O documento discute métodos iterativos para resolver sistemas lineares, apresentando o método de Gauss-Seidel e critérios de convergência e parada. Exemplos ilustram como aplicar o método e os critérios para resolver sistemas numericamente.
6. Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
• Segundo esse critério, um determinado sistema
irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:
ii
n
ij
j
ij aa
1
, para i=1, 2, 3, ..., n.
7. 7
Distância entre duas iterações
d(k) = max xi
(k) - xi
(k-1)
Critério de parada
dr
(k) = d(k)/ (max xi
(k) ) <
Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
8. 8
EXEMPLO
Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6
Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
9. 9
Com x0 =
0,7
-1,6
0,6
e = 0,05
Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos - Critério de Parada
15. 2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
16. 3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
x – 3y + 0,5z = 2,8
0,75x + 3y – 10z = -6,9
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
17. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
19. 1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
20. 10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
32. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem,
frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma
equação do tipo f(x)=0. Consideremos, por exemplo, o seguinte
circuito:
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Kirchoff’s Law
33. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Estruturas Isostáticas
34. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
35. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
36. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
37. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Serão analisados os casos dos Zeros Reais da função f(x)=0.
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
38. Zeros de Funções Reais
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Como obter raízes reais de uma equação qualquer?
39. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Sabemos que, para algumas equações, como por exemplo às
equações polinomiais do segundo grau, existem fórmulas explicitas que
nos mostram as raízes em função dos coeficientes (Bháskara, por
exemplo).
No entanto, no caso de polinômios de grau mais elevado e no
caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se
achar zeros exatamente.
40. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Por isso, temos que dos contentar em encontrar apenas
aproximações para esses zeros (soluções numéricas); mas isto não é
uma limitação muito séria, pois, com os métodos que veremos, vamos
conseguir encontrar os zeros de uma função com qualquer precisão
prefixada.
41. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
A ideia central destes métodos numéricos é partir de uma
aproximação inicial para a raiz (um intervalo onde imaginamos a
raiz estar contida) e em seguida refinar essa aproximação através de
um processo iterativo.
42. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
43. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou
transcendente, algumas etapas devem ser seguidas:
1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o menor possível,
que contenha a raiz;
2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de
exatidão requerido pelo problema.
Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da
seguinte maneira:
3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções disponíveis em
algumas calculadoras ou softwares matemáticos.
44. Zeros de Funções Reais
1. Introdução
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
45. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função
f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende
fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica, usamos
frequentemente o Teorema de Bolzano:
Pois (+) (+) → (+), (-) (-) → (+); (+) (-) ou (-) (+) → (-)
46. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Graficamente, temos:
47. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Graficamente, temos:
48. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Se f(a) x f(b) > 0, pode-se ter outras situações no intervalo
estudado, como as mostradas abaixo:
49. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Observação:
Sob as hipóteses do Teorema de Bolzano, se f’(x) existir,
preservando sinal dentro de (a, b), então este intervalo contém um
único zero de f(x).
Graficamente, temos:
50. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
51. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando resultados
anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as
mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em
que f(x) mudou de sinal.
52. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as
raízes da função:
Primeira análise: Construindo uma tabela de valores para
f(x) e considerando apenas os sinais, temos:
53. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as
raízes da função:
54. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as
raízes da função:
Como f(x) é um polinômio de 3º grau, podemos afirmar que
cada intervalo contém um único zero de f(x); assim, localizamos
todas as raízes de f(x)=0.
Uma segunda análise da função, por meio do sinal da sua
derivada, não se faz necessário, neste exemplo, tendo em vista sua
trivialidade. Veja:
55. Zeros de Funções Reais
Fase I: Análise Gráfica
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Pode-se utilizar um dos seguintes processos:
56. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Exemplo 2: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as
raízes da função:
57. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes. Método (i):
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
58. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes. Método (ii):
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
59. Zeros de Funções Reais
Fase I: Isolamento das Raízes. Método (ii):
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares