1. Gestão de Stocks
Exercício 1 – Enunciado
Modelos determinísticos
Gestão e Teoria da Decisão
Uma empresa de construção civil mantém um stock de um dado material de construção B com que
pretende satisfazer as necessidades de diversas obras que tem em curso.
Estas necessidades rondam as 1000 unidades de B por dia e esta empresa tem vindo a adoptar como
regra de gestão, colocar encomendas deste material de forma a que estas sejam recebidas de 15 em 15
dias. Cada unidade de B custa à empresa 1.46€, e manter em stock uma unidade de B durante um ano
custa à empresa 5% do capital empregue na compra dessa unidade.
O Luís, recém-licenciado pelo IST e contratado por esta empresa, apercebeu-se de que as técnicas de
Gestão de Stocks poderiam contribuir para a melhoria da gestão do stock deste material. Analisando as
contas da empresa, ele pôde estimar que a colocação, transporte e recepção de uma encomenda de B
acarretam uma despesa fixa de 160€ independentemente da dimensão do lote.
Se estivesse no lugar do Luís, que sugestões apresentaria à empresa para melhorar a gestão do stock de
B?
Procure quantificar os benefícios que resultariam da aceitação da sugestão e explique claramente os
critérios em que se baseia e as hipóteses que admitiu.
NOTA: Considere que 1 ano equivale a 365 dias.
1

2. Gestão de Stocks
Gestão e Teoria da Decisão
Modelos determinísticos
2
Slide de aulas teóricas sobre Logística e Gestão de Stocks

3. Gestão de Stocks
Gestão e Teoria da Decisão
Modelos determinísticos
3
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4. Gestão de Stocks
Gestão e Teoria da Decisão
Modelos determinísticos
4
Slide de aulas teóricas sobre Logística e Gestão de Stocks

5. Gestão de Stocks
Gestão e Teoria da Decisão
Modelos determinísticos
5
Slide de aulas teóricas sobre Logística e Gestão de Stocks

6. Gestão de Stocks
Exercício 1 - Resolução
Modelos determinísticos
Gestão e Teoria da Decisão
Dados do problema
(1 ano = 365 dias)
Taxa de procura,
Custo de encomenda,
Custo de aquisição,
Custo de posse,
Período do ciclo,
r
A
c1
c2
T
= 1000 unidades/dia = 365000 unidades/ano
= 160€/encomenda (ciclo)
= 1.46€/unidade
= 0.05 × 1.46 €/unidade/ano
= 15 dias = 15/365 ano
Hipóteses (aproximações) do modelo de reposição instantânea e penúria/rotura não permitida
1. Taxa de procura r constante;
2. Quantidade encomendada por ciclo, Q, para reposição do nível do stock/inventário, I(t),
chega, sob a forma de um lote único, quando I(t) = 0;
3. Rotura do stock não é permitida.
4. Condição de equilíbrio dinâmico (ciclos estacionários): Tr = Q
Função critério/objectivo a minimizar: Custos totais por unidade de tempo (€/ano): K(Q)
6

7. Gestão de Stocks
Exercício 1 - Resolução
Modelos determinísticos
Gestão e Teoria da Decisão
Custos totais por ciclo (€ / ciclo)
 Q2 
Q 
Q 
Q Q
CT (Q) = A + c2  T  + c1Q = A + c2  T  + c1Q = A + c2 
 + c1Q
 + c1Q = A + c2 
2r 
2 
2 
2 r

Número de ciclos por unidade de tempo (ciclos / ano)
NCiclos =
1 r
=
T Q
I(t)
Tr = Q ⇒ T =
Ciclo 1
Q
r
Ciclo 2 ...
1
Q
r
Função objectivo : Custos totais por unidade de tempo (€ / ano)
K ( Q ) = CT (Q) × NCiclos
0
T
T
... t

 1  A
Q
A
Ar
Q 
Q
Q
Q
=  A + c2  T  + c1Q    = + c2   + c1 =
+ c2   + c1r =
+ c2   + c1r
T Q
Q
2 
2
2
2

 T  T
 
r
K (Q ) =
Ar
Q
+ c2   + c1r
Q
2
7

8. Gestão de Stocks
Exercício 1 - Resolução
Modelos determinísticos
Problema de optimização
min. K ( Q ) =
Gestão e Teoria da Decisão
Q
Ar
Q
+ c2   + c1r
Q
2
Condições suficientes para minimizador , Q* , da função K ( Q )
 dK ( Q ) 
Ar c
2 Ar
= 0 ⇒ − *2 + 2 = 0 ⇒ Q* = +


Q
2
c2
 dQ  Q =Q*
 2
2 Ar 2c
 d K (Q ) 
> 0 ⇒ *3 = *2 > 0

 dQ 2
Q
Q
 Q =Q*

Solução
2 Ar
Q*
2A
*
Q =+
, T =
=
c2
r
c2 r
*
Ar
Q*
K ( Q ) = * + c2
+ c1r
Q
2
*
=
2
A2 r 2 c2
2 Arc2
+
+ c1r =
2 Ar
4c2
= 2 Arc2 + c1r
Arc2
+
2
Arc2
Arc2
+ c1r = 2
+ c1r
2
2
8

9. Gestão de Stocks
Gestão e Teoria da Decisão
Exercício 1 - Resolução
Modelos determinísticos
Cálculos
1. Política (solução) corrente
15
T =
ano
365
15
Q =T ×r =
× 365000 = 15000 unidades/ciclo (unidades/encomenda)
365
Ar
Q
K (Q ) =
+ c2 + c1r = 537341€/ano (c1r = 532900 €/ano)
Q
2
2. Política (solução) optimal
Q* = +
2 Ar
2 × 160 × 365000
=+
= 40000 unidades/encomenda
0.05 × 1.46
c2
Q* 40000
Ar
Q*
*
T =
=
= 0.1096 ano = 40 dias, K ( Q ) = * + c2
+ c1r = 535820 €/ano
r 365000
Q
2
*
3.Melhoria ∆K
∆K = K ( Q* ) − K ( Q ) = 535820 − 537341 = − 1521 €/ano
9

10. Gestão de Stocks
Gestão e Teoria da Decisão
Exercício 2 - Enunciado
Modelos determinísticos
Considere um estaleiro de construção metálica em que existem diversos equipamentos electromecânicos
que incluem numerosos componentes de certo tipo XPTO, cujo custo unitário de aquisição é de 100 €.
Estes componentes avariam-se com alguma frequência, estimando-se que o número de unidades
avariadas semanalmente, que devem ser substituídas por outras novas, é aproximadamente constante e
igual a 10 peças.
O custo de rotura resultante de faltar um componente durante uma semana é de 150 €, enquanto o custo
de posse semanal por peça é de cerca de 10€. O custo fixo de encomenda é estimado em 500 €.
Formule o problema da gestão do stock dos componentes sobressalentes e calcule o intervalo de tempo
óptimo entre encomendas, bem como a capacidade de armazenagem necessária.
10

11. Gestão de Stocks
Exercício 2 - Resolução
Modelos determinísticos
Problema de reposição instantânea, penúria permitida.
Gestão e Teoria da Decisão
Dados do problema
Taxa de procura,
Custo de encomenda,
Custo de aquisição,
Custo de posse,
Custo de rotura,
r
A
c1
c2
c3
= 10 unidades/semana
= 500€/encomenda (ciclo)
= 100 €/unidade
= 10 €/unidade/semana
= 150 €/unidade/semana
Hipóteses (aproximações) do modelo de reposição instantânea e penúria/rotura
permitida
1. Taxa de procura r constante;
2. Quantidade encomendada por ciclo, Q, para reposição do nível do stock/inventário, I(t),
chega, sob a forma de um lote único, quando I(t) = 0;
3. Rotura do stock é permitida com máximo de S encomendas em carteira a satisfazer
imediatamente após recepção de nova encomenda.
4. Condição de equilíbrio dinâmico (ciclos estacionários): Tr = Q
Função critério/objectivo a minimizar: Custos totais por unidade de tempo (€/ano): K(Q, S)
11

