Ejercicio de aplicación regla de cramer

Determinantes – Regla de Cramer
Profesor: Rafael Cortina Rodríguez
1
Ingeniero Industrial – Docente de Matemáticas
El siguiente ejercicio se presenta como una guía para resolver problemas de
tres ecuaciones con tres incógnitas, bajo el concepto de la Regla de Cramer.
EJERCICIO: Una empresa tiene una orden de producción en la que tiene que
fabricar 45 artículos de tres clases diferentes. Los costos de materiales para
esa orden de producción suman $ 145 y se discriminan así: Cada artículo tipo
A consume $ 1 en materiales, cada artículo tipo B consume $ 5 en materiales
y cada artículo tipo C consume $ 3 en materiales.
Por otra parte, los costos por mano de obra suman $ 140 y se discriminan así:
Cada artículo tipo A cuesta $ 3, cada artículo tipo B cuesta $ 2 y cada artículo
C cuesta $ 4. Hallar las cantidades de cada producto que pueden fabricar bajo
estas condiciones.
RESPUESTA:
Lo primero que se hace es identificar las posibles variables que se encuentren
en el ejercicio. Como se habla de tres clases de productos diferentes, se
puede decir que hay tres variables. Ya que al final están preguntando por las
cantidades de producto, entonces se podría decir que:
Se sabe que el número total de unidades que se deben producir es 45; siendo
así, la primera ecuación que resulta es:
Por otra parte, se hace referencia a los costos de materiales y a los costos de
mano de obra. De ahí salen dos ecuaciones más.

2
Por los costos de materiales:
Se sabe que una unidad tipo A consume $ 1 en materiales, por lo tanto el
costo total de materiales para producir todas las unidades de tipo A se
obtiene multiplicando $ 1 por el número de unidades de tipo A; o sea,
Se sabe que una unidad tipo B consume $ 5 en materiales, por lo tanto el
costo total de materiales para producir todas las unidades de tipo B se
obtiene multiplicando $ 5 por el número de unidades de tipo B; o sea,
Se sabe que una unidad tipo C consume $ 3 en materiales, por lo tanto el
costo total de materiales para producir todas las unidades de tipo C se
obtiene multiplicando $ 3 por el número de unidades de tipo C; o sea,
Si se suma todos estos valores se obtendría el valor total de los costos de
materiales que se generan al producir los tres productos diferentes,
igual a
Es decir:
Por los costos de mano de obra:
Se sabe que al producir una unidad de tipo A se generan gastos por mano de
obra equivalentes a $ 3, por lo tanto, para conocer el total de costos por
mano de obra que se generan al producir la totalidad de unidades de tipo A
solo se necesita multiplicar .
Se sabe que al producir una unidad de tipo B se generan gastos por mano de
mano de obra que se generan al producir la totalidad de unidades de tipo B

3
Se sabe que al producir una unidad de tipo C se generan gastos por mano de
mano de obra que se generan al producir la totalidad de unidades de tipo C
Si se suma todos estos valores se obtendría el valor total de los costos de
mano de obra que se generan al producir los tres productos diferentes,
igual a
Es decir:
De esta manera se ha creado un sistema de ecuaciones 3 x 3; es decir, tres
ecuaciones y tres incógnitas.
Luego de que se ha establecido el sistema de ecuaciones, este se puede
resolver por medio de la Regla de Cramer. Consiste en la resolución del
sistema de ecuaciones utilizando el concepto de matrices, creando
determinantes para el sistema de ecuaciones y para cada una de las variables
de las cuales se está buscando su valor.
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un
único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz
de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o
también por | | (Las barras no significan valor absoluto).
El determinante se resuelve de la siguiente manera:
Para el sistema de ecuaciones:
Se construye una matriz con los coeficientes de las variables del sistema de
ecuaciones.

4
| | ; Entonces el determinante del sistema quedaría así:
Para resolver el determinante se le agregan las dos primeras columnas de la
matriz, al lado derecho. También se puede agregar las dos primeras filas de la
matriz, en la parte inferior.
| |
También puede quedar así:
|
|
|
|
Para el determinante de X:
Se coloca una matriz en la que se reemplaza la primera columna, que
contenía todos los coeficientes de la variable x por otra columna que
contiene los resultados de cada ecuación.
| | Estaba así. Ahora va a quedar así:
| |Por lo tanto, el determinante quedará así:
𝑠 −
𝑠 9 − 6
𝑠 −
𝑠 6
𝑠 −
𝑠 9 − 6
𝑠 −
𝑠 6

5
| |
Para el determinante de Y:
Se coloca una matriz en la que se reemplaza la segunda columna, que
contenía todos los coeficientes de la variable Y por otra columna que
contiene los resultados de cada ecuación.
| | Por lo tanto, el determinante quedará así:
| |
𝑥 −
𝑥 9 9 − 7 7 8
𝑥 6 −
𝑥 6
𝑦 −
𝑦 8 − 8
𝑦 −
𝑦 9

6
Para el determinante de Z:
Se coloca una matriz en la que se reemplaza la tercera columna, que contenía
todos los coeficientes de la variable Z por otra columna que contiene los
resultados de cada ecuación.
| | Por lo tanto, el determinante quedará así:
| |
Finalmente, para hallar los valores de las variables e , se dividen los
valores de los determinantes de las variables entre el determinante del
sistema.
6 9
𝑧 −
𝑧 7 9 − 67 9
𝑧 −
𝑧

7
6
6
9
6
6
Este procedimiento que se acaba de poner en práctica, quiere decir
que:
Se pueden producir 10 unidades de producto tipo A, 15 unidades
de producto tipo B y 20 unidades de producto tipo C.

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