Materi yang menjelaskan tentang jenis - jenis Transformasi Geometri berserta Contoh Soalnya^^

1. KATA PENGANTAR
Puji syukur saya panjatkan kehadiran Allah SWT atas rahmatnya, sehingga saya
dapat menyelesaikan tugas makalah tentang “Transformasi Geometri”. Makalah ini saya
buat sebagai salah satu kewajiban dalam menjalankan tugas Matematika sebagaimana
diamanatkan oleh pembimbing. Disamping itu makalah ini merupakan salah satu syarat
untuk menyelesaikan tugas akhir semester genap di SMK Perintis 1 Depok. Tahun ajaran
2015/2016.
Dalam penyusunan tugas makalah ini tak luput dari bantuan guru matematika yang
telah membimbing dan mengarahkan dalam pembuatan tugas ini, dan saya
mengucapkan banyak terima kasih.
Akhirnya saya menyadari bahwa makalah ini masih belum sempurna namun,
perlu saya sampaikan. Semoga hasil kecil ini bermanfaat bagi para pembaca dan
dapat membawa manfaat dalam pengetahuan di bidang Matematika.
Depok, 10 April 2016

2. 2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR 1
DAFTAR ISI 2
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang 3
B. Rumusan Masalah 3
C. Tujuan 3
BAB II PEMBAHASAN
A. Definisi Transformasi Geometri 4
B. Jenis-jenis Transformasi Geometri 4
C. Sifat 8
D. Aplikasi Transformasi Geometri
E. Contoh Soal 8
BAB III PENUTUPAN 14
DAFTAR PUSTAKA 15

3. 3
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika sebagai salah satu mata pelajaran dasar pada setiap jenjang
pendidikan formal yang memegang peran penting. Matematika merupakan alat
yang dapat memperjelas dan menyederhanakan suatu keadaan atau situasi
melalui abstrak, idealisasi, atau generalisasi untuk menjadi suatu studi ataupun
pemecahan masalah.
Didalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita menjumpai peristiwa atau
kegiatan yang berhubungan dengan Ilmu Matematika. Salah satunya
“Transformasi Geometri”. Transformasi Geometri telah dikenal sejak lama, dari
zaman babilonia, yunani, para ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan
dilanjutkan matematikawan eropa abad ke-18 dua dekade pertama abad ke-19.
Transformasi Geometri digunakan sebagai contoh seseorang yang berada di
escalator. Ketika seseorang berada di escalator, yang berubah adalah tempat
atau posisi orang tersebut tidak berputar, tidak bertambah tinggi, tidak
memendek atau tidak berubah bentuk, namun escalator yang membawa orang
tersebut berpindah dari atas kebawah atau dari bawah ke atas. Aplikasi yang
lainnya bisa kita lihat, seperti ukir-ukiran bali, gapura dan arsitektur pura di Bali.
Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis tertarik untuk membuat
makalah tentang “Transformasi Geometri”. Selain itu juga sebagai salah satu
Tugas Akhir Semester Genap.
B. Rumusan Masalah
Dalam membuat suatu makalah masalah sangatlah penting karena adanya
masalah akan memberikan penuntun bagi pembahasan selanjutnya, untuk
menentukan suatu masalah hendaknya memberikan petunjuk tentang
pengumpulan data.
Adapun masalah yang akan kami bahas dalam makalah ini adalah tentang
Geometri Transformasi yang didalamnya memuat tentang refleksi (pencerminan),
translasi (pergeseran), rotasi(perputaran), dan dilatasi (pembesaran).
C. Tujuan
Makalah Transformasi Geometri ini mempunyai beberapa tujuan, yaitu :
1. Ringkasan Materi untuk pembelajaran siswa/i
2. Mengetahui Definisi dari Transformasi Geometri
3. Mengetahui Jenis – jenis dari Transformasi Geometri
4. Dapat memahami dan menyelesaikan soal soal tersebut
5. Salah satu penilaian untuk Tugas Akhir Semester Genap