12. Gestão de Stocks
Exercício 2 - Resolução
Modelos determinísticos
a) Função critério/objectivo a minimizar: Custos totais por unidade de tempo (€/semana): K(Q,S)
I(t)
Ciclo 2
1
Q-S
T2 r = S
r
T1
c
T2
0
Tr = Q
...
Q
c
Gestão e Teoria da Decisão
Ciclo 1
T1r = ( Q − S ) ⇒ T1 =
...
S
(Q − S )
r
S
r
Q
⇒T =
r
⇒ T2 =
t
T=T1+T2
1.Custo total por ciclo, CT ( Q, S )
2
 (Q − S ) 
 (Q − S ) (Q − S ) 
(Q − S ) + c S 2 + c Q
S 
S S
CT ( Q, S ) = A + c2 
T1  + c3  T2  + c1Q = A + c2 
 + c3 
3
1
 + c1Q = A + c2
r
2r
2r
2 
2 r
 2

 2

1 r
2.No. ciclos por unidade de tempo: NCiclos = =
T Q
3.Custo total por unidade de tempo, K ( Q, S )
2
2

( Q − S ) + c S 2 + c Q  r = Ar + c ( Q − S ) + c S 2 + c r
K ( Q, S ) = CT ( Q, S ) × NCiclos =  A + c2
3
1 
2
3
1


2r
2r
2Q
2Q

Q Q
12

13. Gestão de Stocks
Exercício 2 - Resolução
Modelos determinísticos
Gestão e Teoria da Decisão
Problema de gestão de stocks - Problema de optimização :
 ( Q − S )2 
Ar
S2
min. K (Q, S ) =
+ c2 
+cr
+c
Q, S
 2Q  3 2Q 1
Q


Condições suficientes para minimizador , ( Q* , S * ) , da função K ( Q, S )
 ∂CT ( Q, S ) 
2

=0
Q* − S * )

(
cAr
S *2
S*

−
∂Q
=Q
− c2
− c3 *2 + c3 * = 0
 Q=S **

S

 Q*2
Q
2Q*2
2Q

⇒

 ∂CT ( Q, S ) 
 c2Q* − ( c2 + c3 ) S *
=0
=0


−
∂S
Q =Q*
Q*
 S =S *





Hessiana definida positiva
13

14. Gestão de Stocks
Exercício 2 - Resolução
Modelos determinísticos
Gestão e Teoria da Decisão
Problema de optimização
 ( Q − S )2 
Ar
S2
min. K (Q, S ) =
+ c2 
+cr
+c
Q, S
 2Q  3 2Q 1
Q


Solução
Q* = +
2 Ar  c2 + c3 


c2  c3 
S* = +
2 Ar  c2   c2  *

 =
Q
c3  c2 + c3   c2 + c3 
Q*
Q* − S *
S*
*
*
T =
, T1 =
, T2 =
r
r
r
 ( Q* − S * )2 
*2
Ar
*
*

 + c3 S + c1r
K (Q , S ) = * + c2
 2Q*

Q
2Q*


*
14

15. Gestão de Stocks
Exercício 2 - Resolução
Modelos determinísticos
Cálculos
Gestão e Teoria da Decisão
Q* = +
2 Ar  c2 + c3 
2 × 500 × 10  10 + 150 
=



 = 32.66 unidades/encomenda (33)
c2  c3 
10
150 

S* = +
2 Ar  c2 
2 × 500 × 10  10 

=

 = 2.04 unidades em carteira/falta (máximo)/ciclo (2)
150
10 + 150 
c3  c2 + c3 

Q* 33
T =
=
= 3.3 semanas = 23 dias
r 10
 ( Q* − S * ) 2 
Ar
S *2
*
*
 + c3
K (Q , S ) = * + c2 
+ c1r
*
 2Q

Q
2Q*


*
 312 
500 × 10
22
≅
+ 10 
 + 150 + 100 × 10 =1306 € / semana
33
66
 66 
Capacidade de armazenagem: Q* − S * = 33 − 2 = 31 unidades
15

16. Gestão de Stocks
Gestão e Teoria da Decisão
Exercício 8 - Enunciado
Modelos determinísticos
A BetoNice recebe por transporte ferroviário, nas suas instalações, a areia que incorpora na sua
produção de betão, com um consumo que ronda as 300 toneladas anuais. A BetoNice foi recentemente
contactada por um novo fornecedor que lhe propôs o fornecimento de uma areia de primeira qualidade
ao preço de 300€ a tonelada.
Face a esta proposta, a Direcção Comercial decidiu avaliar os custos associados ao aprovisionamento e
manutenção de stocks de areia. Para o efeito, é já conhecido o custo fixo associado a uma encomenda
(400€), o custo anual de posse (266€ por tonelada) e os custos de transporte, de 1500€ por vagão
necessário ao transporte (cada vagão transporta um máximo de 50 toneladas de areia).
a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de
tempo entre encomendas.
b) Face a este valor, a Direcção Comercial decidiu continuar as negociações com o novo fornecedor.
Nestas, o fornecedor aceitou efectuar um desconto de 15% no preço da areia desde que fosse
encomendado um mínimo de 100 ton de cada vez. Com estas novas condições que quantidade deve ser
encomendada?
16

17. Gestão de Stocks
Exercício 8 - Resolução
Modelos determinísticos
a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas.
Gestão e Teoria da Decisão
Dados do problema
Taxa de procura,
r
= 300 ton/ano
Proposta de novo fornecedor
Custo de aquisição,
Custo de posse,
Custo fixo de encomenda,
Custo de transporte,
c1
c2
A
a
= 300 €/ton
= 266 €/ton/ano
= 400€/encomenda (ciclo)
= 1500 € /vagão, 1vagão = 50 ton.
Hipóteses (aproximações) do modelo de reposição instantânea e penúria/rotura não
permitida
1. Taxa de procura r constante;
2. Quantidade encomendada por ciclo, Q, para reposição do nível do stock/inventário, I(t),
chega, sob a forma de um lote único, quando I(t) = 0;
3. Rotura do stock não é permitida.
4. Condição de equilíbrio dinâmico (ciclos estacionários): Tr = Q
17

18. Gestão de Stocks
Exercício 8 - Resolução
Modelos determinísticos
a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas.
Gestão e Teoria da Decisão
Fixado o número, n (n=1,2,...), de vagões, o custo fixo, An, é igual a A + n × a, e a quantidade óptima
a encomendar, Qn*, é a solução do seguinte problema de optimização com variável limitada:
min.
Q
K ( Q; n ) =
An r
Q
+ c2 + c1r , onde An = A + n × a
2
Q
sujeita a :
50 ( n − 1) < Q ≤ 50n
Propriedades das funções K ( Q; n ) , vidé figura no slide seguinte :
1. K ( Q; n ) , ∀n ∈ ℕ, são funções convexas para todo o Q > 0 ( d 2 K dQ 2 > 0, ∀Q > 0);
*
2. K ( Q; n ) , ∀n ∈ ℕ, têm minimizadores globais únicos não constrangidos, Qn =
2 An r
;
c2
3. K ( Q; n1 ) < K ( Q; n2 ) , ∀Q > 0 ∧ ( n1 < n2 , n1 , n1 ∈ ℕ ) ;
*
*
*
*
4. K n1 < K n2 , ∀n1 < n2 , onde K n = K ( Qn ; n ) , o valor optimal da função K ( Q; n ) ;
*
*
*
5. K ( Q; n ) > K ( Qn ; n ) , ∀Q ≠ Qn ( por definição de minimizador global único, Qn ) .
18

19. Gestão de Stocks
Exercício 8 - Resolução
Modelos determinísticos
Gestão e Teoria da Decisão
a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas.
n=3
n=2
Minimizador constrangido : min ( Q1* ,50 )
*
Minimizadores não constrangidos : Qn =
2 ( A + na ) r
c2
n =1
0 < Q ≤ 50
50 < Q ≤ 100
100 < Q ≤ 150
19

20. Gestão de Stocks
Exercício 8 - Resolução
Modelos determinísticos
Gestão e Teoria da Decisão
a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas.
Algoritmo
Para n = 1,2,...
Resolver problema de optimização com variável limitada
min.
Q
K ( Q; n ) =
( A + n × a)r + c
Q
Q
+ c1r
2
2
sujeita a:
50 ( n − 1) < Q ≤ 50n
Solução
2( A + n × a) r
c2
*
Qn =
*
*
*
Se 50 ( n − 1) < Qn ≤ 50n, K n = K ( Qn ; n ) =
( A + n × a)r + c
*
Qn
*
Qn
+ c1r , M = n, Terminar
2
2
Senão
*
*
*
Se Qn > 50n, Qn = 50n, Senão Qn = 50 ( n − 1)
*
*
K n = K ( Qn ; n ) =
( caso Q
*
n
≤ 50 ( n − 1) ) , Fim
( A + n × a)r + c
*
Qn
*
Qn
+ c1r
2
2
Fim
Fim de Para
*
n* =arg min (K n , n = 1,2,.., M )
n
20

21. Gestão de Stocks
Exercício 8 - Resolução
Modelos determinísticos
a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas.
Cálculos
Gestão e Teoria da Decisão
n = 1, Q1* =
2( A + a) r
= 65 ton, Q1* > 50
c2
*
n = 2, Q2 =
2 ( A + 2a ) r
*
*
*
= 87 ton, 50<Q2 ≤ 100 ⇒ Q2 = 87 ton, K 2 = ( 23295 + 90000 ) € / ano, (Terminar)
c2
⇒ Q1* = 50 ton, K1* = (18050 + 90000 ) € / ano
Solução
Q1* 50 1
n = arg min ( K , n = 1, 2 ) = 1, Q = 50 ton, K = (18050 + 90000 ) € / ano, T =
=
= ano (2meses )
r 300 6
*
*
n
*
1
*
1
*
N.B. constante c1r = 90000
21

22. Gestão de Stocks
Exercício 8 - Resolução
Modelos determinísticos
Gestão e Teoria da Decisão
b) Face a este valor, a Direcção Comercial decidiu continuar as negociações com o novo fornecedor. Nestas, o fornecedor aceitou efectuar
um desconto de 15% no preço da areia desde que fosse encomendado um mínimo de 100 ton de cada vez. Com estas novas condições
que quantidade deve ser encomendada?
Novo custo de aquisição, c1 = 0.85×300 €/ton = 255 €/ton, para Q ≥ 100 ton (n ≥ 2)
Problema(s) de optimização
Para n = 2,3,...
min.
Q
K ( Q; n ) =
( A + n × a)r + c
2
Q
Q
+ c1r
2
sujeita a:
Q ≥ 100, 50 ( n − 1) ≤ Q ≤ 50n
Solução
2( A + n × a) r
c2
*
Qn =
Se Q ≥ 100, K = K ( Q ; n )
*
n
*
n
*
n
Senão Q = 100
*
n
( caso Q
*
n
( A + n × a)r + c
=
*
Qn
+ c1r , M = n, Terminar
2
2
*
Qn
< 100 ) , K = K ( Q ; n )
*
n
*
n
( A + n × a)r + c
=
*
Qn
*
Qn
+ c1r
2
2
Fim
Fim de Para
*
n* =arg min (K n , n = 1,2,.., M )
n
22

