1. Didáctica de los
Números Enteros
*Números enteros. Matemáticas para maestros de
Educación Primaria. Ed. Pirámide, 2011.

2. 1. Número entero y currículo
 Parece apropiado que los niños y niñas descubran las distintas
ampliaciones de los campos numéricos, no como estructuras
matemáticas rigurosas, sino en función de un uso progresivo y natural,
atendiendo a su dificultad intrínseca.
 En este sentido, chicos y chicas tienen que trabajar…
 en un primer nivel con los números naturales que se usan para
contar los elementos de una colección, descubrir sus operaciones y
propiedades, y realizar cálculos prácticos con ellos (Primer ciclo).
 en un segundo nivel deben alcanzar cierto conocimiento y manejo
de los números racionales, en su significado de números
fraccionarios primero y otros significados más tarde (2º y Tercer
ciclo).
 en un tercer paso, requieren descubrir el conjunto de los enteros
como aquellos números que permiten abordar y dar respuesta a
otras situaciones familiares, como son todas aquellas relacionadas
con los números negativos en la vida cotidiana (Tercer ciclo).

3. 1. Número entero y currículo
 Parece apropiado que los niños y niñas descubran las distintas
ampliaciones de los campos numéricos, no como estructuras
matemáticas rigurosas, sino en función de un uso progresivo y natural,
atendiendo a su dificultad intrínseca.
Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se
establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria.
ORDEN de 10 de agosto de 2007, por la que se desarrolla el
currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía

4. 2. Aspectos históricos
A pesar de que en la actualidad puedes encontrar números negativos
representando muchas situaciones en la vida cotidiana, debes saber
que su aparición fue bastante posterior a la de los números
fraccionarios. Los n. enteros necesitan de la existencia del cero, algo
que era ajeno a muchas culturas antiguas. Los primeros en usar el
cero fueron los hindúes y los mayas.

5. 2. Aspectos históricos
Las cantidades negativas fueron utilizadas en China y en la India desde
tiempos remotos (s. V).
Para los chinos, el mundo era un movimiento constante en busca del
equilibrio entre fenómenos opuestos.
Para los hindúes, los números negativos tenían un sentido práctico: el
de las deudas. Poco a poco, el sistema de numeración creado por los
hindúes, que incluía al cero y a los números negativos, fue adoptado por
los europeos, los que se negaron a aceptar la existencia estos números
durante muchos años, a los que le llamaban números “absurdos”.

6. 2. Aspectos históricos
Así, hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptados
universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los
números negativos “falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió
exhaustivamente. Jhon Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética Infinitoum
(1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos
entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que
cero”.
Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung
Zur Algebra (1770) trata de “demostrar” que (-1).(-1) = +1

7. 3. Situaciones y contextos
Cuando se aborda el estudio de los números enteros en el aula, el
objetivo inicial y fundamental debe ser dotar a estos “nuevos” números
de significado, estableciendo para ello lazos entre este tipo de números
y la realidad cercana a los escolares.
Será a través de estas situaciones como los chicos y chicas descubrirán
la importancia del cero, intuirán la conveniencia de utilizar signos
distintos para distinguir entre los números positivos y los negativos,
deducirán que los números enteros pueden ordenarse a pesar de que no
existe un primer número entero y se acercarán de forma natural a las
operaciones con números enteros, entre otras cuestiones importantes.
Solo en la medida en que los alumnos y alumnas dominen estos
contextos tendrá sentido establecer la notación simbólica de los números
enteros, profundizar en las operaciones con ellos y en sus propiedades.

8. 3. Situaciones y contextos
Entre las situaciones que se suelen utilizar para introducir los números
enteros encontramos cuatro grupos generales: fenómenos físicos,
situaciones contables, situaciones temporales o cronológicas y contextos
matemáticos.
A continuación se describen e identifican estos fenómenos y se
muestran ejemplos de ellos….

