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- 12. 使用上の注意 モチベーション 抽象的な数学的構造を解説したい！ できるだけ、日常生活で出会うような、具体的な例で。 、、、誰の日常？ 6
- 13. 用法用量を守って 方法 世の中には数学あるいは数式自体にアレルギーを発症 する患者さんが割りと大勢いらっしゃることは有名 数学者（逸範人）の日常ではなく一般人の日常で出会 えるような例を、無理矢理、探してくることに 7
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- 15. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延、内包） 双対性 群論（対称性） to day ’s menu 8
- 17. 圏論 数学的構造とその間の関 係を抽象的に扱う数学理 論の 1 つ(Wikipedia) Proof (bijective) !α ∈ Nat(A(A,−), F), let us define θF,A(α) := αA(1A). (1.21) !a ∈ FA,B ∈ |A|, let us define a mapping as follows, !f ∈ A(A,B), τ (a)B : A(A,B) → FB; f%→ τ (a)B(f) := F(f)(a). (1.22) Then τ (a) is a natural transformation, because, !g ∈ A(B,C), F(g) ◦ τ (a)B(f) = F(g) ◦ F(f)(a) ∵ eq.(1.22) (1.23) = F(g ◦ f)(a) ∵ F is a functor (1.24) = τ (a)C(g ◦ f) ∵ eq.(1.22) (1.25) = τ (a)C ◦ A(A, g)(f) ∵ eq.(1.17) (1.26) Thus we get F(g) ◦ τ (a)B = τ (a)C ◦ A(A, g) (1.27) that is, τ (a) : A(A,−) → F is a natural transformation: τ (a) ∈ Nat(A(A,−), F) (1.28) A(A,B) τ(a)B ! A(A,g) "A(A,C) τ(a)C ! FB F(g) "FC (1.29) In order to prove that θF,A and τ are inverse to each other, let us first consider, !a ∈ FA, θF,A ◦ τ (a) = τ (a)A(1A) ∵ eq.(1.21) (1.30) = F(1A)(a) ∵ eq.(1.22) (1.31) = 1FA(a). (1.32) And !f ∈ A(A,B), (τ ◦ θF,A(α))B (f) = τ (θF,A(α))B (f) (1.33) = τ (αA(1A))B(f) ∵ eq.(1.21) (1.34) = F(f)(αA(1A)) ∵ eq.(1.22) (1.35) = αB ◦ A(A, f)(1A) ∵ α ∈ Nat(A(A,−), F)(1.36) = αB(f ◦ 1A) ∵ eq.(1.17) (1.37) = αB(f). (1.38) 28 10
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- 19. 圏論は 数学をするための 「高級言語」 蓮尾一郎 （東大の先生） 11
- 20. 圏論は 数学をするための 「高級言語」 蓮尾一郎 （東大の先生） アーチェリーという人も！ それくらい、やじるし、なのです 11
- 21. abstract nonsense 抽象的すぎてまるで意味が無い！と揶揄される ほど 数学では抽象的であるというのは適用範囲が広 いという意味で実は歓迎されることなのだが “～、その局面局面でフォーカスしたい抽象度に ぴったりの数学的コトバが提供される” 12
- 22. abstract nonsense 抽象的すぎてまるで意味が無い！と揶揄される ほど 数学では抽象的であるというのは適用範囲が広 いという意味で実は歓迎されることなのだが “～、その局面局面でフォーカスしたい抽象度に ぴったりの数学的コトバが提供される” 12 京都大学数理解析研究所の小嶋泉先生のお言葉
- 23. 圏の定義 対象と射があって、、、 やじるし、、、 13
- 24. 圏の定義 objects 対象と射があって、、、 やじるし、、、 13
- 25. 圏の定義 objects arrows 対象と射があって、、、 やじるし、、、 13
- 26. 定義を与えよ、さすれば証明せん 美味しい料理を語るのに 普通は各素材の重さやカ ロリーは述べない 味は？色合いは？器との 相性は？などなど でも数学では、、、 14
- 27. 諦めよう！ 数学は厳密性が命 形式的に、一応、建前として、定義をちゃんと 説明します あとで具体例でもってしっかり味わいましょう 15
