El documento describe diferentes tipos de funciones reales de variable real, incluyendo funciones algebraicas como funciones polinómicas, racionales y radicales, funciones trascendentes como trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, y funciones especiales como el valor absoluto y las funciones a trozos. Se detalla especialmente las funciones polinómicas, lineales y constantes, definiendo sus características y cómo representarlas gráficamente.

1. EDERPAD
Licmat 20.10
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
FUNCIONES ALGEBRAICAS
 FUNCIONES POLINÓMICAS
 FUNCIONES RACIONALES
 FUNCIONES RADICALES
FUNCIONES TRASCENDENTES
 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 FUNCIONES EXPONENCIALES
 FUNCIONES LOGARÍTMICAS
FUNCIONES ESPECIALES
 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
 FUNCIÓN A TROZOS
FUNCIONES ALGEBRAICAS
FUNCIONES POLINÓMICAS
Una función polinómica está formada por una suma de
productos de números reales, por potencias enteras de una
variable generalmente representada por la letra x; es decir, un
polinomio.
La función polinómica es f :  → , x → P(x), donde P(x) es
polinomio de grado 0, 1, 2, 3 ó más.
Una función polinómica tiene la forma:
  1 2 2
1 2 2 1 0...n n n
n n nf x a x a x a x a x a x a 
       
donde a0, a1, a2, a3, …, an-2, an-1, an son números reales,
an > 0 y diremos que n indica el grado de la función, es decir
el mayor exponente al cual se halle elevada x.
Si el polinomio es de grado 0 se llama función constante, si el
grado es 1 se llama función lineal, si es de grado 2 se llama
función cuadrática, y si es de grado 3 se llama función
cúbica. Si el grado es superior a tres, se le llama simplemente
función polinómica de grado cuatro, cinco, …, etc.
FUNCIÓN CONSTANTE
Las rectas paralelas al eje x representan gráficamente funciones
definidas por ecuaciones del tipo f(x) = c, donde c es un
número real y f está definida de  en  . Esta función recibe
el nombre de función constante.
El corte con el eje y ocurre precisamente sobre el valor c, es
decir en ele punto (0, c). Esta función no tiene cortes con el eje
x, a menos que la constante sea cero (Figura 1).
Figura 1
CURIOMATH
¿Por qué podemos decir que una función constante es un
polinomio de grado cero?
Tomemos como ejemplo la función f(x) = 2, cuya gráfica
se muestra en la figura 2.
f(x) = 2 es lo mismo que f(x) = 2x0
ó y = 2x0
. Y además
recuerda que x0
= 1, x  0.
Figura 2
 Dom f (x) = 
 Ran f (x) = 2
 Punto de corte con
el eje y: (0,-2)
 Punto de corte con
el eje x: No tiene
FUNCIÓN LINEAL
Se llama función lineal a toda función f definida por una
expresión de la forma:
 f x ax b  , donde a, b son números reales y a  0.
La representación gráfica de cualquier función lineal es una
recta y la ecuación y ax b  , recibe el nombre de ecuación
explícita de la recta.
El coeficiente a, representa la pendiente de la recta y siempre
es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada
al origen, que gráficamente representa la intersección de la
recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas
(0, b).
Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la
variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en
la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada
por la constante a.
Ejemplo 1: f :  →  definida por  
3
3
4
f x x  es una
función lineal.
Dom f (x) =  Ran f (x) = .
Debe observarse que la ecuación 3
4 3y x  es una ecuación
lineal con dos incógnitas “ x ” e “ y ” y existen infinitos pares
de valores (x, y) que la verifican, por lo que se dice que tiene
infinitas soluciones.
Los pares ordenados asociados a los puntos de la recta son las
soluciones de la ecuación.
Se ha confeccionado una tabla en la que figuran algunos de los
infinitos pares ordenados (x, y) que pertenecen a la función
lineal, es decir que verifican la ecuación dada.
Para obtener la gráfica de la función, es suficiente representar
dos de los pares ordenados que pertenecen a la misma y unirlos
mediante una línea recta.
Figura 3