4. 4
BAB II
PEMBAHASAN
A. Definisi Transformasi Geometri
Transformasi Geometri adalah perubahan kedudukan suatu titik pada
koordinat Cartesius sesuai dengan aturan tertentu. Transformasi bisa juga
dilakukan pada kumpulan titik yang membentuk bidang/bangun tertentu. Jika kalian
punya sebuah titik A (x,y) kemudian ditransformasikan oleh transformasi T maka
akan menghasilkan titik yang baru A’ (x’,y’). Secara matematis di tulis:
B. Jenis Trasnformasi Geometri
Di dalam transformasi geometri dikenal adanya 4 jenis transformasi yang bisa
dilakukan terhadap sebuah koordinat Cartesius yaitu Translasi, Refleksi, Rotasi,
dan Dilatasi. Penjelasan dengan contoh soal ini akan diuraikan sebagai berikut.
1. Translasi (Pergeseran)
Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang memindahkan
setiap titik pada bidang menurut jarak dan arah tertentu. Memindahkan
tanpa mengubah ukuran dan tanpa memutar. Kata kuncinya
transformasi ke arah yang sama dan ke jarak yang sama. Secara
matematis dituliskan sebagai berikut

5. 5
2. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi dengan
memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat-sifat
pencerminan pada cermin datar.
Berikut tabel transformasi pencerminan:
Percerminan
Terhadap
Pemetaan
Matriks
Transformasi
Sumbu x A(x, y) → A’(x, -y)
Sumbu y A(x, y) → A’(-x, y)
Garis y = x A(x, y) → A’(y, x)
Garis y = -x A(x, y) → A’(-y,-x)
Titik (0,0) A(x, y) → A’(-x, -y)
Garis x = h A(x, y) → A’(2h - x, y) 
Garis y = k A(x, y) → A’(x, 2k - y) 
Titik (h, k) A(x, y) → A’(2h – x, 2k – y) 

6. 6
3. Rotasi (Perputaran)
Rotasi atau perputaraan merupakan proses memutar titik
koordinat terhadap sebuah titik pusat perputaraan dengan sudut putar
sesuai dengan kebutuhan. Jika sudut putar bernilai positif, arah
putaran adalah berlawanan dengan arah jarum jam, sebaliknya jika
negatif, arah putaran searah jarum jam.Perhatikan table berikut :
Jenis Rotasi
Rotasi dengan pusat O(0,0)
dengan sudut putar α
Rotasi dengan pusat P(a,b)
dengan sudut putar α
Gambar
A’(x’, y’)
A(x, y)
A’(x’, y’)
A(x, y)
Notasi
dengan
x’ = x cos α – y sin α
y’ = x cos α + y sin α
dengan
x’ = (x – a) cos α – (y – b) sin α + a
y’ = (x – a) sin α + (y – b) cos α + b
Matriks
yang
bersesuaian
(
𝑥′
𝑦′
) = (
cos α − sin α
sin α cos α
)(
𝑥
𝑦
) (
𝑥′
𝑦′
) = (
cos α − sin α
sin α cos α
)(
𝑥 − 𝑎
𝑦 − 𝑏
) + (
𝑎
𝑏
)

7. 7
4. Dilatasi (Perkalian)
Dilatasi atau perkalian adalah transformasi geometri yang
mengubah ukuran suatu objek dengan factor skala tertentu terhadap
suatu titik acuan.
Jenis Dilatasi
Dilatasi dengan pusat O(0,0)
dan faktor skala k
Dilatasi dengan pusat P(a,b)
dan faktor skala k
Notasi
dengan
x’ = k(x – a) + a
y’ = k(y – a) + b
Matriks yang
bersesuaian