- 28. 諦めよう！ 数学は厳密性が命 形式的に、一応、建前として、定義をちゃんと 説明します （厳密には嘘です） あとで具体例でもってしっかり味わいましょう 15
- 29. 圏の定義 「対象」と「射」と呼ばれる集まりがある 対象はモノ、射はやじるし 射は、しかるべき、掛け算の規則が伴っている 16
- 30. 圏の定義 「対象」と「射」と呼ばれる集まりがある 対象はモノ、射はやじるし 射は、しかるべき、掛け算の規則が伴っている 、、、は？ 16
- 31. まじめにやるとこんな感じ 17
- 32. 掛け算の規則 すべてのモノには掛け算 の単位元の 1 がくっつい ている 結合法則、つまり掛け算 は右からまとめても左か らでも大丈夫 18
- 33. 掛け算の規則 A,B… すべてのモノには掛け算 の単位元の 1 がくっつい ている 結合法則、つまり掛け算 は右からまとめても左か らでも大丈夫 18
- 34. 掛け算の規則 A,B… すべてのモノには掛け算 の単位元の 1 がくっつい ている 結合法則、つまり掛け算 は右からまとめても左か らでも大丈夫 associativity 18
- 35. 掛け算の規則 A,B… すべてのモノには掛け算 の単位元の 1 がくっつい ている 結合法則、つまり掛け算 は右からまとめても左か らでも大丈夫 associativity h (g f) = (h g) f 18
- 36. これだけ 19
- 38. 圏の例 要は、やじるしがあって、そのやじるしに掛け算の 演算を上手に対応付けられれば、圏になるかも、、、 しりとり、なんてどうでしょう？ 20
- 39. 元ネタ： はじめての圏論 その第1歩：しりとりの圏 http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20060821/1156120185 21
- 40. 元ネタ： はじめての圏論 その第1歩：しりとりの圏 http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20060821/1156120185 ちょいとここいらでしりとりしてみましょう 21
- 42. しりとりの圏 モノ：ひらがな全体（あ、い、う、～） やじるし：ひらがなで作られた文字列 「る」責めが勝利のパターン 22
- 43. しりとり再考 、、、ローカルルール多すぎ http://ja.wikipedia.org/wiki/しりとり ! 数学的に扱いやすいように少々改変 23
- 45. ルール改変 文字列のあたまとおしりが、ちゃんとしてれば、良いとする すなわち、日本語の意味的なフィルターはしない したがって、 「りんご」、「ごりら」、「らぬぱっしょむ」 などもルール的にはおっけー 24
- 46. 掛け算の規則 掛け算： 「りんご」×「ごりら」＝「りんごりら」 単位元は一文字の文字列： 「り」×「りんご」＝「りんご」 「りんご」×「ご」＝「りんご」 25
- 47. 結合法則 このように掛け算を定義すると、結合法則は自 動的に満たされる： 「りんご」×「ごりら」×「らっぱ」＝「りんご」×「ごりらっぱ」 ＝「りんごりら」×「らっぱ」＝「りんごりらっぱ」 26
- 48. 結合法則 このように掛け算を定義すると、結合法則は自 動的に満たされる： 「りんご」×「ごりら」×「らっぱ」＝「りんご」×「ごりらっぱ」 ＝「りんごりら」×「らっぱ」＝「りんごりらっぱ」 26
- 49. しりとりの圏 しりとりの圏は モノ：ひらがな やじるし：ひらがなの文字列 掛け算：文字列の結合 27
- 50. しりとりの圏 しりとりの圏は モノ：ひらがな やじるし：ひらがなの文字列 掛け算：文字列の結合 しりとりの圏に 日本語意味フィルターで判定条件をつけてあげれば おおよそ既存のしりとりになる 27
- 51. 言語としての圏論 “対象、射としてとる概念の抽象度をいろいろ変 えることによって、その局面局面でフォーカス したい抽象度にぴったりの数学的コトバが提供 される” 28
- 52. 言語としての圏論 “対象、射としてとる概念の抽象度をいろいろ変 えることによって、その局面局面でフォーカス したい抽象度にぴったりの数学的コトバが提供 される” 28 京都大学数理解析研究所の小嶋泉先生のお言葉
- 53. 言語としての圏論 “対象、射としてとる概念の抽象度をいろいろ変 えることによって、その局面局面でフォーカス したい抽象度にぴったりの数学的コトバが提供 される” 28 京都大学数理解析研究所の小嶋泉先生のお言葉 しりとりという数学対象にぴったり合った、数学的な 言葉であることが感じていただけたでしょうか？
- 54. 関手 圏の間の対応のこと(Wikipedia) 例えばしりとりの圏を英語 に翻訳してみると、、、 29
- 55. 関手 functor 圏の間の対応のこと(Wikipedia) 例えばしりとりの圏を英語 に翻訳してみると、、、 29