9. 3. Situaciones y contextos
3.1. Fenómenos físicos
Situación 1: Depósitos
Un depósito se está llenando de agua de
manera que el nivel sube a razón de 3 cm
por minuto. A las doce del medio día el agua
se encuentra en un punto señalado por A en
el tubo auxiliar.
Respecto al nivel marcado por A ¿qué altura
alcanzará el agua a las doce y cuarto? ¿qué
altura alcanzaba a las doce menos diez?
A las doce y media se cierra el grifo de
llenado y se abre un desagüe que vacía el
depósito a razón de 2 cm cada minuto, ¿qué
altura alcanza el agua a la una menos diez?

10. 3. Situaciones y contextos
3.1. Fenómenos físicos
Situación 2: Temperaturas
a) ¿Cuál es la mayor temperatura que puede medir el
termómetro de la imagen? ¿Y la menor?
b) Un día de invierno, las temperaturas mínimas
registradas en las capitales de provincias andaluzas
fueron las indicadas en la siguiente tabla:
¿En que ciudad hizo más frío?
¿En qué ciudad se registró una temperatura mínima más
alta?
¿Cuántos grados de diferencia hubo entre las
temperaturas mínimas de estas dos ciudades?

11. 3. Situaciones y contextos
3.2. Fenómenos contables y operaciones comerciales
Situación 3: Movimientos de cuentas
El movimiento de una cuenta bancaria durante ciertos días del mes de
mayo viene reflejado en la siguiente tabla:
Completa la columna “Saldo” detrás de cada operación

12. 3. Situaciones y contextos
3.2. Fenómenos contables y operaciones comerciales
Situación 4: Planificación comercial
Un comerciante ha comprado 30 trajes a 200 euros cada uno, pero ha
tenido que vender 20 a 180 euros. ¿A qué precio tiene que vender los
trajes que le quedan para no perder dinero? ¿Y para ganar 500 euros?

13. 3. Situaciones y contextos
3.3. Fenómenos con valor de referencia destacado
Situación 5: Cambios de posición
Al final del mes de febrero la canción preferida de Beatriz se encuentra en la lista
de “Los cuarenta principales” un puesto más abajo que al principio del mismo
mes. En la primera semana del mes bajó tres posiciones, en la segunda bajó dos
y en la tercera recuperó tres posiciones. En la última semana, ¿subió o bajó
posiciones?, ¿cuántas? La canción terminó el mes de enero en tercera posición
del ranking y la lista se actualiza los domingos por la tarde, ¿en qué lugar se
encuentra la canción preferida de Beatriz el jueves 18 de febrero?

14. 3. Situaciones y contextos
3.3. Fenómenos con valor de referencia destacado
Situación 6: Alturas respecto el nivel del mar
Una gaviota sobrevuela la playa a una altura de 12 metros sobre el agua;
Juan se encuentra buceando a una profundidad de 8 metros, y una
avioneta vuela a una altura de 50 metros sobre el nivel del mar.
Dibuja un esquema con el enunciado descrito en la situación 6. Marca
con números positivos o negativos la posición de cada uno de los datos.

15. 3. Situaciones y contextos
3.3. Fenómenos con valor de referencia destacado
Situación 7: El ascensor (juego)
Planteamos esta situación como un juego de tablero para varios
jugadores. El tablero es el representado en la tabla de la izquierda y
necesitamos además un dado numerado con +1, +2, +3, -1, -2 y -3 y
una ficha de distinto color para cada jugador.
Reglas del juego:
Para empezar todos los jugadores colocan sus fichas en el tercer
piso. Por turnos, lanzan el dado y mueven sus fichas tantos pisos
arriba o abajo, según indique el dado.
Cuando el resultado de una jugada suponga una “salida del edificio”,
se pasará el turno sin mover.
Gana quien consiga llevar el ascensor a la planta baja.
Este y otros juegos similares permiten que los estudiantes se
familiaricen con situaciones en las que se pasa con frecuencia a
“uno y otro lado” del cero.

16. 3. Situaciones y contextos
3.3. Fenómenos con valor de referencia destacado
Situación 8: El ascensor (problemas)
En el mismo contexto se pueden plantear situaciones
problemáticas, como por ejemplo:
a) Un vecino se encuentra en el 5º piso y va a recoger su
coche que se encuentra en el tercer sótano. ¿Cuántas
plantas debe bajar?
b) A continuación una señora llama al ascensor desde el
sótano nº 1. ¿El ascensor sube o baja)? ¿Cuántas plantas?
Si para ir a su apartamento debe subir 8 plantas, ¿en qué
piso está su vivienda?

17. 3. Situaciones y contextos
3.3. Fenómenos con valor de referencia destacado
Situación 9: Cronología
Cleopatra nació en el año 69 a. C., heredó el trono de Ptolomeo XII en
el año 51 a. C. Y murió con 39 años.
a) ¿Con cuántos años fue reina?
b) ¿En qué año murió?

18. 3. Situaciones y contextos
3.4. Situaciones matemáticas
Situación 10: Coordenadas en el plano cartesiano (I)
Indica las coordenadas de los vértices de cada uno de los triángulos siguientes:

19. 3. Situaciones y contextos
3.4. Situaciones matemáticas
Situación 11: Coordenadas en el plano cartesiano (II)
El mosquito P se mueve en línea recta del punto (–4, +3) al (+5, –3) y luego al
(+6, 0) y su posquita M, su mosquita preferida, parte del (0, –3), pasa por (+4, +1)
y descansa en el (+5, –1). Dibuja las trayectorias rectilíneas en un plano
cartesiano y averigüa si se encuentran indicando, en su caso, las coordenadas del
punto de encuentro.

20. 3. Situaciones y contextos
3.4. Situaciones matemáticas
Situación 12: Coordenadas en el plano cartesiano (II)
Los números enteros como conjuntos de fichas (Krause, 1991)
Podemos representar a los números enteros como conjuntos de fichas de dos
colores, por ejemplo, blancas y negras. Las blancas tendrán sentido positivo y las
negras negativo.
Las siguientes situaciones representarán al número –5:

21. 3. Situaciones y contextos
3.4. Situaciones matemáticas
Situación 12: Coordenadas en el plano cartesiano (II)
Pues bien:
Encuentra tres representaciones del número entero +3.
Piensa una definición de suma de números enteros basada en este tipo de
representaciones.
Realiza la operación (–5) + (+3) utilizando tres elecciones distintas de los
representantes de cada sumando. La suma que has definido ¿es independiente de los
representantes?
¿Cuál puede ser la representación más sencilla (representante canónico) de cada
número entero?

22. 4. De la familiarización a la
formalización
A nivel metodológico parece adecuado que en la enseñanza obligatoria se
introduzca este conjunto numérico de manera natural e intuitiva y utilizar
esta cercanía para la familiarización y descubrimiento de las operaciones y
propiedades iniciales. Pero en algún momento, aunque desde luego no en
la E. Primaria, habrá que iniciar la formalización que debe planificarse y
ponderarse de manera racional, vinculada siempre que sea posible hacia
cuestiones prácticas y atractivas para el alumnado.
A grandes rasgos, y en función de las situaciones de partida, podemos
clasificar las distintas vías de aproximación al conjunto de los números
enteros Z en modelos aritméticos, algebraicos y geométricos.
En esta sección se presenta a modo de ejemplo y de manera sucinta un
modelo de formalización aritmético.

23. 4. De la familiarización a la
formalización
Modelo aritmético basado en las tablas de restar:
En este modelo inductivo y experimental se definen los números enteros y sus
operaciones a partir de las tablas construidas para los números naturales. Así por
ejemplo, los números positivos se identifican con los números naturales y para
introducir los números negativos se parte de las tablas de restar en N.

24. 4. De la familiarización a la
formalización
Modelo aritmético basado en las tablas de restar:
Se observa que diferencias como 0–1, 1–2, 2–3, etc., no tienen como resultado un
número natural; también se interpreta que deberían tener el mismo resultado. Para
dar solución a estas limitaciones se les asigna un nuevo ente matemático,
denominado “opuesto de 1”, que se simboliza por –1.