8. 8
C. Sifat
1. Translasi : Mengubah posisi objek, sedangkan bentuk dan ukuran
tetap.
2. Refleksi : Mengubah kedudukan objek, sedangkan bentuk dan ukuran
tetap.
3. Rotasi : Mengubah kedudukan, sedangkan bentuk dan ukuran objek
tetap.
4. Dilatasi : Mengubah kedudukan dan bentuk objek, sedangkan bentuk
tetap.
D. Aplikasi Transformasi Geometri
1) Tempat Duduk Siswa
2) Perpindahan Tempat Duduk Siswa
3) Programmer game dalam membuat games.
Penerapan translasi terlihat pada pergerakan objek saat mengikuti
visualisasi dari persamaan garis.
4) Pada mikroskop atau alat pembesar.
Gambar di samping menunjukkan alat pembesar yang merupakan alat
penting di laboratorium foto. Alat ini digunakan untuk memperbesar foto
dari negatifnya (klisenya). Dengan menggerakkan film di depan lensa,
memungkinkan untuk mengubah ukuran foto yang dihasilkan.
5) Skala pada peta.
Pada umumnya skala peta bertuliskan 1:1000000 cm yang artinya jika
skala pada peta 1 cm maka pada kenyataannya berjarak 1000000 cm

9. 9
E. Contoh Soal
1) Translasi
 Bayangan titik A(3, 4), jika digeser 4 satuan ke kanan dan 5
satuan ke atas adalah . . .
Jawab :
A(3, 4) 𝑇(4
5
) A’(3 + 4, 4 + 5)
Jadi A’ = (1, 9)
 Translasi yang sesuai untuk menggeser titik P(5, 3) sehingga
diperoleh bayangan P’ (3,1) adalah . . .
Jawab :
P(5, 3) 𝑇( 𝑎
𝑏
) P’ (3, 1)
Jadi T = ( 𝟖
−𝟒
)
 Titik asal dari C’(3, 4) yang merupakan bayangan translasi T(6,
3) adalah . . .
Jawab :
C’ (3, 4) 𝑇( 6
−3
) C (x, y)
Jadi C = (3, 1)
2) Refleksi
 Titik A (3, 4) dicerminkan terhadap garis y = x. Bayangan titik A
tersebut adalah . . .
Jawab :
A”(4, 3)
 Bayangan titik R(6, 7) oleh refleksi terhadap sumbu Y dan
dilanjutkan refleksi terhadap titik pangkal O(0,0) adalah . . .
Jawab :
R”(6, 7)

10. 10
 Titik K (6, 8) dicerminkan terhadap sumbu Y. Bayangan titik K
tersebut adalah . . .
Jawab :
K’ (6, 8)
 Bayangan titik A oleh refleksi terhadap titik (1, -2) adalah titik A’(3,
Tentukan koordinat titik A!
Jawab :
A’(-1, -9)
3) Rotasi
 Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan pada
pangkal koordinat dengan sudut putaran +900
, adalah . . .
Jawab :
R+90 𝑜
berarti : x’ = -y → y = -x’
y’ = x → x = y’
disubstitusi ke : x + y = 6
y’ + (-x’) = 6
y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = 6
Jadi bayangannya: x – y = 6
 Tentukan bayangan titik (5, -3) oleh rotasi R (P, 90) dengan
koordinat titik P(-1, 2) adalah . . .
Jawab :
(
𝑥′
𝑦′
) = (
cos 90 − sin 90
sin 90 cos 90
) (
𝑥 − 𝑎
𝑦 − 𝑏
) + (
𝑎
𝑏
)
= (
0 − 1
1 0
) (
5 − 1
−3 − 2
) + (
−1
2
)
= (
0 − 1
1 0
) (
6
−5
) + (
−1
2
)
= (
6
−5
) + (
−1
2
) = (
4
8
)
Jadi bayangan ( 4, 8 )

11. 11
 Bayangan garis y = 5x + 4 oleh rotasi R(O, -90) adalah . . .
Jawab :
(x, y) ó (y, -x)
x’ = y , y’ = -x
x’ = 5(-y’) + 4
x’ + 5y’ – 4 = 0
Jadi bayangan x + 5y – 4 = 0
4) Dilatasi
 Bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi [O, 1/3] adalah . . .
Jawab :
(
𝑥′
𝑦′
) =
1
3
(
9
3
)
= (
3
1
)
𝑱𝒂𝒅𝒊 𝒃𝒂𝒚𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏 ( 𝟑, 𝟏 )