- 56. 英訳せよ りんご： ごりら： 30
- 57. 英訳せよ りんご： ごりら： apple gorilla 30
- 58. 英訳せよ りんご： apple ごりら： gorilla 英語になるとしりとりになっていない！ したがって、英訳は関手ではない 30
- 60. 買い物の圏 モノ：財布の残金 やじるし：買いたいものの値段 掛け算規則：買いたいものの値段の和 単位元：ただでもらえるもの 32
- 61. 買い物の圏 モノ：財布の残金 やじるし：買いたいものの値段 掛け算規則：買いたいものの値段の和 単位元：ただでもらえるもの Take it free! 32
- 63. 買い物の圏 要は金額の減少列なので、圏論 的にはあまり面白く無い 円建ての買い物から ドル建てのshoppingへの 両替を考えてみよう 33
- 64. 両替 円から＄への両替 手数料は取らないものとす る 前時代的にレートを固定 34
- 65. 両替 円から＄への両替 手数料は取らないものとす る 前時代的にレートを固定 $1 = ¥100 34
- 66. 円建て買い物時の矢印のネットワー クと、ドル建ての買い物の構造が 一緒であることがわかる （これを構造を保存する、という） 35
- 67. 円建て買い物時の矢印のネットワー クと、ドル建ての買い物の構造が 一緒であることがわかる （これを構造を保存する、という） このときドル建ての両替は 関手になっている、という 35
- 68. 円建て買い物時の矢印のネットワー クと、ドル建ての買い物の構造が 一緒であることがわかる （これを構造を保存する、という） このときドル建ての両替は 関手になっている、という さらにユーロからドルへの両替関手を考えると、 実は自然変換というものの例にもなっている 35
- 69. が、大胆に割愛 36
- 71. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延、内包） 双対性 群論（対称性） 37
- 72. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延、内包） 双対性 群論（対称性） 37
- 73. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延、内包） 双対性 群論（対称性） 37
- 74. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延、内包） 双対性 群論（対称性） 37
- 75. 集合論 現代数学の基礎理論 整数、実数からなんやらかんや らすべてのものがこの集合論か ら作られている、と言っても過 言ではない 38
- 76. set theory 集合論 現代数学の基礎理論 整数、実数からなんやらかんや らすべてのものがこの集合論か ら作られている、と言っても過 言ではない 38
- 77. 集合って、そもそもなに？ 39
- 78. 大雑把に言えばいくつかの「もの」 からなる「集まり」(Wikipedia) 要素の数が有限個なら、 ほとんど直感通り 要素零個の空集合や、無 限集合なんて恐ろしい子 もいる 40
- 79. 外延と内包 外延：列挙 内包：条件 内包はある概念がもつ共通な性質のことを指し、 外延は具体的にどんなものがあるかを指すもの (Wikipedia) 41
- 80. 外延性の公理：A と H が全く同じ 要素を持つのなら A と H は等しい A は一点集合と呼ばれるもので、要素はただひ とつ、阿曽沼のみ H は、、、 42
- 81. 外延性の公理：A と H が全く同じ 要素を持つのなら A と H は等しい A は一点集合と呼ばれるもので、要素はただひ とつ、阿曽沼のみ H は、、、 42
- 82. 外延性公理 外延性公理のお陰で、 ２つの集合が等しいかどうかは 要素をひとつひとつチェックし ていったらよい、ということに 43
- 83. 外延性公理を用いると、 これらの２つの集合は 等しい!? 44
- 84. 外延性公理を用いると、 これらの２つの集合は 等しい!? もちろん、複数のみかんが 区別が付くものであれば、 これら２つの集合は等しく ないということになる 44
- 85. 集合って簡単だけど、難しい 45
- 86. おまけ、空集合∅ 46
- 87. empty set おまけ、空集合∅ 46
- 88. おまけ、空集合∅ 外延：列挙 ０個要素を列挙すればよい empty set 46
- 89. empty set おまけ、空集合∅ 外延：列挙 ０個要素を列挙すればよい 内包：条件 例えば「4で割り切れる奇数の集合」、「身長が10 メートル以上あるヒトの集合」、「日本が統治する アメリカ合衆国の州の集合」などなどは全て同じ空 集合 46
- 90. empty set おまけ、空集合∅ I have no money! 外延：列挙 ０個要素を列挙すればよい 内包：条件 例えば「4で割り切れる奇数の集合」、「身長が10 メートル以上あるヒトの集合」、「日本が統治する アメリカ合衆国の州の集合」などなどは全て同じ空 集合 46
