1. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Interpolação

2. Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Interpolação Linear
• Interpolação Polinomial: Método de Lagrange
• Interpolação Polinomial: Método de Newton

3. Definição
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
x
y

4. Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Interpolar
• Consiste em determinar uma função que assume valores
conhecidos em certos pontos;

5. Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Interpolar: exemplo
O polinômio de grau 3 interpola a função em quatro pontos.

6. Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Interpolação Linear

7. Interpolação Linear
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Polinômio Interpolador
Vem da equação da reta!

8. Interpolação Linear: exemplo
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

9. Interpolação Linear: exemplo
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

10. Interpolação Linear: exemplo
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

11. Interpolação Linear: exemplo
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

12. Interpolação Linear: exemplo
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
b) Calcule P1(t) , onde t é igual ao instante 1h12min.
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

13. Interpolação Linear: exemplo
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

14. Interpolação Linear: exemplo
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
c) Calcule P1(t) , onde t é igual ao instante 2h30min.
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

15. Interpolação Linear: exemplo
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

16. Interpolação Linear: exemplo
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
1) O número de bactérias, por unidade de volume, existente
em uma cultura após x horas é apresentado na tabela:
d) Onde t é igual ao instante 3h42min.
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

17. Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Interpolação Polinomial
Método de Lagrange

18. Interpolação Polinomial: Método de Lagrange
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Polinômio Interpolador
Vem do Polinômio de diferença dividida de Newton!

19. Interpolação Polinomial: Método de Lagrange
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Polinômio Interpolador: Exemplo de um de grau 2.

20. Interpolação Polinomial: Método de Lagrange
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

21. Interpolação Polinomial: Método de Lagrange
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

22. Interpolação Polinomial: Método de Lagrange
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

23. Interpolação Polinomial: Método de Lagrange
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

24. Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Método de Lagrange: Vantagens.
• Quando é feita somente uma interpolação, este método é
tão eficiente quanto o de Newton (que veremos a seguir) e
mais prático por não ser necessário armazenar as tabelas de
diferença dividida.

25. Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Método de Lagrange: Desvantagens.
• Quando é necessário fazer várias interpolações, este método
fica com uma quantidade de cálculos excessiva.

26. Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Interpolação Polinomial:
Método de Newton

27. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Polinômio Interpolador
Exemplo de grau 2!

28. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6
f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32

29. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6
f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32
Deve-se escolher 3 pontos de interpolação. Como 0,47 (0,4;
0,52), dois pontos deverão ser 0,4 e 0,52. O outro pode ser tanto 0,34
quanto 0,6 pois:

30. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6
f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32
0 0,20 0,16
1 0,34 0,22
2 0,40 0,27
3 0,52 0,29
4 0,60 0,32

31. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
0 0,20 0,16
1 0,34 0,22
2 0,40 0,27
3 0,52 0,29
4 0,60 0,32

32. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
0 0,20 0,16 0,16 0,4286
1 0,34 0,22 0,22 0,8333
2 0,40 0,27 0,27
3 0,52 0,29 0,29
4 0,60 0,32 0,32

33. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
0 0,20 0,16 0,16 0,4286
1 0,34 0,22 0,22 0,8333
2 0,40 0,27 0,27 0,1667
3 0,52 0,29 0,29 0,3750
4 0,60 0,32 0,32

34. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
0 0,20 0,16 0,16 0,4286 2,0235
1 0,34 0,22 0,22 0,8333 -3,7033
2 0,40 0,27 0,27 0,1667
3 0,52 0,29 0,29 0,3750
4 0,60 0,32 0,32

35. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
0 0,20 0,16 0,16 0,4286 2,0235
1 0,34 0,22 0,22 0,8333 -3,7033
2 0,40 0,27 0,27 0,1667 1,0415
3 0,52 0,29 0,29 0,3750
4 0,60 0,32 0,32

36. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Se forem escolhidos x0 = 0,34, x1 = 0,4, e x2 = 0,52 então:
0 0,20 0,16 0,16 0,4286 2,0235
1 0,34 0,22 0,22 0,8333 -3,7033
2 0,40 0,27 0,27 0,1667 1,0415
3 0,52 0,29 0,29 0,3750
4 0,60 0,32 0,32

37. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Se forem escolhidos x0 = 0,34, x1 = 0,4, e x2 = 0,52 então:

38. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Se forem escolhidos x0 = 0,34, x1 = 0,4, e x2 = 0,52 então:

39. Exercícios
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

40. Exercícios
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
0 1 2 3 4
32 47 65 92 132

41. Exercícios
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
0,1 0,2 0,3 0,4
0,0017 0,0035 0,0052 0,007

42. Interpolação Polinomial: Método de Lagrange
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
número de horas (x) 0 1 2 3 4
número de bactérias por volume unitário (y) 32 47 65 92 132

43. Interpolação Polinomial: método de Newton
Interpolação
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
x 0,2 0,34 0,4 0,52 0,6
f(x) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32

44. Referências Bibliográficas
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
ARENALES, S.; DAREZZO, A., Cálculo Numérico: Aprendizagem com
apoio de Software. São Paulo: Cengage Learning. 2007.
BARROSO, L. C., BARROSO, M. M. A., CAMPOS Filho, F. F.. Cálculo
Numérico com aplicações. São Paulo: Harbras 1987.
CHAPA, S. C.; CANALE R. P.. Numerical Methods for Engineers. 2a ed..
Mc. Graw-Hill. 1990.
CLÁUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª
Ed.. São Paulo: Atlas. 2001.
SANTOS, J. D. .SILVA, Z. C. Métodos Numéricos. Editora Universitária
da UFPE, 2006.

45. 