2. Todos nos preguntaremos cuales son las graficas en el
espacio de una ecuación cartesiana de segundo grado en
tres variables
Donde los coeficientes son constantes reales y
A, B, C, D, E, y F, no son todos cero. Es de esperarse que la
grafica de una ecuación tal tenga alguna relación con las
secciones cónicas
3. Se dice que la grafica de una ecuación cartesiana de segundo grado
en tres variables es una superficie cuadrática. Estudiaremos las
ecuaciones en términos de ejes apropiadamente escogidos y de
constantes positivas a, b, y c. Los ejes se elegirán para que no haya
términos en xy, xz, o yz en las ecuaciones.
ELIPSOIDE:
Las intersecciones con los ejes x, y, z, son respectivamente +-a, +-b, y
+-c. La intersección de esta superficie con cada uno de los planos
coordenados es una elipse o una circunferencia.
Si dos de los números a, b o c son iguales, entonces la superficie es un
esferoide. Si los tres números son iguales entonces la superficie es
una esfera.
4. La superficie tiene secciones transversales en
planos paralelos al plano xy que son elipse, o si
a=b, son circunferencias. Las secciones transversales
en planos paralelos a los otros planos cartesianos
son hipérbolas. Si a=b, se puede pensar que la
superficie es generada por la rotación de una
hipérbola alrededor d la recta que contiene a su eje
conjugado. La expresión ”de una rama” se refiere a
que la superficie es conexa, o que es de un solo
pedazo. Por lo tanto la hiperboloide de una rama es
una superficie doblemente reglada.
5. La sección transversal de esta superficie en un
plano xy es una elipse, o una circunferencia si Z2 > c2
o un punto si Z2 = c2 y es un conjunto vacio si Z2 <c2
Las secciones transversales en planos paralelos a los
otros planos cartesianos son hipérbolas. Si a=b, se
puede pensar que la superficie se genera haciendo
girar a una hipérbola alrededor de su eje principal. Se
dice ”de dos ramas” puesto que la superficie consta
de dos conjuntos conexos pero que no se conectan el
uno con el otro
6. Para esta superficie una sección transversal
en un plano paralelo a, pero encima de, el
plano xy es una elipse, o, si a=b, es una
circunferencia. La sección transversal en el
plano xy es simplemente el origen. Las
secciones transversales en planos paralelos
a otros dos planos cartesianos son
parábolas. Si a=b, se puede pensar que la
superficie se genera haciendo girar a una
parábola alrededor de su eje.
7. Es una superficie en forma de una silla
de montar, puesto que se parece a ese
objeto en que las secciones
transversales que son parábola tienen
orientaciones opuestas; la sección
sobre el plano yz se abre hacia
arriba, y la sección sobre el plano xy
se abre hacia abajo.
8. La traza de esta superficie en el
plano xy es un par de rectas que
pasan por el origen, ero cualquier
otra sección transversal en el plano
paralelo al xy es una hipérbola. Si el
plano esta por encima del plano xy
la sección trasversal es una
hipérbola con eje principal paralelo
al y. Y si esta por debajo su eje
principal es paralelo al eje x.
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10.
11.
12. Hallar la ecuación de la esfera con su centro
en el punto (-2,1-3) y de radio 4.