23. Gestão de Stocks
Exercício 8 - Resolução
Modelos determinísticos
Gestão e Teoria da Decisão
b) Face a este valor, a Direcção Comercial decidiu continuar as negociações com o novo fornecedor. Nestas, o fornecedor aceitou....
Constrangimentos :
n = 2 : Q ≥ 100, 50 < Q ≤ 100 ≡ Q = 100
n = 3; Q ≥ 100, 100 < Q ≤ 150 ≡ 100 < Q ≤ 150
n=3
*
Minimizador constrangido : max (100,Q2 )
n=2
*
Minimizadores não constrangidos : Qn =
100 < Q ≤ 150
2 ( A + na ) r
c2
23

24. Gestão de Stocks
Exercício 8 - Resolução
Modelos determinísticos
Gestão e Teoria da Decisão
b) Face a este valor, a Direcção Comercial decidiu continuar as negociações com o novo fornecedor.
Nestas, o fornecedor aceitou efectuar um desconto de 15% no preço da areia desde que fosse encomendado um mínimo de 100 ton de
cada vez. Com estas novas condições que quantidade deve ser encomendada?
Novo custo de aquisição, c1 = 0.85×300 €/ton = 255 €/ton, para Q ≥ 100 ton (n ≥ 2)
Cálculos
*
n = 2, Q2 =
2 ( A + 2a ) r
*
*
*
= 87 ton, Q2 < 100 ⇒ Q2 = 100 ton, K 2 = ( 23500 + 76500 ) € / ano
c2
*
n = 3, Q3 =
2 ( A + 3a ) r
*
*
*
= 105 ton, Q3 > 100 ⇒ Q3 = 105 ton, K 3 = ( 23679 + 76500 ) € / ano, (Terminar)
c2
Solução
*
*
*
n* = arg min ( K n , n = 2,3) = 2, Q2 = 100 ton, K 2 = ( 23500 + 76500 ) € / ano, T * =
*
Q2 100 1
=
= ano (4 meses)
r 300 3
N.B. constante c1r = 76500
Comparação com alínea a )
a ) c1 = 300 €/ton, Q1* = 50 ton, K1* = (18050 + 90000 ) € / ano
*
*
b) c1 = 255 €/ton, Q2 = 100 ton, K 2 = ( 23500 + 76500 ) € / ano
*
∆K = K 2 − K1* = −8050 € / ano(poupança com a solução b, desconto de 15% no custo de aquisição)
24

25. Gestão de Stocks
Modelos determinísticos
Anexo : Encomenda simultânea de dois artigos A e B
Gestão e Teoria da Decisão
Custos totais por ciclo (€ / ciclo)
Q 
Q 
CT (QA , QB ) = A + c2 A  A T  + c2 B  B T  + c1 AQA + c1BQB
 2 
 2 
Q
Q
r
T = A = B ⇒ QA = QB A
rA
rB
rB
Q r 
r
Q 
CT (QB ) = A + c2 A  B A T  + c2 B  B T  + c1 AQB A + c1BQB
rB
 2 
 2rB 
Número de ciclos por unidade de tempo (ciclos / ano)
NCiclos =
1 r
r
= = B
T Q QB
Função objectivo : Custos totais por unidade de tempo (€ / ano)
K ( QB ) = CT (QB ) × NCiclos =
=
Q r 
r
CT (QB ) A
Q 
c Q 
= + c2 A  B A  + c2 B  B  + c1 AQB A +  1B B 
T
T
rBT  T 
 2 
 2rB 
Q r 
c Q r 
ArB
r r
Q 
+ c2 A  B A  + c2 B  B  + c1 AQB A B +  1B B B 
QB
rB QB  QB 
 2 
 2rB 
K ( QB ) =
 Q 
ArB   rA 
+  c2 A   + c2 B   B  + c1 ArA + c1B rB
QB   rB 
 2 
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