educacion

1. ALREDEDOR DE LA DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE FERMAT POR
ANDREW WILES
P. Kittl
Departamento de Mecánica
Casilla 2777
Correo 21
Santiago - CHILE
Resumen
Se comentan las ampliaciones de las conjeturas usadas para la demostración del
teorema de Fermant, como la de Taniyama - Shimura y la de Langlands. Parcialmente,
estas conjeturas, fueron demostradas por Wiles al tratar el teorema de Fermant. Se dan
ejemplos simples.
Conjetura de Taniyama - Shimura (T-S) : En un trabajo anterior [1] donde explicamos
algunos elementos de la demostración del Teorema de Fermat por Wiles, ya introducimos
algo sobre la conjetura de Taniyama - Shimura (T-S). Esta conjetura dice que todas las
curvas elípticas son modulares. Una curva elíptica tiene la forma.
CxBxAxy 232
+++= (1)
donde las constantes A, B y C y las variables toman valores sobre los números reales. En
la teoría de números se buscan las soluciones racionales. La conjetura T-S es que estas
soluciones se obtienen de las funciones modulares, que en algunos casos son inversas a las
funciones elípticas [1]. Pero que en general son invariantes para una transformación del
tipo z' = az + b/cz + d, z, z' números complejos o sea que tienen dos períodos en el plano
complejo. Daremos un ejemplo de como un método geométrico puede usarse para un
problema de la teoría de números. La ecuación:
x2
+ y2
= z2
(2)
es un caso especial de la (1), puesto que si dividimos por z2
y llamando de nuevo a los
cocientes
z
y
e
z
x
ξ e ζ y se tiene:
ξ2
+ ζ 2
= 1 (3)
Si buscamos las soluciones enteras de la ecuación (2) es lo mismo que buscar las soluciones
racionales de (3). Conocemos una solución racional la (x = 1, y = o) mostraremos como de
allí se pueden deducir otras, en este caso todas las soluciones. La recta que pasa por (1,0)
tiene la ecuación (Fig. 1) :

2. Fig. 1: Toda recta que tenga pendiente racional
n
m
y que parta de un punto pitagórico, corta
al círculo x2
+ y2
= 1, en otro punto pitagórico.
η = k (ξ - 1) (4)
donde k es la pendiente. Calculemos la intersección de la recta (4) con el circulo (3),
reemplazando η de (4) en (3).
ξ2
+ k2
(ξ - 1)2
= 1 (5)
Desarrollando 5 se tiene:
ξ2
(1 + k2
) - 2 k2
ξ -1 + k2
= 0 (6)
Esta ecuación de segundo grado tiene las soluciones:
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
22
2
+
−=−=
+
−
=
+
±
+
=
k
k
k
k
k
kk
k
)(ξη
ξ
(7)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
y
),(
13
12
13
5
−CP
3
2
3
2
+−= xy
n
m
x
n
m
y +−=
22
2
nm
nm
yC
+
=
22
22
nm
nm
xC
+
−
=

3. Es fácil ver que ξ2
+ η2
= 1 y que η tiene dos signos + y -. Como k es un número racional
negativo para que η sea positivo y cociente de dos enteros n
mk −= y la solución es :
22
22
22
2
nm
nm
nm
nm
+
=
+
−
=
η
ξ
(8)
Recordando que ξ es el cociente z
x y η el z
y se tiene:
x = m2
- n2
y = 2 m n (9)
z = m2
+ n2
Las fórmulas (9) contienen todas las soluciones de la ecuación (2) expresadas como
números enteros. Toda solución de la (2) es una generadora de todas las soluciones. En el
caso de las curvas elípticas, la funciones modulares dan los generadores, pero estos no
generan todas las soluciones sino algunas de ellas. El total de las soluciones de todos los
generadores tiene todas las soluciones. En este caso especial hay infinitos generadores y
cada uno genera todas las soluciones.
Curvas elípticas: La curva (1) tiene tres raíces y por lo tanto se puede escribir.
y2
= (x-a) (x-b) (x-c) (10)
Estas raíces pueden ser reales diferentes a ≠ b ≠ c ε R a < b < c, o dos iguales o
tres iguales. Pueden ser también dos imaginarias conjugadas. En la Fig. 2, se ilustra las
formas de las ecuaciones. Para dibujarlas fácilmente se toma en cuenta que la derivada de
(10) es:
)()()(2
)()()()()()(
'
)()()()()()('2
cxbxax
cxbxcxaxbxax
y
cxbxcxaxbxaxyy
−−−±
−−+−−+−−
=
−−+−−+−−=
(11)

4. Fig. 2: Cuatro clases de curvas elípticas clasificadas de acuerdo a sus raíces. No todos los puntos son
generadores, por ejemplo, en la curva y2
= x2
(x-1), x = 2, y = 2, es una solución racional que genera
la solución trivial x=1, y=0.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
xxy )( 122
−=
cba <<
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
32
xy =
cba ==
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
)( 122
+= xxy
*,; zczba ==
0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
)( 122
−= xxy
cba <=
•
aisladoPunto

5. En estas curvas una solución puede generar otras por el método de interceptar una
tangente a la curva en un punto que es solución de la ecuación, con otra rama de la misma.
Un ejemplo sencillo se obtiene con la curva:
32
xy = (12)
ocba ===
Una solución es ,1,1 == oo yx , la tangente en ese punto vale:
2
3
1
2
3
2
3 2
1
1
2
3
+==
+=+=
−
)('
'
xy
xxy
(13)
La ecuación de la tangente que pasa por ese punto es :
( )1
2
3
1 −=− xy (14)
La interacción de la recta (14) con la 12 da :
2
32
1(
2
3
1 





−+== xxy (15)
Luego la x esta determinada por la solución a la ecuación cúbica:
0
4
1
2
3
4
9 23
=−+− xxx (16)
Una solución es
4
1
1 =x y por lo tanto
8
1
1 −=y . Los valores
4
1
1 =x ,
8
1
1 −=y son
soluciones racionales de la curva elíptica (12) generadas por la solución .1,1 == oo yx Es
fácil ver que otra solución generada por 8
1,
4
1
11 −== yx es solución si la ecuación :
0
2
1
2
3
2
9
85
2
4
3
=−+− xxx (17)

6. la tiene. Efectivamente, la ecuación (17) tiene la solución 612
3
2242
2
1
2
1
2
1
=±=±== xyyx
Así que la solución 1,1 == oo yx engendra una serie de soluciones del tipo (Fig. 3):
Fig. 3: El generador 1,1 == oo yx produce una serie de soluciones racionales
a la curva elíptica 32
xy = .
n
n
nnn
oo
yx
yx
yx
yx
32
6242
3121
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
11
)(
,
..................................
,
,
,
−
==
==
−==
==
(18)
-0.5 0 0.5 1 1.5
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
y
),( oo yx
),( 11 yx
),( 22 yx
64
1
8
1
8
1
4
1
11
22
11
==
−==
==
yx
yx
yx oo
,
,
,