2. EDERPAD
Licmat 20.10
En el ejemplo se han utilizado:
A(4,0) : punto de intersección entre la recta y el eje x .
B(0,3) : punto de intersección entre la recta y el eje y .
ELEMENTOS DE LA FUNCIÓN LINEAL
 Ordenada al origen
Toda recta que no sea vertical corta al eje y en un punto de
abscisa x = 0.
Si en la ecuación f (x) = ax + b, se considera x = 0, resulta
f (0) = a  0 + b .
El par ordenado (0, b) representa el punto de intersección entre
la recta y el eje de ordenadas.
El término independiente b recibe el nombre de ordenada al
origen.
 Abscisa al origen
Si la recta corta al eje x, el punto de intersección tiene ordenada
y = 0.
Si en la ecuación y = ax + b, se considera y = 0, resulta:
0ax b
ax b
b
x
a
 
 


El par ordenado ,0
b
a
 
 
 
, representa las coordenadas del
punto de intersección entre la recta y el eje de abscisas.
b
a

recibe el nombre de abscisa al origen.
CURIOMATH
Figura 4
Encontrando Los cortes con los
ejes es suficiente para realizar
la gráfica de cualquier función
lineal.
Aunque en general, observemos
que la gráfica de la función
lineal, por ser recta, bastaría
con localizar en el plano
cartesiano solo dos puntos y
por ellos trazar la recta, ya que
según Euclides (Figura 4), “por
dos puntos del plano pasa una y
solo una recta”.
 Pendiente
En la ecuación y = ax + b, el coeficiente a recibe el nombre de
pendiente de la recta. La pendiente da idea de la inclinación de
la recta.
Si P(x1, y1) y Q(x2, y2) son dos puntos diferentes que pertenecen
a la recta, entonces la pendiente a puede calcularse como:
Figura 5
La pendiente, o tasa de cambio de y con respecto a x,
representa la relación (subida / recorrido horizontal), y si esta
se calcula usando cualquier otro par de puntos se llega al
mismo valor. Entonces la pendiente, se interpreta como:
2 1
2 1
y yElevación
a
Avance x x

 

CURIOMATH
Figura 6
Los carpinteros usan el término
inclinación. Una inclinación de 9:12
corresponde a una pendiente de
3
4
.
Si a < 0, se dice que la función es decreciente en todo su
dominio y si a > 0, la recta es creciente en todo su dominio.
Apreciemos esta situación en las gráficas que se muestran a
continuación.
Decreciente
Creciente
Figura 7
 Ecuaciones de la recta
La ecuación y = ax+ b es de la forma pendiente - intersección
en y, donde a es la pendiente y b el intercepto en y. También es
conocida como ecuación explícita de la recta.
Ax + By + C = 0 es la ecuación general de la recta, donde A y
B no son simultáneamente cero.
Ejemplos de funciones lineales
Ejemplo 2: La recta definida por la ecuación   3
4 3f x x 
tiene las siguientes características:
* Punto de intersección entre la recta y el eje y:
B(0,3), ya que si x = 0; f (0) = 3
Ordenada al origen: b = 3.
Por otra parte:
3
4
3
4
3
1
3
4
3 0
3
4
x
x
x
x

 
 

 
* Punto de intersección entre la recta y el eje x : A(4, 0) .
Abscisa al origen: 4
* Pendiente:
3
4
a 
Para proporcionar las coordenadas de algún otro punto que
pertenezca a la recta, basta con asignar un valor a x y obtener el
correspondiente valor para f (x).
Si x = 4, 3
4
(4) 4 3 3 3 6f       .
El punto C (4,6) pertenece a la recta.