25. 4. De la familiarización a la
formalización
Modelo aritmético basado en las tablas de restar:
Se observa que diferencias como 0–1, 1–2, 2–3, etc., no tienen como resultado un
número natural; también se interpreta que deberían tener el mismo resultado. Para
dar solución a estas limitaciones se les asigna un nuevo ente matemático,
denominado “opuesto de 1”, que se simboliza por –1.
A las diferencias 0–2, 1–3, 2–4, etc., se les asigna el “opuesto de 2”, que se
simboliza por –2, y así sucesivamente se pueden construir los números negativos
como valores simétricos de los naturales.

26. 4. De la familiarización a la
formalización
Modelo aritmético basado en las tablas de restar:
Números enteros
De forma general, para cada número natural n hemos definido su opuesto –n, con
la condición: n + (–n) = 0. El conjunto de todos los números enteros, que se escribe
Z, es el formado por los números positivos (naturales) y por los números negativos
que acabamos de definir:
Z = { …, –n, …., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …., n, ….}
Esta nueva secuencia numérica formada por los números negativos cuenta con una
relación de orden. En las columnas de la tabla 1 observamos que todos los
números van disminuyendo una unidad por lo que se puede inferir:
… <–5 < –4 < –3 < –2 < –1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 <…
En ocasiones, los números positivos se representan con el signo “+” delante; así la
notación +3 indica el número “positivo 3”. Pero lo usual es que los números
positivos se escriban sin el signo, ya que se identifican con los naturales.

27. 4. De la familiarización a la
formalización
Modelo aritmético basado en las tablas de restar:
Suma de enteros
Para definir la suma de dos números enteros cualesquiera se recurre a la misma
estrategia: comenzar con situaciones reales, plantear problemas matemáticos a
partir de ellos e inferir generalizaciones a partir de un modelo como el siguiente:

28. 4. De la familiarización a la
formalización
Modelo aritmético basado en las tablas de restar:
Suma de enteros
Se observa que en las columnas 3ª, 4ª y 5ª se conocen los resultados donde van
apareciendo los términos de la secuencia numérica en el orden establecido y en
sentido descendente. Resulta fácil inferir los términos de las dos últimas filas de
esta tabla, inferencia que puede extenderse al resto de columnas.

29. 4. De la familiarización a la
formalización
Modelo aritmético basado en las tablas de restar:
Suma de enteros
Si observamos los resultados de la tabla ya completa, las reglas generales, válidas
para la suma de dos números enteros cualesquiera, dicen que:
La suma de dos positivos es siempre otro positivo, cuyo valor es la suma de sus
valores:
(a) + (b) = (a + b)
La suma de dos negativos es siempre un negativo, cuyo valor es la suma de sus
valores: (–a) + (–b) = – (a + b).
La suma de un positivo (+a) y un negativo (–b) tiene tres soluciones posibles:
el valor del positivo es mayor que el del negativo, a > b, entonces a + (–b) = a–b
el valor del negativo es mayor que el positivo, b > a, entonces a + (–b) = – (b–a)
positivo y negativo tiene el mismo valor a = b, entonces a + (–a) = 0

30. 4. De la familiarización a la
formalización
Modelo aritmético basado en las tablas de restar:
Producto de enteros
En el caso de la multiplicación no hay situaciones concretas que puedan ilustrar
todas las reglas del producto. Sí que es posible establecer las definiciones
apropiadas a partir de la siguiente tabla construida a partir de propiedades
conocidas del producto de n. naturales:

31. 4. De la familiarización a la
formalización
Modelo aritmético basado en las tablas de restar:
Producto de enteros
A partir de estos datos se observan regularidades de orden que sirven para inferir
los datos que faltan y completar la tabla. De este modo, es posible definir de
manera generalizada el producto de dos números enteros cualesquiera.
Si a y b son positivos:
(a) x (b) = (a x b) ; (–a) x (–b) = (a x b) ; (a) x (–b) = – (a x b)