador de grado elevado.
El polinomio de grado resultante tendrá la forma
definiendo como
y definiendo como
Los coeficientes son las llamadas diferencias divididas.
Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas)
más diferencias divididas que coeficientes . El cálculo de todos los términos
intermedios debe realizarse simplemente porque son necesarios para poder
formar todos los términos finales. Sin embargo, los términos usados en la
construcción del polinomio interpolador son todos aquellos que involucren a .
Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se conocen de la función .
queda definido, como:
Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De
Problemas.
Para datos tabulados en forma espaciada o no espaciada, a través de una
serie de técnicas que antes de la llegada de las computadoras tenían gran utilidad
para la interpolación, sin embargo, con fórmulas como las de Newton-Gregory,
Gauss, Lagrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles con computadoras y
debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías;
dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales
ordinarias.

5. INTERPOLACIÓN DE HERMITE
Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada
sub intervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda
determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la
solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la
interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el
caso en muchas en muchas aplicaciones.
POLINOMIO INTERPOLARTE DE LAGRANGE
Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los
n+1 puntos: donde se supone que si xi ¹ xj. Este Polinomio Pn es la fórmula del
Polinomio Interpolarte de Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de
la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio.
Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado,
se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y
se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se
repite el procedimiento.
INTERPOLACIÓN DE SPLINES
Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por
splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los
datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para
formar nuestra interpolación.
Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más
adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente.
Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está
formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen
entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.
FUNCIONES SPLINES CUBICAS
Para hacer más firme el entendimiento, escribimos la definición correspondiente
a este caso (k=3).
Dados los n  1 datos:

6. Una spline cúbica que interpola estos datos, es una función s(x) definida como
sigue :
 s0  x  si x  x0 , x1 
 s  x  si x  x1 , x2 

s x    1
 
sn 1  x  si
 x  xn 1 , xn 
donde cada si x  es un polinomio cúbico; si xi   yi , para toda i  0,1,, n y
tal que sx tiene primera y segunda derivadas continuas en x0 , xn  .
ERRORES DE LA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
Estos términos son diferencias divididas finitas y, así, representan aproximaciones
de las derivadas de orden superior. En consecuencia, como ocurrió con la serie de Taylor, si
la función verdadera es un polinomio de n-ésimo grado, entonces el polinomio de
interpolación de n-ésimo grado basado en n + 1 puntos dará resultados exactos. También,
como en el caso de la serie de Taylor, es posible obtener una formulación para el error de
truncamiento