Análise de sinais e sistemas

K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 1
Análise de Sinais
e Sistemas
Prof. Dr. K. Z. Nóbrega

Programa Resumido
• Definição de Sinais e Sistemas
• Tipos e Operações sobre Sinais
• Tipos e Propriedades dos Sistemas
• Definição de um SLIT
• Representação de um sistema por EDO e ED
• Convolução e suas aplicações
• Análise de Fourier: Série e Transformada
• Análise de Transformada de Laplace
• Análise de Transformada Z

Bibliografia
3
• B. P. Lathi. "Sinais e Sistemas Lineares“. 2ª edição, Editora
Bookman, 2004.
• Simon Haykin, Barry V. Veen, "Sinais e Sistemas“. Editora
Bookman, 2002.
•Hsu, Hwei, "Sinais e Sistemas – Coleção Schaum“. 2ª Edição,
Editora Bookman, 2000.
•Kamen, Edward W., Heck, Bonnie S. Fundamentals of Signals
and Systems. Prentice_Hall.

Informações Adicionais
4
• Falta de base matemática
Procurar as inúmeras apostilas disponíveis na rede;
Procurar o professor
• Pouco a vontade com Matlab
Fazer “revisões” de: polinômios, números complexos, EDO,
etc.

Introdução
• Definir sinais e sistemas, no contexto da engenharia;
•Apresentar noções básicas de análise de sistemas,
especialmente os lineares e invariantes no tempo;
• Apresentar ao aluno ferramentas matemáticas básicas, que
servem de análise para projetos, de modelagem a
prototipagem;
• Estimular o aprender, especialmente nas relações tempo e
freqüência .

Sinais
Os sinais são componentes básicos em nossas vidas.
Ex: sinais de áudio ou voz (analógicos ou digitais) ; tensões e
correntes em um circuito eletrônico; sinais de vídeo; temperatura;
pressão arterial, flutuação diária das cotações em bolsas, etc.
Conforme notado, a natureza física, inerente a cada sinal,
pode ser diversa, i.e., elétrica, mecânica, virtual, etc.
Desta forma, trabalhar com os sinais, muitas vezes, envolve
conversão de sistemas (eletromecânicos, opto eletrônicos,
mecânico-óptico, digital-óptico), daí cabe uma importante
observação:
A teoria de estudo de sinais é única, e a linguagem matemática é
a utilizada para uniformizar o estudo, independente da área de
aplicação.

Definições
• Sinal – Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula-se
informações sobre a natureza de fenômenos físicos.
ATENÇÃO: Definido como uma função matemática, o
tratamento e a manipulação de sinais seguem as mesmas regras
da matemática de funções.
Na Engenharia Elétrica, os sinais podem ser classificados sob
diferentes aspectos. Dentre eles, podem-se destacar:
Determinísticos x Aleatórios
Contínuos x Discretos
Analógicos x Digitais
Periódicos x Aperiódicos
Potência x Energia

Definições
• Sinal Determinístico– Sinal que não possui incerteza acerca do
seu valor em qualquer instante.
• Sinal Aleatório– Sinal que existe incerteza acerca de seu valor
em algum instante.
Nessa classe de sinais, é importante destacar o tipo de
incerteza: probabilística ou nebulosa (fuzzy)
• Sinal Contínuo– Sinal na qual se pode medir seu valor em
qualquer instante de tempo.
Em outra linguagem: o sinal contínuo é aquele na qual sua
variável independente é contínua, i.e., t ∈ ℜ.
Ex: temperatura ambiente.

Definições
•Sinal Discreto– Sinal na qual se pode medir seu valor apenas em
alguns instantes de tempo.
Em outra linguagem: o sinal discreto é aquele na qual sua
variável independente é discreta, e é representado como x[n].
Ex: temperatura ambiente medida de hora em hora
Em ambos os casos, sinal discreto e contínuo, os valores do
sinal, x(), podem ser contínuos ou discretos, que seriam,
respectivamente, sinais analógicos e digitais.
•Sinal Analógico– Sinal cujos possíveis valores assumidos são um
subconjunto de ℜ (se real) ou de ℭ (se complexo), i.e., x(t)∈ ℜ ou
x(t) ∈ ℭ.
Ex: temperatura ambiente medida de hora em hora

Definições
•Sinal Digital– Sinal cujos possíveis valores assumidos são
contáveis, ou finitos valores.
Ex: uma sequencia de bits.
A diferença entre contínuo x discreto diz respeito a valores
reais ou discretos da variável independente, t, respectivamente. t
ou n.
Por outro lado, a diferença entre analógico x digital diz respeito
a infinitos ou finitos valores assumidos pela função, x(t),
respectivamente. x(t) ou x[n].

