3. Definisi PK
Suatu persamaan yang berbentuk
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Disebut persamaan kuadrat karena pangkat tertinggi
merupakan pangkat kuadrat.
*Dengan a, b, c dan a 0.
#Akar PK adalah nilai pengganti variabel sehingga,
ruas kiri = ruas kanan
4. Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat dapat dilihat dari nilai
diskriminannya (𝐃 = 𝒃 𝟐
−𝟒𝒂𝒄), mempunyai:
1) Akar real, jika D ≥ 0
2) Akar tidak real/imajiner, jika D < 0
3) Akar rasional, jika D = 𝑘2
*𝑘2
: bil. kuadrat sempurna
Ada 2, if D>0: 𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝟐 = 𝟎
Ada 1, if D=0: 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐 = 𝟎
𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟎
𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎
5. Sifat-Sifat Persamaan Kuadrat
Sifat-Sifat PK akar real D 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒙 𝟏 ∙ 𝒙 𝟐
Kedua akarnya sama
= 0 - -
Kedua akarnya real POSITIF
≥ 0 > 0 > 0
Kedua akarnya real NEGATIF
≥ 0 < 0 > 0
Satu akar positif dan satu
akar negatif
> 0 - < 0
Kedua akar berlawanan
tanda (x1=-x2)
> 0 = 0 < 0
Kedua akar dan saling
berkebalikan (x1=1/x2)
> 0 - = 1
6. MENENTUKAN AKAR-AKAR
PERSAMAAN KUADRAT
Ada beberapa cara (aturan) menentukan akar-akar
(penyelesaian) persamaan kuadrat, yaitu :
a. Memfaktorkan
b. Melengkapkan kuadrat sempurna
c. Menggunakan rumus ABC (rumus kuadrat)
7. a. Memfaktorkan
Memfaktorkan, yaitu persamaan kuadrat diubah menjadi bentuk:
𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 =
𝟏
𝒂
𝒂𝒙 + 𝒎 𝒂𝒙 + 𝒏 = 𝟎
dengan m + 𝑛 = 𝑏 dan mn = 𝑐.
8. Berdasarkan bentuk umum persamaan kuadrat ax2+ bx + c = 0,
dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Untuk a = 1
b. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
9. c. Menggunakan Rumus ABC
(Rumus kuadrat)
Rumus ABC atau rumus quadratic, yaitu menggunakan rumus
untuk menemukan akar-akarnya.
Rumusnya sebagai berikut:
𝒙 𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
11. Menyusun Persamaan Kuadrat
a. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui
Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2
+bx-c = 0, maka untuk menyusun persaman kuadrat baru
dapat dilakukan dengan cara berikut :
1) Perkalian faktor
Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ,
maka rumus persamaan kuadrat tersebut adalah
( X – X₁ ) ( X – X₂ ) = 0
12. 2) Menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan
Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ,
maka rumus persamaan kuadrat tersebut adalah
x2 - ( x₁+ x₂)x + (x₁.x₂) = 0
13. b. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya
mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat
lainnya
jika dan merupakan akar-akar persamaan kuadrat
baru yang dicari, maka digunakan rumus
x2 - ( + )x + () = 0
15. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat
3x2 – 10x + 8 = 0, dengan ketiga cara!
Masalah 1
Jawab :
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {4/3, 2}
16. Masalah 2
Tentukan m agar persamaan x2 + 2mx – x + m2 – 3m – 4 = 0
a. Mempunyai dua akar real sama
b. Mempunyai dua akar real berbeda
c. Mempunyai dua akar real berlawanan
d. Mempunyai dua akar real berkebalikan
Jawab :
a) m= -17/8 ; b) m>-17/8 ; c) m=1/2 ; d) m=(329)/2
17. Masalah 3
Diketahui x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat
dari x2 – 5x + 3 = 0. Tentukan persamaan kuadrat baru yang
akar-akarnya adalah 2x₁ dan 2x₂ !
Jawaban: x2-10x + 12 = 0
18. Jawab :
Dari persamaan x2 - 5x + 3 = 0 diperoleh x₁+ x₂ = 5 dan x₁.x₂ = 3.
jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat baru yang dicari,
maka
+ = 2x₁ + 2x₂
= 2 (x₁ + x₂ )
= 2 (5) = 10
= (2x₁) ( 2x₂)
= 4 x₁ x₂
= 4 (3) = 12
Jadi, persamaan kuadrat baru yang dicari adalah
x2-( + )x + () = 0
x2-10x + 12 = 0
19. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah
Jawab :
Dengan perkalian faktor maka pers nya adalah
Masalah 4
20. Masalah 5
Selembar kertas berbentuk persegi panjang akan dibuat kotak
tanpa tutup bervolume 160 cm3 dengan cara membuang
persegi seluas di 4 x 4 cm2 masing-masing pojoknya. Jika
panjang bidang alas kotak 6 cm lebih besar dari lebarnya, maka
panjang dan lebar alas kotak tersebut adalah ....
Jawaban:
Diperoleh: tinggi = 4 cm ⇒ panjang = p
⇒ lebar = p − 6 cm
Sekarang, gunakan volume kotak
sebagai pelengkap untuk menyusun
model matematikanya sebagai berikut :
⇒ Volume = 160
⇒ panjang x lebar x tinggi = 160
⇒ p (p − 6) (4) = 160
⇒ p (p − 6) = 40
⇒ p2 − 6p = 40
⇒ p2 − 6p − 40 = 0
Dari persamaan kuadrat di atas, kita cari akar-akarnya untuk
mendapatkan panjang alas.
⇒ p2 − 6p − 40 = 0
⇒ (p − 10)(p + 4) = 0
⇒ p = 10 atau p = -4
Karena panjang tidak mungkin negatif, maka panjang alasnya
adalah 10 cm. Selanjutnya, kita cari nilai lebar alas.
⇒ lebar = p − 6 cm
⇒ lebar = 10 cm − 6 cm
⇒ lebar = 4 cm
Jadi, panjang dan lebar alas kotak tersebut adalah 10 cm dan 4 cm.
21. Barang siapa yang keluar untuk mencari ilmu maka ia berada di jalan
Allah sampai ia kembali (HR Tirmidzi)
x2-10x + 12 = 0
