Teoria i activitats sobre vectors i transformacions al pla

1. Transformacions al pla
Vectors i translacions
Girs
Simetries
Composició de transformacions

2. Vectors
Un vector és un segment orientat.
Un vector ens determina una direcció, un sentit i una
distància (anomenada mòdul del vector).
La direcció la determina la
recta que conté al vector
La punta de fletxa
determina el sentit

3. Vectors
Des de l'origen al final d'un vector, es por arribar
mitjançant un segment horitzontal i un vertical, les
mides d'aquests segments, en aquest ordre, són les
coordenades del vector.

4. Vectors
Parlem de vector fix quan donem importància a les
coordenades de l'origen del vector. Si no ho fem,
parlem de vector lliure.

5. Vectors
Els dos vectors de la figura són diferents com a
vectors fixos, però com a vector lliure és el mateix.
Les seves coordenades són (4,2).

6. Vectors
Exercici: Troba les coordenades dels següents vectors:

7. Vectors
Dos vectors poden sumar-se (o restar-se) tant analítica com
gràficament.
Anaílicament: sumem (o restem) per coordenades.
Exemple:
u=(4 , 2) , v=(1 , 2) w = u + v = (4+1,2+2) = (5 , 4)
a=(-2 , 1), b=(-2 ,-2) c = a - b = (-2-(-2),1-(-2)) = (0 , 3)

8. Vectors
Gràficament:
Suma: El segon vector comença allà on acaba el primer. El
vector suma comença amb el primer i acaba amb el segon.
Resta: Els dos vectors surten del mateix punt. El vector
diferència comença allà on acaba el segon i acaba amb el
primer.

9. Vectors
Exercici: Dels següents vectors, calcula u+v, w-z i a+b-c tant
analítica com gràficament.

10. Translacions
Una translació de vector v és una transformació al
pla fa correspondre a cada punt P un punt P'=P+v

11. Translacions
Una translació conserva les distàncies i els angles,
qualsevol distància o angle de la figura original
mesura el mateix a la figura traslladada.
AB = A'B'

12. Translacions
Exercicis:
1. Calcula el vector que trasllada la figura A i la
transforma en B.
2. Copia la figura A en un full quadriculat i realitza
una translació de vector (4 , 3)

13. Girs
Un gir de centre O i radi α és una transformació al
pla que fa correspondre a cada punt P un punt P' tal
que l'angle POP'=α i OP=OP'

14. Girs
Un gir conserva les distàncies i els angles, qualsevol
distància o angle de la figura original mesura el
mateix a la figura traslladada.
AB = A'B'

15. Girs
Exercicis:
1. Calcula l'angle que transforma la figura A en B
mitjançant un gir de centre O.
2. Copia la figura B en un full quadriculat i realitza
un gir de 45 graus amb centre O.

16. Simetries
Una simetria central, donat un punt O anomenat
centre de simetria, transforma cada punt A per un
punt A' equidistant a O i tal que A, O i A' estan
alineats. Una simetria central és equivalent a un gir
de 180º.

17. Simetries
Una simetria axial, donada una recta anomenada
eix de simetria, transforma cada punt A per un punt
A' equidistant a l'eix, i de forma que el segment AA'
és perpendicular al mateix.

18. Simetries
Una simetria, ja sigui central o axial, conserva les
distàncies i els angles, qualsevol distància o angle de
la figura original mesura el mateix a la figura
traslladada.
AB = A'B'

19. Simetries
Exercicis:
Copia la figura, l'eix i el punt en un full quadriculat i
realitza una simetria axial (amb l'eix e) i una central
(amb el punt O).

20. Composició de moviments
Realitzar dues translacions successives de vectors u
i v, és equivalent a realitzar una translació de vector
u+v.

21. Composició de moviments
Realitzar dos girs successius d'angles α i β, amb el
mateix centre, és equivalent a realitzar un gir d'angle
α+β.

22. Composició de moviments
Realitzar dos simetries centrals successives amb el
mateix centre transforma cada punt en si mateix.

23. Composició de moviments
Realitzar dos simetries centrals successives amb
centre diferent és equivalent a una translació de
vector v=2(OO'), on O i O' són els centres i OO' el
vector que els uneix.

24. Composició de moviments
Realitzar dos simetries axials successives amb eixos
paral·lels és equivalent a una translació de vector
v=2u, on u és el vector trasllada un eix a l'altre.

25. Composició de moviments
Realitzar dos simetries axials successives amb eixos
secants és equivalent a un gir de centre el punt de tall
dels eixos i angle el doble del que formen els eixos.

26. Composició de moviments
A partir de combinacions de moviments al pla de
diverses figures, es poden crear mosaics o frisos.
Vegem-ne algun exemple: