Este documento describe ecuaciones paramétricas y cómo se pueden usar para representar curvas. Explica que las ecuaciones paramétricas permiten describir una curva mediante coordenadas x e y como funciones de un parámetro t, en lugar de una variable independiente. Proporciona ejemplos como una circunferencia y cómo graficar curvas dadas por ecuaciones paramétricas. También cubre conceptos como curvas planas, puntos ordinarios y representación vectorial de curvas paramétricas.

1. República Bolivariana deVenezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
Barcelona. Edo. Anzoátegui.
Carrera: Ingeniería en Electrónica.
Cátedra: Matemática III.
Ecuaciones
Paramétricas
Facilitador: Pedro Beltrán Alumno: Raynier Fuentes CI:28576009

2. Introducción
En matemáticas, una ecuación una ecuación paramétrica permite paramétrica permite representar
una representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores
arbitrarios o curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o
mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable mediante una
constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores
se desprenden los de la variable dependiente. Independiente de cuyos valores se desprenden los
de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro
de tiempo Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo(t) para
determinar la posición y la velocidad de un móvil.(t) para determinar la posición y la velocidad
de un móvil.

3. Generalidades de algebra vectorial
Las generalidades de algebra vectorial permiten habilidades motrices en su
aplicación en diferentes contextos.
Un vector en R es un arreglo ordenado de n números reales. Podemos
escribir un vector como la lista de sus componentes
Equivalente, como una columna
Podemos sumar dos vectores del mismo tamaño, y también multiplicar
vectores por números…

4. Gráficamente, la suma en R 2 se representa
Un vector tiene magnitud, dirección con sentido positivo o negativo y punto de
aplicación. Pero una cantidad vectorial puede estar completamente especificada
si solo se da su magnitud y su dirección.
Por ejemplo : Se mueve un cuerpo 45° al norte del este aplicando una fuerza
de500 Newton

5. El plano cartesiano
Es un sistema de referencia bidimensional, es decir que tiene dos variables para la ubicación de
un lugar geométrico específico. Está conformado por dos rectas perpendiculares entre sí
denominados ejes del plano, la horizontal recibe el nombre de eje “x” o abscisa, en tanto la
vertical recibe el nombre de eje “y” o ordenadas. La intersección de estos dos ejes se llama
origen (0,0), que es el centro del sistema cartesiano. Además, se numeran los cuadrantes que
tiene el plano de la siguiente manera:

6. Por ejemplo: Ubicar el par ordenado (4,5) en el
plano cartesiano. Ubicar un punto en el plano
cartesiano es como seguir un camino en un mapa,
¿cómo es eso?, fácil, si se quieres ubicar el punto
(4,5) hay que seguir 3 pasos. 1. Ubicar en el origen
2. Avanzar en un movimiento horizontal la cantidad
de veces que indica la primera coordenada, hacia la
derecha si la coordenada “x” es positiva o hacia a la
izquierda si la coordenada “x” es negativa. 3.
Finalmente, avanzar en movimiento vertical la
cantidad de veces que indica la segunda coordenada,
hacia arriba si la coordenada “y” es positiva o hacia
abajo si la coordenada “y” es negativa.
Entonces, K representa el punto (4,5).
CÓMO UBICAR UN PUNTO EL PLANO CARTESIANO
Es importante denotar que un punto representa un lugar geométrico en el plano cartesiano, está
conformado por dos variables: una en el eje “x” y otra en el eje “y”, a este punto lo llamaremos
par ordenado (x,y).

7. 1. Nos ubicamos en el punto al que aplicaremos el vector
traslación.
2. Avanzamos en un movimiento horizontal la cantidad de
veces que indica la primera coordenada, hacia la derecha
si la primera coordenada “x” es positiva o hacia a la
izquierda si la coordenada “x” es negativa.
3. Luego, avanzamos en movimiento vertical la cantidad
de veces que indica la segunda coordenada, hacia arriba
si la segunda coordenada es positiva o hacia abajo si la
segunda coordenada es negativa.
4. Entonces al aplicar el vector traslación de (-2,-4) al
punto K (4,5), el nuevo punto quedará ubicado en M
(2,1):
VECTOR EN EL PLANO CARTESIANO Un vector es una herramienta geométrica que en el
plano cartesiano generará una transformación que podrá mover objetos dentro de él hacia otros
lugares geométricos de éste.
Los vectores actúan sobre figuras o puntos, moviéndolos según las coordenadas que éste tenga.
Por ejemplo, para aplicar el vector traslación (-2,-4) sobre el punto del ejemplo anterior, debemos
seguir el siguiente procedimiento:

8. Ecuaciones paramétricas
En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o
superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de
números reales, mediante una variable , llamada parámetro, considerando cada
coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.
En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de
si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas
como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente,
con el valor de esta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los
restantes valores son sus parámetros.

9. La figura que se muestra, la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano xy. Observe que la
trayectoria no pasa la prueba de la recta vertical, de manera que no se puede describir como la gráfica
de una función de la variable x. Sin embargo, algunas veces la trayectoria se describe con un par de
ecuaciones, x = f(t) y y = g(t), donde f y g son funciones continuas. Para estudiar el movimiento, t
generalmente representa el tiempo. Ecuaciones como éstas describen curvas más generales que las
descritas por una sola función y, además de la gráfica de la trayectoria recorrida, indican la posición (x,
y) = (f(t), g(t)) de la partícula en cualquier tiempo t
La curva o trayectoria
trazada por una partícula
que se mueve en el plano
xy no siempre es la gráfica
de una función o de una
sola ecuación.
Si x y y están expresadas como funciones x = f(t), y = g(t) en un
intervalo I de valores t, entonces, el conjunto de puntos (x, y) =
(f(t), g(t)) definido por estas ecuaciones es una curva
paramétrica. Las ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la
curva.
La variable t es un parámetro de la curva y su dominio I es el
intervalo del parámetro. Si I es un intervalo cerrado, a … t … b,
el punto (f(a), g(a)) es el punto inicial de la curva, y(f(b), g(b))
es el punto final.
Cuando tenemos ecuaciones paramétricas y un intervalo para el
parámetro de la curva, se dice que hemos parametrizado la
curva. Las ecuaciones y el intervalo, en conjunto, constituyen la
parametrización de la curva. Una curva determinada puede
representarse mediante conjuntos diferentes de ecuaciones
paramétricas.

10. EJEMPLO: Dibuje la curva definida por las ecuaciones paramétricas x = t 2 , y = t + 1, -q 6 t 6 q.
Solución Elaboramos una pequeña tabla de valores
(tabla 1), graficamos los puntos (x, y) y trazamos una
curva suave que pase por ellos (figura 1) Curva representada por las
ecuaciones paramétricas x = t 2
y y = t + 1 (ejemplo)A cada valor de t corresponde un punto (x, y) sobre la
curva; por ejemplo, a t = 1 le corresponde el punto (1, 2)
registrado en la tabla 1
Si pensamos que la curva es la trayectoria de una partícula
en movimiento, entonces, la partícula se desplaza a lo largo
de la curva en la dirección de las echas que se muestran en
la figura 1
Si bien los intervalos de tiempo son iguales en la tabla, los puntos consecutivos trazados a lo
largo de la curva no están a las mismas distancias sobre el arco de la curva. La razón es que
la partícula reduce su velocidad mientras se aproxima al eje y a lo largo de la rama inferior
de la curva conforme t aumenta, y luego acelera después de alcanzar el eje y en (0, 1)
desplazándose a lo largo de la rama superior. Como el intervalo de valores para t está
compuesto por números reales, no existe un punto inicial ni uno final de la curva.

11. Curvas notables
Circunferencia
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que
Una expresión paramétrica es
Ecuación paramétrica de
la circunferencia
goniométrica. La
variable t es el ángulo y
sus puntos son: (x, y) =
(cost, sint).
que, para la cual, dependiendo del ratio a/b pueden
obtenerse formas muy diversas.
Otras curvas
La expresión paramétrica de una función permite la
construcción de una gran variedad de formas, simplemente
variando alguna constante. A continuación se describe la
función paramétrica:

12. Representación paramétrica de una curva
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de
una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro (habitualmente se considera
que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados
por n coordenadas reales), de la forma representa la i-ésima
coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para
representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t).
Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto A≤T< B le corresponda un
punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del
punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.
Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si
las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es
distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial
donde representa al vector unitario correspondiente a la coordenada -ésima. Por ejemplo, las
funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t, y = sen t. Podemos
reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma
Siendo i , j la base usual del espacio bidimensional real.

13. En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en
el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro,
en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable
dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para
determinar la posición y la velocidad de un móvil.
Definición de curva plana: Si f y g son funciones continúas de t en un intervalo I las ecuaciones: e
se denominan Ecuaciones paramétricas y t se llama parámetro. El par formado por las ecuaciones
paramétricas y su gráfica recibe el nombre de curva plana, que esta denominada por c. Supón que
un bote zarpa de un muelle. Podrías usar las coordenadas x y y para describir la ubicación del bote
en cualquier punto de su recorrido. Sin embargo, las coordenadas no indicarían cuándo el bote se
encuentra en cada ubicación. En ocasiones, dos variables no son suficientes para describir
completamente una situación de gráfica. Puedes usar las ecuaciones paramétricas para describir las
coordenadas x y y de un punto como funciones de una tercera variable, t ,que se llama el
parámetro. Por ejemplo, podrías expresar las coordenadas x y y del bote como funciones del
tiempo.

14. Tenemos una ecuación rectangular ( y su gráfica) y deseamos obtener unas
ecuaciones paramétricas. Sabemos que esta representación no es única, por lo que
existen varias soluciones posibles al problema. Si nos dan alguna indicación debemos
seguirla, si no es el caso, una posibilidad es igualar una variable(x ó y) al parámetro t y
obtener la expresión de la otra función de la anterior
Ejemplo 1. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para
representar la grafica y= 1- x 2 usando los parámetros
siguientes:
1 t= x
2. la pendiente m=dy/dx en el pinto (x,y).
Solución:
x= t
y= 1- x 2 = 1- t 2 , derivando esto resulta
m= dy/dx = -2x
x= -m/2
y= 1- x 2 = 1- (-m/2) 2 = 1+m2 /4
por lo tanto las ecuaciones paramétricas serán:
x= - m/2 y= 1+m2 /4

15. Grafique las curvas paramétricas
Solución
Puesto que x2 + y2 = cos2 t + sen2 t = 1, la curva paramétrica se encuentra en la circunferencia
unitaria x2 + y2 = 1. Conforme t aumenta de 0 a 2p, el punto (x, y) = (cos t, sen t) inicia su
recorrido en (1, 0) y traza la circunferencia completa una sola vez en sentido opuesto al de las
manecillas del reloj (figura).
Las ecuaciones x =
cos t y y = sen t
describen el
movimiento sobre la
circunferencia x2 +
y2 = 1. La flecha
indica la dirección
en la que aumenta t
Para x = a cos t, y = a sen t, 0 … t … 2p, tenemos
que x2 + y2 = a2 cos2 t + a2 sen2 t = a2 . La
parametrización describe un movimiento que
inicia en el punto (a, 0), recorre una vez la
circunferencia x2 + y2 = a2 en sentido opuesto al
de las manecillas del reloj y regresa a (a, 0) en t =
2p. La gráfica es un círculo de radio r = a con
centro en el origen y cuyos puntos tienen
coordenadas (a cos t, a sen t).

16. La posición P(x, y) de una partícula que se mueve en el plano xy está dada
por las ecuaciones y el intervalo del parámetro siguientes: x = 2t, y = t, t Ú 0.
Identifique la trayectoria trazada por la partícula y describa el movimiento.
Solución Intentamos identificar la trayectoria eliminando t de las ecuaciones
x = √t‾ y y = t.Tal vez obtengamos una relación algebraica reconocible entre
x y y. Encontramos que
Las coordenadas de la posición de la partícula satisfacen la
ecuación y = x2 ; por lo tanto, la partícula se mueve a lo largo
de la parábola y = x2 . Sin embargo, sería un error concluir que
la partícula recorre toda la parábola y = x2 en su trayectoria;
sólo recorre la mitad de la parábola. La coordenada x de la
partícula nunca es negativa. La partícula inicia en (0, 0) cuando
t = 0 y sube en el primer cuadrante conforme t aumenta
(figura). El intervalo del parámetro es [0, q) y no hay punto
final. n La gráfica de cualquier función y = f(x) se obtiene
siempre mediante una parametrización natural x = t y y = f(t).
El dominio del parámetro es, en este caso, el mismo que el
dominio de la función f.
Las ecuaciones x = √t‾ y y = t
y el intervalo t 0 describen
el movimiento de una
partícula que traza la mitad
derecha de la parábola y =
x2

17. Obtención de ecuaciones cartesianas a partir de
ecuaciones paramétricas
Los ejercicios 1 a 18 presentan ecuaciones
paramétricas e intervalos de parámetros del
movimiento de una partícula en el plano xy. Identifique
la trayectoria de la partícula determinando una
ecuación cartesiana para ello. Grafique la ecuación
cartesiana. (La gráfica variará con la ecuación
empleada). Indique la porción de la gráfica seguida por
la partícula y la dirección del movimiento.

18. Longitud de Arco
¿Cuál es la longitud de una trayectoria c(t)?
Puesto que la rapidez 2 c´(t) 2 mide la razón de cambio de la distancia recorrida con respecto
del tiempo, la distancia recorrida por un punto que se mueve sobre la curva debe ser igual a la
integral de la rapidez con respecto al tiempo sobre el intervalo [ t0 , t1 ] que dura el trayecto; es
decir, la longitud de la trayectoria, también llamada longitud de arco
Por ejemplo, supongamos que tomamos una curva en el plano o en el espacio y pegamos sobre
ella ajustadamente una cinta, contando el sobrante de manera que la cinta se superponga
exactamente sobre la curva. Si después despegamos la cinta, la enderezamos y la medimos con
una regla, es claro que obtenemos exactamente la longitud de la curva.

19. Si una curva está formada por un número finito de trozos (ver escena 1) cada uno de los
cuales tiene derivada acotada, calculamos su longitud de arco sumando las longitudes de
cada uno de los trozos. Tales curvas se denominan C1 a trozos. También se les denomina
“suaves a trozos”

20. Un círculo de radio 1 rueda alrededor de otro de radio 4
La epicicloide descrita por un punto de la circunferencia del círculo más pequeño viene
dada por:
…. x(t) = 5 cos t –cos 5t
…. y(t) = 5 sen t – sen 5t
Hallar la distancia recorrida por el punto en una vuelta completa alrededor del círculo
mayor.
Solución:
Observamos en la Escena 2 que la curva tiene puntos angulosos cuando t = 0, t = B/2, t
= B, t = 3B/2 y t = 2B .
Cuando 0 < t < B/2 dx/dt y dy/dt no se anulan simultáneamente, esto quiere decir que
en este intervalo de tiempo la curva es suave.
Calculamos la longitud de arco en este intervalo

21. Recordando las identidades trigonométricas :
cos (A – B) =cos(A)cos(B) + sen(A) sen(B)
tenemos que la integral anterior se puede representar como:
Si multiplicamos por 4 el resultado anterior obtenemos que la
distancia recorrida por el punto en una vuelta completa alrededor del
círculo mayor es 40.

22. Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos
una integral de la forma
Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma paramétrica; es decir,
cuando xxx y yyy son funciones de una nueva variable, el parámetro ttt. Para poder usar la
integral de longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y
obtenemos dxdxd, x y dydyd, y en términos de dtdtd, t.
Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el
término 𝐷𝑇2 fuera del radical.

23. La longitud de una curva parametrizado
Considera la curva parametrizado por las siguientes
ecuaciones:
Si dejamos que ttt varíe de -1.5−1.5minus, 1, point, 5 a 1.51.51,
point, 5, la curva resultante se ve así:
La longitud de arco de curvas parametrizadas es un punto de
partida natural para empezar a aprender sobre integrales de
línea, un concepto central del cálculo multivariable. Antes de
hacerlo, primero necesitamos establecer una notación más
compacta para las integrales de longitud de arco; de esta forma,
evitaremos que las cosas se hagan demasiado engorrosas.

24. Las ecuaciones paramétricas, facilitan muchas cosas en lo que es la vida cotidiana, en lo que es en la
ingeniería, y mas a un en lo que son las Geo ciencias, ya que como bien sabemos , que esta formada
por varias ramas, y en cada una influye de manera similar, para cierta determinación o localización de
algún punto o sitio.
Conclusión

25. ECUACIONES PARAMETRICAS
https://www.youtube.com/watch?v=gWz1HHNiaVQ&list=LL&index=1
https://www.youtube.com/watch?v=1x5zGY9DOdg
https://www.youtube.com/watch?v=LSsrD-gU-AE