Definições
•Sinal Periódico– Sinal cujo seu comportamento se repete
indefinidamente após um determinado período.
A definição de sinais periódicos é válida independente do
sinal ser contínuo ou discreto, bem como dele ser analógico ou
digital.
Matematicamente, um sinal é contínuo(discreto) se:
x(t+T)=x(t) (x[n+N]=x[n]), (1)
onde T (N) é o período do sinal, e sendo o menor número real
(inteiro) positivo que satisfaça Eq. (1).
O recíproco do período fundamental é chamado de
frequencia fundamental
f=1/T

Definições
Uma pergunta comum que surge ao se trabalhar com sinais
periódicos é a seguinte: A soma de dois sinais periódicos é um
novo sinal periódico?
De fato, isto somente acontecerá se
r
m
T
T
=
2
1
para o caso contínuo ou para o caso discreto
r
m
N
N
=
2
1
onde T1 e T2 são os períodos dos sinais x1(t) e x2(t),
respectivamente, N1 e N2 os períodos dos sinais x1[n] e x2[n],
respectivamente, e m e r números inteiros.
Caso as equações acima sejam satisfeitas, o período do novo
sinal será dado por:
1rTT = ou 1rNN =

Definições
Ex: Prove as relações encontradas no slide anterior.
Ex: Indique se o sinal x(t) é periódico ou não. Em caso
afirmativo, calcule o período.
)2cos()()( ttsintx ⋅+⋅= ππ
)2cos(2)()( ttsintx −⋅= π
tj
etx 2
5,0)( −=
)cos()(
1
0tnAtx
n
n∑
∞
=
= ω

Operações sobre sinais
Conforme visto anteriormente, sinais são nada mais que
funções e, como tal, podem ser manipulados seguindo três tipos
principais de operações, e suas combinações:
• deslocamento temporal;
• escalonamento temporal;
• reflexão temporal.
Antes de estudar as operações acima citadas, cabe resgatar o
significado em português de alguns termos matemáticos, que
serão utilizados até o fim deste curso, devendo ficar claro desde já
o significado dos mesmos. Vejamos a tabela contendo alguns:

Matemática Português
t instante de tempo qualquer ou instante atual *
t –2 dois segundos antes do instante atual
t +2 dois segundos depois do instante atual
-t Instante de tempo reverso
t ∈ ℜ para todo instante de tempo
(t) calculado em um instante de tempo qualquer
s(t) sinal s calculado em um instante qualquer de tempo
s() o valor do meu sinal s calculado em um instante .... ou
o sinal s em ...
s(t)=5
sinal s vale 5 ou
sinal s para todo instante de tempo é 5 ou
sinal é calculado como 5
x(t) entrada de um sistema em um instante qualquer de tempo ou
valor do sinal de entrada em um instante de tempo qualquer.
y(t) saída de um sistema em um instante qualquer de tempo
valor do sinal de saída em um instante de tempo qualquer.

Deslocamento temporal– Dado um sinal qualquer, x(t), a operação
de deslocamento temporal está associada a adiantar ou atrasar tal
sinal, sendo representada por x(t-a).
a>0 → deslocamento à direita, ou atraso, do sinal.
a<0 → deslocamento à esquerda, ou adiantamento, do sinal.
Sob o ponto de vista físico, observa-se que x(t) e x(t-a)
possuem as mesmas características, entretanto os dois
apresentam-se em instantes de tempo diferentes, um com relação
ao outro.

x(t) y(t)=x(t-2)
Entrada, x, em
um instante
qualquer,(t)
Saída, y, em um
instante
qualquer, (t)
Para entender melhor o que acontece, assumamos um sistema cuja
entrada vale x(t) e a saída y(t). Com y(t)=x(t-2).
A saída do sistema, y, em um instante qualquer, (t),
vale, =, a entrada, x, dois segundos antes, (t-2).

Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse sistema,
dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(t-2).
A saída do sistema em
um instante qualquer,
y(t), vale, =, a entrada, x,
dois segundos antes, (t—
2).
t
O que se deseja construir? A saída, y(t)!
Ou seja, para
cada instante de
tempo, (t), deve-
se achar quanto
vale a saída, y
t=-3 t=-2 t=-1 t=0 t=2 t=3 t=4t=1t=1,5t=2,5

Com base no gráfico anterior, observa-se que a saída y(t) está
atrasada com relação à entrada, ou foi deslocada para a direita do
sinal original, x(t). Lembrando que y(t)=x(t-2).
Uma outra forma de visualizar o que aconteceu é entender o
que está escrito em y(t)=x(t-2), ou seja:
dois segundos antes, (t-2).
A entrada do sistema, x,
em um instante qualquer,
(t), corresponde à saída, y,
calculada dois segundos
depois (t+2).
, ou em outras palavras x(t)=y(t+2)

x(t) y(t)=x(t+2)
Entrada, x, em
um instante
qualquer,(t)
Saída, y, em um
instante
qualquer, (t)
Vejamos, agora, o que acontece com um sistema do tipo:
y(t)=x(t+2).
vale, =, a entrada, x, dois segundos depois, (t+2).

dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(t+2).
dois segundos depois,
(t+2).
t
Ou seja, para
cada instante de
tempo, (t), deve-
se achar quanto
vale a saída, y
t=-3t=-2,5t=-2t=-1,5t=-1 t=0 t=1 t=2 t=3

adiantada com relação à entrada, ou foi deslocada para a esquerda
do sinal original, x(t). Lembrando que y(t)=x(t+2).
que está escrito em y(t)=x(t+2), ou seja:
dois segundos depois,
t+2.
dois segundos antes (t-2).
, ou em outras palavras x(t)=y(t-2)

Em resumo, a operação do deslocamento pode ser colocada
como:
AtrasaAdianta

Escalonamento temporal– Dado um sinal qualquer, x(t), a
operação de escalonamento temporal está associada a compressão
ou expansão de tal sinal, sendo representada por x(at), sendo a>0.
a < 1 → expansão do sinal.
a > 1 → compactação do sinal.
Para um sinal temporal, tal propriedade tem sua importância
associada à velocidade com a qual o sinal se repete. Por exemplo,
se considerar x(t) como a reprodução de uma fita cassete, x(2t) irá
reproduzir o mesmo sinal na metade do tempo.
Por modificar a escala do tempo, t, o escalonamento temporal
modifica também a distribuição do espectro de frequencia, f, deste
mesmo sinal, podendo suprimir ou adicionar freqüências.

x(t) y(t)=x(2t)
Entrada, x, em
um instante
qualquer,(t)
Saída, y, em um
instante
qualquer, (t)
Para entender melhor o que acontece, assumamos um sistema
cuja entrada vale x(t) e a saída y(t). Com y(t)=x(2t).
vale, =, a entrada, x, no dobro daquele instante, (2t).

dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(2t).
A saída do sistema em um
instante qualquer, y(t), vale, =,
a entrada, x, no dobro daquele
instante, (2t).
Ou seja, para
cada instante de
tempo, (t), deve-
se achar quanto
vale a saída, y
t=-3 t=-2 t=-1t=-0,5 t=2t=0t=0,5t=1
t

compactada de um fator de 2 com relação à entrada, x(t).
Lembrando que y(t)=x(2t).
que está escrito em y(t)=x(2t), ou seja:
no dobro deste instante,
(2t).
na metade desse tempo
(t/2).
, ou em outras palavras x(t)=y(t/2)

x(t) y(t)=x(t/2)
Entrada, x, em
um instante
qualquer,(t)
Saída, y, em um
instante
qualquer, (t)
Vejamos, agora, o que acontece com um sistema do tipo:
y(t)=x(t/2).
vale, =, a entrada, x, na metade daquele instante, (t/2).

dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(t/2).
instante qualquer, y(t), vale, =,
a entrada, x, na metade
daquele instante, (t/2).
Ou seja, para
cada instante de
tempo, (t), deve-
se achar quanto
vale a saída, y
t=-3t=-2 t=-1 t=2
t=0
t=1
t

expandido de um fator de 2, com relação ao sinal original, x(t).
Lembrando que y(t)=x(t/2).
que está escrito em y(t)=x(t/2), ou seja:
na metade deste tempo,
t/2.
no dobro deste tempo
(2t).
, ou em outras palavras x(t)=y(2t),

Em resumo, a operação do deslocamento pode ser colocada
como:

Reflexão temporal– Dado um sinal qualquer, x(t), a operação de
reflexão temporal está associada ao reflexo do sinal com relação
ao eixo da ordenada, gerando x(-t).
x(-t) → reflexão do sinal x(t).

x(t) y(t)=x(-t)
Entrada, x, em
um instante
qualquer,(t)
Saída, y, em um
instante
qualquer, (t)
Para entender melhor o que acontece, assumamos um sistema cuja
entrada vale x(t) e a saída y(t). Com y(t)=x(-t).
vale, =, a entrada, x, no oposto daquele instante, (-t).

dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(-t).
instante qualquer, y(t), vale,
=, a entrada, x, no oposto
daquele instante, (-t).
y(t)

Embora existam as três operações básicas vistas
anteriormente, na prática, entretanto, é mais comum escrever
combinações destas.
Para isso, pode-se seguir o seguinte esquema, para o caso
genérico x(at – b):
1. Deslocar x(t) por b para obter x(t-b)= m(t);
2. Efetuar o escalonamento de a sobre m(at).
Ex: Mostre porque pode-se efetuar os passos 1 e 2 acima para
generalizar o comportamento de um novo sinal, y(t)=x(at-b).

Ex: Dado o sinal abaixo, efetue as seguintes operações: x(-t-2),
x(-2t), x(-t+2), x(t/3 -2), x(-2t +3), x(2(t +1)), x(-2(t+1)).

Alguns sinais úteis
No estudo de sinais é fundamental o conhecimento de alguns
sinais básicos, como degrau, impulso unitário e exponenciais. Em
seguida, vejamos as definições matemáticas e suas representações
gráficas.
• Degrau unitário, u(t)– Especialmente útil para descrever sinais
com diferentes descrições matemáticas em diferentes segmentos
de tempo. Além disso, uma outra aplicação está relacionada a
situações em que um sistema, ou mesmo um sinal, muda de
comportamento instantaneamente.



<
≥
=
0t,0
0t,1
)(tu

• Impulso unitário, δ(t)– É uma das mais importantes funções no
estudo de sinais e sistemas. Existem diversas formas de definí-lo,
pois o importante não é a sua forma, mas a sua propriedade de
que sua duração efetiva tende a zero enquanto que a sua área
permanece unitária. Deste modo, o sinal impulso pode ser
denominado como uma função generalizada, ou seja, o seu efeito é
mais importante que os seus valores.




=
≠=
∫
∞+
∞−
1)(
0t,0)(
dtt
t
δ
δ

Na prática, a função impulso pode ser definida de diversas
maneiras. Abaixo, estão algumas ilustradas.
• Função exponencial, est
Considerando s= σ + jω, pode-se
utilizar tal forma para descrever uma série de outros sinais
especialmente úteis. São eles:
1. Constante (s=0)
2. Uma exponencial monotônica eσt
(ω=0)
3. Senóides (σ=0, s=±jω)

Sinais reais denominados senoidais podem ser escritos da
seguinte maneira:
e o recíproco do período fundamental T0 é chamado frequencia
fundamental f0:
)cos()( 0 θω +⋅= tAtx
onde A é a amplitude (real), ω0 é a frequencia angular expressa em
radianos por segundo, e θ é a fase expressa em radianos ou graus.
O sinal senoidal é periódico, com período fundamental:
0
0
2
ω
π
=T
(Hz)Hertzemmedido,
1
0
0
T
f =

4. Senóides variando exponencialmente, eσt.
cos(ωt)

• Degrau unitário discreto, u[n]– Seu uso e aplicações são
semelhantes ao degrau unitário contínuo.



<
≥
=
0n,0
0n,1
][nu
• Impulso unitário discreto, δ[n]– Seu uso e aplicações são
semelhantes ao impulso unitário contínuo.



≠
=
=
0n,0
0n,1
][nδ

)cos(][ 0 θ+Ω⋅= nAnx
onde A é a amplitude (real), Ω0 é a frequencia angular e θ é a fase.
O sinal senoidal é periódico, com período fundamental:
inteiroumsendo,
2
0
0 kkN
Ω
=
π
• Senóides discretas– Seu uso e aplicações são semelhantes à
senóide contínua.
• Exponenciais complexas discretas– Seu uso e aplicações são
semelhantes às exponenciais vistas anteriormente.
n
Cnx α⋅=][
Baseado na afirmativa anterior, cabe ressaltar que é possível
definir sequencias discretas semelhantes às da figura seguinte.

Ex: Dê exemplos de C e α que possam representar os gráficos
acima.

Ex: Plote os sinais x(t) e x[n] abaixo.
)4()( −= tutx
0com),()( >⋅= ktksintx
tjtj
eetx 22
.5,0.5,0)( −
+=
)42()( −= tutx
)4()( −−= ttx δ
tjttjt
eeeetx ππ 22
.2.2)( −−−
+=
t
etx −
=)(
t
etx 5,0
)( −
=
2
)( −
= t
etx
|22|
)( −
= t
etx
)4(][ −−= nunx
0com),(][ >⋅= knksinnx
njnj
eenx 22
.5,0.5,0][ −
+=
)42/(][ −= nunx
)4(][ −= nnx δ
n
nx −
= 2][
n
nx −
= 5,0][
n
nx 2][ =
n
nx 2][ −=
n
nx )2(][ −=
n
nx )5,0(][ −=Ex: Quanto vale c + c*, onde c ∈
ℭ
Ex: Quanto vale x(t) + x(t) *, onde x(t) ∈ ℭ

Descrição analítica de sinais gráficos
Nos exemplos anteriores foram dados vários sinais e pedido
para expressá-los graficamente. Em outras ocasiões, na análise de
sinais em geral, também é interessante o procedimento contrário,
i.e., uma vez informada a apresentação gráfica conhecer a
expressão analítica que o gerou. Vejamos em seguida como fazer
isso.
Suponha







≥
<≤
<≤
=
c.c.,0
),(
),(
),(
)(
33
322
211
tttx
ttttx
ttttx
tx
Logo:
[ ] [ ]
)()(
)()()()()()()(
33
322211
ttutx
ttuttutxttuttutxtx
−⋅
+−−−⋅+−−−⋅=

que também pode ser escrita como:
com
)()()()()()()( 332211 ttutfttutfttutftx −⋅+−⋅+−⋅=
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ])()()()(
...)()()()(
...)()()()(
3321
3221
211
ttutftftf
ttuttutftf
ttuttutftx
−⋅++
+−−−⋅+
+−−−⋅=





−=
−=
=
)()()(
)()()(
)()(
232
122
11
txtxtf
txtxtf
txtf
Por último, caso o sinal seja expresso desta última forma,
pode-se reconstruí-lo como:
Agora eu já sei!! Dado o
gráfico de x(t), basta usar estas
duas fórmulas para escrevê-lo
analiticamente!
E essa para gerar o gráfico em
seu respectivo intervalo!

Para não haver dúvidas, é possível facilmente definir um
procedimento para o caso gráfico → expressão analítica.
1. Determine os pontos críticos, onde há mudança de função;
2. Escreva os pontos em ordem crescente;
3. Escreva os respectivos degraus para cada ponto (já
ordenados);
4. Escreva, de preferência no gráfico, quanto vale x(t) em cada
intervalo acima;
5. Multiplique cada degrau pela diferença entre a função
posterior e a anterior ao respectivo ponto crítico.

Do mesmo, também é possível para o caso expressão
analítica → gráfico.
1. Determine os pontos críticos, a partir das funções degrau, e marque-
os no gráfico;
2. Reescreva o sinal x(t) ordenando os degraus de forma crescente;
3. Escreva a expressão que multiplica cada função degrau;
4. Antes do primeiro ponto crítico, o gráfico é nulo;
5. No 1° intervalo, o gráfico será a 1ª expressão citada anteriormente;
6. No 2° intervalo, o gráfico será a soma da 1ª e 2ª expressões citadas
anteriormente;
7. No 3° intervalo, o gráfico será a soma da 1ª, 2ª e 3ª expressões
citadas anteriormente;
8. Continuar até acabarem todas as expressões.

Ex: Dado o gráfico em seguida, encontre o sinal analítico x(t).
Determine os pontos críticos onde
há mudança de função
1 0 -1
Escreva os pontos em ordem
crescente
-1 0 1
Escreva os respectivos degraus já
ordenados
u(t+1) u(t) u(t-1)
Escreva, de preferência no gráfico,
quanto vale x(t) em cada intervalo
acima;
0
1
t
0
Multiplique cada degrau pela
diferença entre a função
posterior e a anterior ao
respectivo ponto crítico.u(t+1).(1 - 0) u(t) .(t - 1) u(t-1) .(0 – t)

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