- 91. 外延と内包 このように、要素の数が少ないと、それを指し 示す条件は厳しく長いものになる 逆に要素の数が多いと、条件は緩くなる。 47
- 92. 外延と内包 このように、要素の数が少ないと、それを指し 示す条件は厳しく長いものになる 逆に要素の数が多いと、条件は緩くなる。 このような性質を、双対性とよぶ すなわち、外延と内包の間の双対性、みたいな 47
- 93. さらにおまけ 集合論～ 要素の列挙つまり 外延 圏論 ～ 射のネットワークつまり 内包 集合論と圏論もまたある種双対的な関係がある、と言える 48
- 94. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延、内包） 双対性 群論（対称性） 49
- 95. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延、内包） 双対性 群論（対称性） 49
- 96. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延、内包） 双対性 群論（対称性） 49
- 97. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延、内包） 双対性 群論（対称性） 49
- 98. 双対性 双対とは、互いに対になっ ている2つの対象の間の関 係である。2つの対象があ る意味で互いに「裏返し」 の関係にあるというよう なニュアンスがある（双 対の双対はある意味で “元 に戻る”）(Wikipedia) 50
- 99. 双対 右手を使わずに、左手を 表現してみよう 51
- 100. 双対 右手を使わずに、左手を 表現してみよう 左手を使わずに、右手を 表現してみよう 51
- 101. 双対 右手を使わずに、左手を 表現してみよう 左手を使わずに、右手を 表現してみよう 大雑把にいうと、このように 互いに相補的な関係を持つものの間柄を 双対的といったりする 51
- 102. 双対の例 右手と左手 外延と内包 粒子と波 電場と磁場 52
- 103. 双対の例 右手と左手 外延と内包 粒子と波 電場と磁場 duality 52
- 104. duality 双対の例 右手と左手 外延と内包 粒子と波 電場と磁場 ： 鏡像 ： 列挙と条件 ： フーリエ変換 ： 統一（電磁場、相対論） 52
- 105. duality 双対の例 右手と左手 外延と内包 粒子と波 電場と磁場 ： 鏡像 ： 列挙と条件 ： フーリエ変換 ： 統一（電磁場、相対論） 52 chirality
- 106. 双対を扱うのに丁度いい 矢印をいっきに全部逆に 向けてみよう 53
- 107. 双対を扱うのに丁度いい 矢印をいっきに全部逆に 向けてみよう 53
- 108. 双対を扱うのに丁度いい 矢印をいっきに全部逆に 向けてみよう 元の圏がうまく行っていれば 自動的にその双対も大丈夫 53
- 109. 双対を扱うのに丁度いい 矢印をいっきに全部逆に 向けてみよう 元の圏がうまく行っていれば 自動的にその双対も大丈夫 特に掛け算規則に注意 53
- 110. 双対を扱うのに丁度いい 矢印をいっきに全部逆に 向けてみよう 元の圏がうまく行っていれば 自動的にその双対も大丈夫 特に掛け算規則に注意 圏論は双対を扱うため！と言っても過言ではない 53
- 111. 買い物の圏の双対 レシート片手に返品して いったらよい 54
- 112. 買い物の圏の双対 レシート片手に返品して いったらよい 返品は買い物の双対！ 54
- 113. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延、内包） 双対性 群論（対称性） 55
- 114. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延、内包） 双対性 群論（対称性） 55
- 115. 群論 群の概念は、数学的対象 X から X への自己同型の集ま りの満たす性質を代数的に抽 象化することによって得られ る。 この集まりは X の対称性を 表現していると考えられ、結 合法則・恒等変換の存在・逆 変換の存在などがなりたって いる 56
- 116. 群論 群の概念は、数学的対象 X から X への自己同型の集ま りの満たす性質を代数的に抽 象化することによって得られ る。 この集まりは X の対称性を 表現していると考えられ、結 合法則・恒等変換の存在・逆 変換の存在などがなりたって いる group theor y 56
- 117. 群論 群の概念は、数学的対象 X から X への自己同型の集ま りの満たす性質を代数的に抽 象化することによって得られ る。 この集まりは X の対称性を 表現していると考えられ、結 合法則・恒等変換の存在・逆 変換の存在などがなりたって いる group theor y 案の定Wikipedia 56
