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happy b1rthday 2 me 解説
- 1. happy b1rthday 2 me 解説 @rian_tkb 2015/12/12
- 2. 問題概要 • 整数AからBまでつなげた文字列 • (A, B) = (3, 5) のときは “345”, (8, 13) のときは “8910111213” • その文字列に含まれる “12” の個数を求める • 1 <= A <= B <= 10^13 くらい
- 3. 考察 • とりあえず、つなげて書かなかったとすると “12” が何回出てくるかを 求めます • AからBまで、というのは後からどうにでもなるので、とりあえず1から Nまでで考えます
- 4. 考察 • 試しに、1から2121までの数字で “12” の出てくる回数を調べます 2121
- 5. 考察 • 試しに、1から2121までの数字で “12” の出てくる回数を調べます • 上2桁が12となるような数字の個数を考えます 2121 12
- 6. 考察 • 試しに、1から2121までの数字で “12” の出てくる回数を調べます • 上2桁が12となるような数字の個数を考えます • 100個です 2121 12 → 1200 ~ 1299
- 7. 考察 • 試しに、1から2121までの数字で “12” の出てくる回数を調べます • 次に、真ん中2桁が12となるような数字の個数を考えます 2121 12
- 8. 考察 • 試しに、1から2121までの数字で “12” の出てくる回数を調べます • 次に、真ん中2桁が12となるような数字の個数を考えます • 10 + 10 + 2 = 22個です 2121 12 → 120 ~ 129, 1120 ~ 1129, 2120 ~ 2121
- 9. 考察 • 試しに、1から2121までの数字で “12” の出てくる回数を調べます • 最後に、下2桁が12となるような数字の個数を考えます 2121 12
- 10. 考察 • 試しに、1から2121までの数字で “12” の出てくる回数を調べます • 最後に、下2桁が12となるような数字の個数を考えます • 22個です 2121 12 → 12, 112, 212, … , 2012, 2112
- 11. 考察 • 試しに、1から2121までの数字で “12” の出てくる回数を調べます • こうして算出されたものを全て足せば、“つなげなければ” これが答 えとなります • 100 + 22 + 22 = 144
- 12. 一般化 • 他の数字に関しても、i桁目とi+1桁目の数字が11以下, 12, 13以上で 場合分けしていけば、足し合わせていけます • A a b B
- 13. 一般化 • 他の数字に関しても、i桁目とi+1桁目の数字が11以下, 12, 13以上で 場合分けしていけば、足し合わせていけます • A a b B • a * 10 + b < 12 …… A * 10^(Bの桁数) • a * 10 + b == 12 …… A * 10^(Bの桁数) + B + 1 • a * 10 + b > 12 …… (A + 1) * 10^(Bの桁数)
- 15. • これで、つなげなければ何個あるかわかりました • 次につなげた場合どうなるのかを考えます •201, 202 → 201202 … 20“12”02 …… 増えます •1, 2 → 12 …… 増えます
- 16. • これで、つなげなければ何個あるかわかりました • 次につなげた場合どうなるのかを考えます • 下一桁が “1” の数字の次に上一桁が “2” の数字がくると増えます • 1ずつ増える数列なので、右側からつながる数字は上一桁、下一桁 ともに “2” です
- 17. 考察 • 上一桁、下一桁ともに “2” である数字の個数を数えます • 先ほどまでと同じく1から2121までで考えます
- 18. 2121 2 2 → 2002 ~ 2112 2 2 → 202 ~ 292 22 → 22 2 → 2 計24コ
- 19. • 144 + 24 = 168 • これが、実際に (A, B) = (1, 2121) のときの答えです • では、 A > 1 のときはどうしましょう
- 20. • 1からNまでつなげた文字列の “12” の個数を返す関数を count(N) と して、 count(B) – count(A-1) とすればよい？
- 21. • 1からNまでつなげた文字列の “12” の個数を返す関数を count(N) と して、 count(B) – count(A-1) とすればよい？ → 実は一つ落とし穴があります (多分サンプルは落とし穴に気づかなくても通ってしまうはず)
- 22. • 1からNまでつなげた文字列の “12” の個数を返す関数を count(N) と して、 count(B) – count(A-1) とすればよい？ • (A, B) = (22, 23) のとき • count(B) = count(23) = 3 (1,2, … ,12, … ,21,22,23) • count(A-1) = count(21) = 2 (1,2, … ,12, … ,21) • count(B) – count(A-1) = 1, ……だけど実際 “2223” に “12” は含まれない
- 23. • 1からNまでつなげた文字列の “12” の個数を返す関数を count(N) と して、 count(B) – count(A-1) とすればよい？ • A-1 と A をつなげて “12” が作られる場合に、1つ多く出てしまう • つまりAが上一桁、下一桁ともに “2” であるとき-1すればよい • ここまで処理すればACとなります
- 24. 以下、雑談 • 24時間で1問とかいう激ヤバコンテストかつペナルティなしなので、ク ソ実装めんどい問題、見るからにWAを生やしにきているサンプル、 等々でも許されるかな、と思いこのような形になりました • ごめんちゃい • FAはantaさんで13min、早い • パッと見 O((logN)^2) っぽいけど 10^10000 とかにしとけば落とせた のかなぁ • 想定解法がBigIntegerの闇に飲まれるのでご遠慮
- 25. 桁DP • てかみんな桁DPなんですな • まぁパッと見そうなる、って話はある • これ桁DPは、実装つらそうだしやりたくない…… • プロ各位の解説記事、期待してます＞＜
- 26. 結果的コーナーケース • (A, B) = (2, 3), (22, 23) • まぁサンプルにないからね • 俺も最初気づかなくて、(2, 3)を入れてんんん？？？ ってなりました • (A, B) = (1212, 1212) • これはなんでひっかかってんのかわからない…… • (A, B) = (2, 2), (2, 3) • A = 22 とかのときは対策したけど A = 2 のときを忘れてたという感じかなぁ • (2, 1234567890) みたいなケースを作ってなかったので、小さい数のときは StringBuilderでつなげて数え上げる、みたいな解法してたら落とせてないで すね……甘かった