7. La solución general de la ecuación (12) es:
32






±=





=
n
m
y
n
m
x , (19)
donde m y n son enteros primos entre si. La solución ,1,1 == oo yx genera una serie de
soluciones. Actualmente el único método para predecir los generadores son las funciones
modulares. Wiles demostró [2] que se puede saber si existen generadores para muchas
curvas elípticas. Ahora se supone [3] que se probó se puede saber si existen para todas.
Hay que recordar que la demostración de Wiles del Teorema de Fermat se reduce a
la existencia de soluciones a una curva elíptica y que ella no tiene generadores. Se trabaja
en el campo complejo y las representaciones son en un espacio de cuatro dimensiones. Así
que parece que la conjetura de Taniyama - Shimura fue finalmente probada y todas las
curvas elípticas tienen funciones modulares que pueden decir si tienen o no soluciones
racionales.
Conjetura de Langlands. Esta conjetura dice que entre las representaciones de Galois y
las formas automorfas (funciones automorfas) hay una correspondencia biunívoca [4, 5].
Las representaciones de Galois muestran las relaciones entre la soluciones de las
ecuaciones que estudia la teoría de los números. En la demostración del teorema de Fermat
Wiles probo parte de esta conjetura. Un cuerpo significa una estructura algebraica en la
que puede definirse dos operaciones que son isomorfas con la adición y la multiplicación
entre números reales. Estas estructuras pueden ser números racionales, números reales o
complejos, funciones como polinomios o cocientes de polinomios, campos locales como
los del tipo número m-adicional 1+ n + n2
+ ...... Primero se prueba la conjetura para
campos de funciones, luego para campos locales. Así que queda solo para el caso de los
campos numéricos.
La conjetura de Langlands proviene del problema de cómo los números pueden
representarse como suma de productos de otros. Así un problema de Fermat es dado el
número entero primo Z saber cuando puede representarse como suma de dos cuadrados. Por
ejemplo 5 = 22
+ 1, pero 7 no puede representarse como suma de dos cuadrados. Por otro
lado Fermant descubrió que los números de la forma 4 n + 1 ( n = 1,2,3,...) que son primos
pueden escribirse como suma de dos cuadrados. La serie de números primos es:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97,..... (20)
Los que son de la forma 4 n + 1 pueden representarse como la suma de dos
cuadrados, como se ve a continuación:

8. n = 1 , 4 x 1 + 1 = 5 = 22
+ 1
n = 3 , 4 x 3 + 1 = 12 + 1 = 13 = 32
+ 22
(21)
n = 7 , 4 x 7 + 1 = 28 + 1 = 29 = 52
+ 22
n = 9 , 4 x 9 + 1 = 36 + 1 = 37 = 62
+ 1
n = 10 , 4 x 10 + 1 = 40 + 1 = 41 = 52
+ 42
n = 13 , 4 x 13 + 1 = 52 + 1 = 53 = 72
+ 22
n = 15 , 4 x 15 + 1 = 60 + 1 = 61 = 62
+ 52
n = 18 , 4 x 18 + 1 = 72 + 1 = 73 = 82
+ 32
n = 22 , 4 x 22 + 1 = 88 + 1 = 89 = 82
+ 52
n = 24 = 4 x 24 + 1 = 96 + 1 = 97 = 92
+ 42
.....................
Esta propiedad es periódica en 4, porque si a cualquier número de la serie 21 se le
suma 4 la propiedad se mantiene. Esta propiedad es invariante para la traslación 4. Los
primos de la forma 4(n + 1) + 1 son suma de dos cuadrados. Otra propiedad que encontró
Fermat es que los primos de la forma 4n + 3 no son sumas de cuadrados y es también
invariante para una traslación 4. Estos problemas que dan estas propiedades con períodos,
tienen una ley probada por Emil Artin en 1927. Pero en el caso de esquemas complicados
pudieron tocarse con la conjetura de Langland que estableció una correspondencia entre las
formas automorfas y las matrices n x n (4). En su demostración del teorema de Fermat,
Wiles demostró esta conjetura para matrices 2 x 2 con números 0, 1 ó 2.
Como conclusión se puede asegurar, hoy en día, que no hay capítulo de las
matemáticas aislado del resto, teoría de números, álgebra, análisis, geometría están todos
vinculados.
Agradecimientos: A Marco Rosales, por haber realizado las figuras y leído el trabajo.

9. Bibliografía
1. Kittl, P., Nota sobre el último teorema de Fermat y su demostración por Andrew
Wiles, Ciencia al día, 2 (1999),
http://wwwciencia.cl/cienciaaldía/volumen2/número1/artículos/artículo l.html.
2. Tate, John, Rational points in eliptical curves, New York, Springer Verlag, 1992.
3. Mackenzie, Dana, Fermat's last theorem extended, Science 285(1999) 178.
4. Mackenzie, Dana, Fermat's last theorem first cousin, Science 287(2000) 792.
5. Goldstein, C, El Teorema de Fermat, Mundo Científico, # 146, 14 (1993) 416.