3. EDERPAD
Licmat 20.10
Es posible graficar la recta de ecuación   3
4 3f x x 
usando sólo los valores de la ordenada al origen b = 3 y la
pendiente
3
4
y
a
x

 

.
Figura 8
Otra forma de presentar la ecuación de la recta del ejemplo
anterior es:
3x  4y +12 = 0
Se dice que la recta ha sido expresada mediante su ecuación
general o implícita. En este caso la variable dependiente no
aparece despejada.
Ejemplo 3: Dados dos puntos E(2, 8) y F(2, 4), se desea
encontrar la ecuación de la recta que ellos determinan.
Uno de los procedimientos posibles es:
1º. Se calcula la pendiente de la recta.
2 1
2 1
4 8 12
3
2 ( 2) 4
y y
a
x x
   
    
  
Esta quiere decir que, desde el punto E hasta el punto F hay
una elevación (cambio vertical) de 12 unidades y un avance
(cambio horizontal) de 4 unidades.
2º. Se calcula la ordenada al origen b.
Dado que el punto E(2, 8) pertenece a la recta, sus
coordenadas deben satisfacer la ecuación y por lo tanto:
8 ( 3) ( 2)
8 6
8 6 2
b
b
b
    
 
  
Entonces, la ecuación de la recta que contiene a los puntos E y
F puede escribirse:
y = 3x + 2.
Figura 9
Si P(x1, y1) y Q(x1, y1), son dos puntos por donde pasa la recta,
otra forma de determinar la ecuación de una recta es a través de
la ecuación Punto – Punto:
 2 1
1 1
2 1
y y
y y x x
x x

   

, para el punto P
y la ecuación Punto – Pendiente:
 1 1y y a x x    .
Veamos los ejemplos que se muestra a continuación.
Ejemplo 4: Dados dos puntos P(2, 8) y Q(2, 4), se desea
encontrar la ecuación de la recta que ellos determinan.
Usemos la ecuación Punto – Punto:
 2 1
1 1
2 1
y y
y y x x
x x

   

Primeramente hallemos el valor de 2 1
2 1
y y
x x


que corresponde a
la pendiente de la recta.
2 1
2 1
4 8 12
3
2 ( 2) 4
y y
a
x x
   
    
  
.
Tomando cualquiera de los puntos por donde pasa la recta, por
ejemplo P(2, 8) y reemplazando el valor de la pendiente
a = 3, obtenemos:
  
 
8 3 2
8 3 2
8 3 6
3 6 8
3 2
y x
y x
y x
y x
y x
     
    
   
   
  
Alternativamente a la ecuación Punto – Punto, que usamos en
los ejemplos 3, podemos usar la expresión, que es similar a la
anterior pero para el punto Q.
 2 1
2 2
2 1
y y
y y x x
x x

   

.
Ejemplo 5: Si la pendiente de una recta es a = 2 y pasa por el
punto P (2, 5), determinar la ecuación de dicha recta.
 1 1y y a x x   
   5 2 2
5 2 4
2 4 5
2 9
y x
y x
y x
y x
    
  
  
 
* Rectas paralelas
Ejemplo 6: Si se grafican cada una de las funciones lineales
definidas respectivamente por
l(x) = 2x + 2 y g(x) = 2x  1,
se puede observar que las rectas que resultan son paralelas
(Figura 10).
Figura 10
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
* Rectas perpendiculares
Ejemplo 7: Si se grafican cada una de las funciones lineales
definidas respectivamente por
t(x) = 2x  2 y 1
2( ) 3h x x   ,
se puede observar que las rectas que resultan son
perpendiculares (Figura 11).

