El documento presenta una serie de ejercicios sobre grafos y dígrafos, incluyendo encontrar la matriz de adyacencia y de incidencia, determinar si son conexos, regulares, completos o eulerianos, encontrar cadenas, ciclos, árboles generadores y aplicar algoritmos como el de Dijkstra.
5. c) Es conexo?. Justifique su respuesta
El grafo es un grafo conexo, dado que se pueden conseguir
cadenas con todos los vértices del grafo, es decir, todos se
comunican entre si, existe una trayectoria de cualquier vértice a
otro.
d) Es simple?. Justifique su respuesta
El grafo es simple porque no posee aristas lazo y existe solo una arista
que comunica cada par de vértices
6. e) Es regular?. Justifique su respuesta
No es grafo regular ya que sus vértices no son todos del mismo
grado, por ejemplo, v1 es de grado 5, mientras que v3 es de grado 6.
f) Es completo? Justifique su respuesta
No es grafo completo ya que no hay una arista entre cada vértice, por
ejemplo, no hay una arista con extremos en v2 y v4.
7. g) Una cadena simple no elemental de grado 6
C1= (v1, a1, v2, a3, v3, a11, v4, a14, v5, a13, v3, a7, v6)
h) Un ciclo no simple de grado 5
C2= (v3, a7, v6, a16, v5, a19, v8, a20, v6, a7,v3)
16. Seleccionamos v8 Seleccionamos v2
Así, el grafo no es euleriano, ya que queda una arista fuera de la cadena, además, mas de dos
aristas del grafo son de grado impar, lo que impide que sea un grafo euleriano
17. l) Demostrar si es hamiltoniano
El grafo es hamiltoniano al tener un ciclo hamiltoniano
20. b) Es simple?. Justifique su respuesta
Es simple ya que no tiene lazos ni arcos paralélos
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
C1 = ( v1, a1, v2, a2, v3, a8, v4, a9, v1, a6, v5)
d) Encontrar un ciclo simple
C2= (v1, a1, v2, a4, v6, a14, v5, a11, v4, a9, v1)
21. e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de
accesibilidad
Acc(D) = bin( I6 + M + M^2 + M^3 + M^4 + M^5 )
+ + + + += bin
=
Acc(D)
Acc(D)
Como la matriz accesibilidad no tiene
componentes nulos el grafo es fuertemente
conexo
22. f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el
algoritmo de Dijkstra
1) Empezamos en el vértice v2 colocando la distancia acumulada “0” seguido del vértice de donde
proviene (ninguno al ser el primero), luego se coloca el recorrido:
(distancia, vértice anterior) (recorrido)
23. f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el
algoritmo de Dijkstra
2) Calculamos las distancias a los vértices a donde se dirigen los arcos:
3) Escogemos el vértice con la menor
distancia y seguimos con el mismo
procedimiento en el vértice 5, luego con
el que tiene menor distancia (v3), (v4) y
luego ( v1)
tachamos la distancia (7,3)
(3) ya que en este nodo
existe un recorrido con
una distancia mas corta
(6,6) (2)
24. f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el
algoritmo de Dijkstra
4) Finalmente se siguen los mismos pasos en los vértices v1 y v5, pero no se agregan distancias ya que estas
son mas largas que las que ya calculamos.
Así, las mejores distancias de v2 a los otros vértices son:
d(2 a 6) = 3 recorriendo 2 6
d(2 a 4) = 4 recorriendo 2 4
d(2 a 3) = 3 recorriendo 2 3
d(2 a 5) = 6 recorriendo 2 6 5
d(2 a 1) = 8 recorriendo 2 4 1