12. 12
 Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu Y di
B. Karena dilatasi [O,-2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’.
Hitunglah luas segitiga OA’B’ . . .
Jawab :
Garis 2x – 3y = 6 , memotong sumbu X di A(3,0) , memotong sumbu Y
di B(0,2) karena dilatasi [O,-2] maka A’(kx,y) → A’(-6,0) dan B’(kx,ky) →
B’(0,-4). Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga
seperti pada gambar:
Sehingga luasnya :
= ½ x OA’ x OB’
= ½ x 6 x 4
= 12
 Titik A(-5,13) didilatasikan oleh [P,⅔] menghasilkan A’. Jika koordinat
titik P(1,-2),maka koordinat titik A’ adalah . . .
Jawab :
A(x,y) [P(a,b) ,k] (x’,y’)
x’ = k(x – a) + a
y’ = k(y – b) + b
A(-5,13) [P(1,-2),⅔] A’(x’ y’)
x’ = k(x – a) + a
y’ = k(y – b) + b
A(-5,13) A’(x’ y’)
x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3
y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8
Jadi koordinat titik A’(-3,8)

13. 13
 Bayangan titik W(2,6) oleh dilatasi dengan pusat (2,-1) dan faktor
skala -2 adalah ......
Jawab :
-2(2-2) = x' - 2 maka x' = 2
-2(6+1) = y' +1 maka y' = - 15
Jadi bayangannya W'(2,-15)
 ABCD adalah sebuah persegi dengan koordinat titik-titik sudut A(1,1),
B(2,1), C(2,2) dan D(1,2). Tentukan peta atau bayangan dari titik-titik
sudut persegi itu oleh dilatasi [O,2]!
Jawab:
Peta atau bayangan titik-titik sudut persegi oleh dilatasi [O,2]
Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi [0,2] adalah Peta atau
bayangan dari titik sudut persegi A(1,1), B(2,1), C(2,2) dan D(1,2)
Jadi peta dari titik-titik sudut ABCD adalah A’(2,2), B’(4,2), C’(4,4)
dan D’(2,4)
 Diketahui titik P(12,-5) dan A(-2,1). Bayangan titik P oleh dilatasi
adalah….
Jawab :
Titik P(12,-5) didilatasi. Artinya titik P(12,-5) didilatasi ke [(-2,1)]
Jadi bayangan Titik P(12,-5) yang didilatasi adalah P’(5,-2)

14. 14
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Adapun secara ringkas kesimpulan materi tentang transformasi
geometri sebagai berikut :
a. Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memidahkan setiap titik
pada bidang dengan jarak dan arah tertentu.
b. Refleksi (pencerminan) adalah translasi yang memindahkan setiap titik
pada bidang dengan sifat pencerminan.
c. Rotasi (perputaran) adalah transformasi dengan cara memutar objek
dengan titik pusat tertentu.
d. Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun,
tetapi tidak mengubah ukuran bentuknya.
B. Saran
Makalah ini dapat digunakan sebagai bahan untuk belajar geometri
transformasi dimana dalam makalah ini membahas geomatri transformasi
secara detail yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi.

15. 15
DAFTAR PUSTAKA
Beni, Beben. 2014. Kumpulan Makalah (Online). http://benitri.blogspot.co.id.
Diakses pada tanggal 11 April 2016
Hitung, Rumus. 2015. Rumus Hitung (Online). http://rumushitung.com. Diakses
pada tanggal 11 April 2016
Handoyo, Dede Fajar. 2015. Materi, Soal, Pembahasan (Online). http://materi-soal-
bahas.blogspot.co.id. Diakses pada tanggal 11 April 2016
Zuliana M.Pd,
Marlangen, Selly. 2013. Transformasi Geometri. http://sellymarlangen.blogspot.com.
Diakses pada tanggal 15 April 2016
Zuliana, Eka. 2015. Mandiri Matematika. Jakarta: Erlangga