Métodos Iterativos para Sistemas Lineares

Sistemas Lineares
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Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos
• Motivação I
o Ocorrência em larga escala de sistemas lineares em
cálculos de Engenharia e modelagem científica
• Exemplos:
o Simulações de processos químicos
o Simulações de dispositivos e circuitos
o Modelagem de processos geocientíficos e
geoambientais
o Análise estrutural
o Biologia estrutural
o Modelagem de processos físicos

Métodos Iterativos
• Motivação II
o Tendência à existência de matrizes de coeficientes à
grandes e esparsas
• Grandes  Comum para n > 100.000
• Esparsas  Maioria dos coeficientes nulos
o Resolução de sistemas esparsos por métodos diretos
• Processos de triangularização e fatoração  Onerosos,
por não preservarem a esparsidade original, que pode
ser útil por facilitar a resolução do sistema.

Métodos Iterativos
• Motivação III
o Métodos mais apropriados para a resolução de
sistemas de natureza esparsa  Métodos
iterativos
• Gauss-Jacobi
• Gauss-Seidel

Métodos Iterativos
• Vantagem  Menos suscetíveis ao acúmulo de
erros de arredondamento do que o método de
Eliminação de Gauss.
• Lembretes importantes:
o Como todo processo iterativo, estes métodos
sempre apresentarão um resultado aproximado,
que será tão próximo do resultado real conforme
o número de iterações realizadas.
o Além disto, também é preciso ter cuidado com a
convergência destes métodos.

Métodos Iterativos
• Em certos casos, métodos diretos não são eficientes, por
exemplo, quando a matriz dos coeficientes é uma matriz
esparsa (muitos elementos iguais a zero).
• Métodos iterativos são mais econômicos no que tange a
memória dos computadores
• Podem ser usados para reduzir os erros de arredondamento
na solução obtida por métodos exatos.
• Em alguns casos podem ser aplicados para resolver conjuntos
de equações não lineares

Métodos Iterativos
• Um método é iterativo quando fornece uma
sequência de aproximações da solução
• Cada uma das aproximações é obtida das
anteriores pela repetição do mesmo processo
• Precisam sempre saber se a sequência obtida está
convergindo ou não para a solução desejada.

Métodos Iterativos
• Para determinar a solução de um sistema linear por
métodos iterativos, precisamos transformar o
sistema dado em um outro sistema onde possa ser
definido um processo iterativo
• A solução obtida para o sistema transformado
deve ser também solução do sistema original
(sistemas lineares devem ser equivalentes)

Métodos Iterativos

nnnn xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
210
4
2
4
1
4
0
4
3
2
3
1
3
0
3
2
2
2
1
2
0
2
1
2
1
1
1
0
1


• Métodos Iterativos: Consistem em encontrar uma seqüência
de estimativas xi
k (dada uma estimativa inicial xi
0) que após
um número suficientemente grande de iterações convirja
para a solução do sistema de equações.

Métodos Iterativos
• Outra vantagem destes métodos  não são
tão suscetíveis ao acúmulo de erros de
arredondamento como o método de
Eliminação de Gauss.
• É importante lembrar que:
o Como todo processo iterativo, estes métodos
sempre apresentarão um resultado
aproximado, que será tão próximo do
resultado real conforme o número de
iterações realizadas.
o Além disso, também é preciso ter cuidado
com a convergência desses métodos.

Métodos Iterativos
Métodos Iterativos
• Transforma o sistema linear Ax=b em x = Cx +g
o A: matriz dos coeficientes, n x m
o x: vetor das variáveis, n x 1;
o b: vetor dos termos constantes, n x 1.
• Métodos utilizados:
o Gauss-Jacobi
o Gauss-Seidel

Métodos Iterativos
Método de Gauss-Jacobi
• Conhecido x(0) (aproximação inicial) obtém-se
consecutivamente os vetores:
 De um modo geral, a aproximação x(k+1) é calculada
pela fórmula
x(k+1) = C x(k)+g, k=0, 1, ...
etc.o),aproximaçã(segunda,
o)aproximaçã(primeira,
)()(
)()(
gCxx
gCxx


12
01

Métodos Iterativos
 Da primeira equação do sistema
a11 x1 + a12 x2 + ... +a1n x2 = b1
obtém-se
x1 = (1/a11) (b1 - a12 x2 - ... -a1n x2)
analogamente
x2 = (1/a22 (b2 - a21 x1 - ... -a2n xn)
. .
. .
xn = (1/ann) (bn - an1 x1 - ... - an,n-1 xn-1 )

Métodos Iterativos
 Método de Jacobi para se chegar às fórmulas de iterações,
na forma matricial:

Exemplos

2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.

4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo
como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
x – 3y + 0,5z = 2,8
0,75x + 3y – 10z = -6,9

10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6

Exercícios

1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-
Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.

4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo

Métodos Iterativos
 Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de
iterações, na forma matricial:

Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel
• Segundo esse critério, um determinado sistema
irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:
ii
n
ij
j
ij aa 

1
, para i=1, 2, 3, ..., n.

Exemplo: O sistema abaixo satisfaz o critério das
linhas e essa verificação pode ser feita de
maneira quase imediata, observando-se que:
Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel
0.1048.02.14.0
0.12.02.01.0
8.73.06.036.0
4.02.02.02
4321
4321
4321
4321




xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
4.28.02.14.04
5.02.02.01.01
5.13.06.06.03
4.12.02.012
43424144
34323133
24232122
14131211




aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
ii
n
ij
j
ij aa 

1
para i=1, 2, 3, 4.

2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,

4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo
6x + y + 2z = 10
x – 3y + 0,5z = 2,8
0,75x + 3y – 10z = -6,9

10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6

4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo

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