4. EDERPAD
Licmat 20.10
Figura 11
Dadas dos rectas de pendientes a1 y a2 respectivamente, se dice
que dichas rectas son perpendiculares si 2
1
1
a
a
  .
OBSERVACIONES
* Las rectas paralelas al eje y no representan gráficamente
funciones. Tienen ecuaciones de la forma x = k , con k  R .
* Una función de  en  se llama idéntica, si y solo si, cada
elemento del dominio tiene a sí mismo como imagen en el
codominio.
f:  en , es una función idéntica  x  , f(x) = x.
Observa que la función idéntica de  en  es una caso especial
de la función lineal, cuando a = 1 y b = 0.
El dominio y el rango es el conjunto de los números reales, y el
corte de la gráfica con los ejes ocurre en el origen (Figura 12).
Figura 12
Ejemplo 8: Analicemos la relación funcional que existe entre
la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del
vendedor: (función ingreso)
y = f(x), con f(x) = 20x + 50
donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de
teléfonos vendidos.
Estamos frente a una función lineal, cuya representación
gráfica es:
Figura 13
Podemos observar:
1. Es función creciente
2. Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el
sueldo del vendedor.
3. Dom f (x) = 0
+
4. Ran f (x) =
En otras ramas de las ciencias también se utilizan las funciones
lineales, por ejemplo:
 Distancia recorrida por un móvil sobre un camino
recto a velocidad constante, en función del tiempo
(Movimiento rectilíneo uniforme).
 Ley de enfriamiento de Newton. La velocidad de
enfriamiento de un cuerpo está en función de la
temperatura del cuerpo, por encima de la temperatura
ambiente.
 Longitud de la circunferencia en función del radio.
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LINEAL
1. A nivel del suelo, el agua hierve a 100ºC. La temperatura a
la que el agua hierve es llamada punto de ebullición. Si tú
subes a una montaña el punto de ebullición cambia.
La fórmula para el punto de ebullición es:
100
1000
h
p  
p es el punto de ebullición, en ºC y h es la altura, en pies.
a. Obtén una tabla y dibuja la gráfica.
b. ¿Cuál es el punto de ebullición cuando h = 2000? ¿Y si
fueran 10.000 pies?
c. El monte Everest tiene cerca de 30.000 pies de altura. ¿A
qué temperatura hervirá el agua?
2. Si tú profundizas en el interior de la tierra la temperatura
aumenta. La temperatura en las profundidades está dada por
la fórmula:
15
100
p
t  
t es la temperatura en ºC, p es la profundidad en metros
desde la superficie.
a. Obtén una tabla y dibuja la gráfica.
b. ¿Cuánto es t si p = 600?
c. ¿Cuál es la temperatura a 1000 m de profundidad? ¿Y a
2000 m de la superficie?
d. La profundidad de una mina es de 3500 m. ¿Qué
temperatura tendrá?
3. Unos biólogos americanos han encontrado que el número de
chirridos por minuto hecho por los grillos de cierta especie
está relacionados con la temperatura. La relación es casi
lineal. A 68ºF, los chirridos de los grillos son casi 124 por
minuto. A 80ºF son alrededor de 172 por minuto.
a. Determina una ecuación que dé la temperatura Fahrenheit
t en función del número de chirridos c por minuto.
b. Si se cuentan los chirridos en sólo 15 segundos, ¿cómo
puede rápidamente estimar la temperatura?
4. Juan el taxista
En su taxi Juan cobra las siguientes tarifas: $800 por parada
y $500 por Km. recorrido.
a. Obtener el precio p del viaje en función del número x de
kilómetros recorridos.
b. Si en una carrera, Juan le cobró al pasajero de turno
$9300, ¿cuántos Km recorrió para llevarlo a su destino?
5. Cuando la temperatura T (en grados Celsius) de un gato es
reducida, la frecuencia cardiaca del gato r (en latidos por
minuto) disminuye. Bajo condiciones de laboratorio, un gato
a una temperatura de 37 ºC tuvo una frecuencia cardiaca de
220, y a una temperatura de 32ºC una frecuencia cardiaca de
150. Si r está relacionada linealmente con T, en donde T está
entre 26 y 238:
a. Determina una ecuación para r en función de T.
b. Determina la frecuencia cardiaca a una temperatura de
28ºC.

5. EDERPAD
Licmat 20.10