- 118. 群、環、体 四則演算（和積差商）が出来るのが 体 和と積だけ 環（整数） 積と逆元 群 57
- 119. group, ring, field 群、環、体 四則演算（和積差商）が出来るのが 体 和と積だけ 環（整数） 積と逆元 群 57
- 120. group, ring, field 群、環、体 四則演算（和積差商）が出来るのが 体 和と積だけ 環（整数） 積と逆元 群 群とは 席替え、と思ったら大丈夫 57
- 121. group, ring, field 群、環、体 四則演算（和積差商）が出来るのが 体 和と積だけ 環（整数） 積と逆元 群 群とは 席替え、と思ったら大丈夫 57
- 122. 席替え、すなわち 席替えの連続を積だとみなすと、結合律が成り 立つ 席替えしない、という席替えがある（単位元） 元の席に戻すことが出来る（逆元） 58
- 123. 席替え、すなわち 席替えの連続を積だとみなすと、結合律が成り 立つ 席替えしない、という席替えがある（単位元） 元の席に戻すことが出来る（逆元） これがそのまま群です 58
- 126. ルール再掲 文字列のあたまとおしりが、ちゃんとしてれば、良いとする すなわち、日本語の意味的なフィルターはしない したがって、 「りんご」、「ごりら」、「らぬぱっしょむ」 などもルール的にはおっけー 60
- 127. しりとりの圏再考 したがって双対のやじる し「ごんり」とかも、元 の圏のやじるしに入って いるはず！ 61
- 128. しりとりの圏再考 したがって双対のやじる し「ごんり」とかも、元 の圏のやじるしに入って いるはず！ 日本語意味フィルター入ってないので！ 61
- 130. しりとりの圏改め、しりとりの群 とりあえず掛け算は、「りん ご」✕「ごりら」＝「りんご ごりら」に変更 連続する２つの文字は潰して よし、ただしあたまとおしり は除く、「りんごごりら」＝ 「りんりら」、「みみかき」 ＝「みかき」 このとき単位元は、「り」＝ 「りり」＝「りりり」＝、、、 63
- 131. New rules! しりとりの圏改め、しりとりの群 とりあえず掛け算は、「りん ご」✕「ごりら」＝「りんご ごりら」に変更 連続する２つの文字は潰して よし、ただしあたまとおしり は除く、「りんごごりら」＝ 「りんりら」、「みみかき」 ＝「みかき」 このとき単位元は、「り」＝ 「りり」＝「りりり」＝、、、 63
- 132. 逆元 「りんご」✕「ごんり」 ＝「りんごごんり」 ＝、、、＝「り」 「ごんり」✕「りんご」 ＝「ご」 64
- 133. 逆元 「りんご」✕「ごんり」 ＝「りんごごんり」 ＝、、、＝「り」 「ごんり」✕「りんご」 ＝「ご」 inverse 64
- 134. inverse 逆元 「りんご」✕「ごんり」 ＝「りんごごんり」 ＝、、、＝「り」 「ごんり」✕「りんご」 ＝「ご」 しりとりの群の出来上がり 64
- 135. 対称性 対称性、又はシンメトリー は、ある変換に関して不 変である性質である (Wikipedia) 変換は群構造を持つことが多い！ つまり、掛け算と単位元 65
- 136. 右手から左手 鏡像変換 カイラリティとかキラリ ティとか 66
- 137. 右手から左手 鏡像変換 カイラリティとかキラリ ティとか 鏡像変換は、二回やったら元通り 66
- 138. 双対性再掲 双対とは、互いに対になっ ている2つの対象の間の関 係である。2つの対象があ る意味で互いに「裏返し」 の関係にあるというよう なニュアンスがある（双 対の双対はある意味で “元 に戻る”）(Wikipedia) 67
- 139. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延性、内包性） 双対性 群論（対称性） 68
- 140. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延性、内包性） 双対性 群論（対称性） 68
- 141. 今日やること 圏論（圏、関手） 集合論（外延性、内包性） 双対性 群論（対称性） 68
- 142. おしまい 69
- 143. まとめ 圏論の柔軟さ、そして集合論から始まる数学的 構造物の一端をかいつまんで説明してみました、 いかがだったでしょうか？ 各所にある、ある種の構造と他のモノへの相似 的な対応を抽象化して取り出したのが数学です、 それらの構造をもつ身近な例でもって数学の面 白さを感じて貰えれば幸いです 70
- 144. 最後に 自然物をモデリングするのが物理学で、その言 語は数学を用います フィボナッチ数列のように現象自体のモデルも 興味深いが、しりとりの圏のようにフレームワー クに数学的なモデルがあるのはもっとおもしろ そう 71
- 145. 最後に 自然物をモデリングするのが物理学で、その言 語は数学を用います 1,1,2,3,5,8,13… フィボナッチ数列のように現象自体のモデルも 興味深いが、しりとりの圏のようにフレームワー クに数学的なモデルがあるのはもっとおもしろ そう 71