Este documento presenta una introducción a las matrices, incluyendo definiciones de diferentes tipos de matrices (matriz cuadrada, diagonal, triangular, etc.), operaciones con matrices (suma, resta, producto por escalar, producto), y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como la descomposición LU y el método de Gauss-Jordan. El documento contiene numerosos ejemplos para ilustrar los conceptos presentados.

1. Universidad Fermín Toro
Extensión Cabudare
Matrices
Enrique Rodríguez
20927971
Saia “C”

2. Matrices
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos
en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma, es decir
una matriz un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columna.
Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la
primera es igual al elemento de la segunda que ocupa su misma posición. Es decir:
Mm,n
Ejemplo:
Existen varios tipos de matrices
Matriz columna: Es una matriz de dimensión m x 1
Ejemplo:
Matriz fila: Es una matriz de dimensión 1 x n
Ejemplo: M1,3
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene igual no
de filas que de columnas. En una
matriz cuadrada, los elementos , con forman la diagonal principal mientras

3. que se llama diagonal secundaria a los elementos , que verifican
que .
Ejemplo:
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada cuyos únicos elementos no nulos son los de la
diagonal principal.
Ejemplo:
Matriz triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos los elementos que están a
un mismo lado de la diagonal principal. Una matriz triangular puede ser de dos tipos:
Triangular superior: Si los elementos nulos están debajo de la diagonal
principal:
Ejemplo:
Triangular inferior: Si los elementos nulos están encima de la diagonal
principal:

4. Ejemplo:
Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal
son iguales.
Ejemplo:
Matriz identidad : es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal
principal son iguales a 1.
Ejemplo:
Traza de una matriz: Sea una matriz cuadrada A de orden n, se define la traza de la
matriz A y se denota por tr(A) al valor obtenido al sumar todos los elementos de la
diagonal principal, es decir
Ejemplo:
la traza(A) de determina al sumar 1+1+0=2
Matriz Traspuesta: de una matriz es la matriz que se representa como que
resulta al convertir ordenadamente las filas de A en columnas y las columnas en filas.

5. Ejemplo:
Matriz simétrica: Es toda matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es
decir, , o también,
Ejemplo:
Matriz antisimétrica: Es una matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su
traspuesta: , es decir: . Como es natural, los elementos de la
diagonal principal deben ser todos nulos.
Ejemplo:
Operaciones con matrices
Suma de matrices: Sean Mm,n dos matrices dimensión m x n. La suma de A con
B es otra matriz C también de dimensión m x n definida
por:
Ejemplo:

6. Resta o diferencia de matrices: Sean Mm,n dos matrices de la misma dimensión.
Se define la matriz como la suma de con la opuesta de . Es decir,
Producto de un escalar por una matriz: Dada una matriz A=(aij) y un número real k
R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden
que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
kA=(k aij)
Ejemplo:
Producto de matrices: Dadas las matrices A de dimensión m x n y B de dimensión n x
p se define la matriz producto C de dimensión m x p como aquella cuyo
elemento se obtiene multiplicando la i-esima fila de la matriz A por la k-esima
columna de la matriz B. Es decir:
Mm,p ; ,
Ejemplo:
Propiedades de las operaciones con matrices:
Propiedades de la suma de matrices.
Propiedad Conmutativa: Mm,n

7. Propiedad Asociativa: Mm,n
Elemento neutro de la suma: Mm,n , Mm,n: ; es
la matriz nula de orden m x n.
Elemento opuesto para la suma:
Mm,n , Mm,n : . es la matriz opuesta
de A, es decir, la matriz formada por los opuestos de los elementos de A, en el mismo
orden. A la vista de estas propiedades, podemos decir que Mm,n con la operación interna
suma tiene estructura de grupo abeliano o conmutativo.
Propiedades de producto de un escalar por una matriz
Distributiva del producto respecto de la suma de matrices.
Mm,n
Distributiva del producto respecto de la suma de no
reales.
Mm,n
Ley de asociatividad entre números y matrices.
Mm,n
Ley de neutralidad del producto externo. Mm,n
Como consecuencia de todas las propiedades que verifican la suma de matrices y el
producto por un no
real, podemos decir que: (Mm,n , +, ·R) es un espacio vectorial.
Propiedades del producto de matrices:
Propiedad asociativa:
Mm,n , Mn,p , Mp,t ,
Elemento neutro para el producto:
Mm,n , Mn,p,

8. Propiedad distributiva del producto de matrices respecto de la suma:
Mm,n , Mn,p ,
Matrices no singulares y Matrices invertibles
Una matriz cuadrada que admite matriz inversa con la operación producto se
llama Matriz regular. Si no admite matriz inversa, se llama Matriz singular
,
Operaciones elementales de matrices:
Cambiar entre si dos filas de la matriz. Se puede representar por Fi Fj siendo
Fi y Fj dos filas de la matriz, Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero, se
representa por Fi . αF, Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número real.
Las operaciones elementales de filas son de gran importancia en el estudio de
“Matrices”, ya que nos permite: Escalonar a una matriz, Reducir por filas a una matriz y
Escalonar por filas a una matriz.
Matrices particionadas:
Una matriz puede dividirse o particionarse en submatrices dibujando líneas verticales
u horizontales entre varias de sus filas o columnas, en cuyo caso la matriz se denomina
y se hace referencia a las submatrices.
Sub-matrices:
Es una matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de una matriz más
grande
Ejemplo
:
Entonces:
Descomposición LU:

9. Es posible comprender el por qué de este nombre, analizando cómo
una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra
inferior. La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la
matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver
sistemas de álgebra lineal. Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].
[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz
diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber
números 1.
Metodo de gaus jordan:
Es un algoritmo para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales,
encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de
Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro
equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El
método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.
El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una
matriz diagonal.
Ejemplo:
Supongamos que es necesario encontrar los números "x", "y", "z", que satisfacen
simultáneamente estas ecuaciones:
Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro
equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales)
son estas:
 Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
 Intercambiar de posición dos ecuaciones
 Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también
en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia
de una matriz simétrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera
ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado
es:

10. Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la
primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.
Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a
la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.
Despejando, podemos ver las soluciones:
Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en
su notación matricial:
Primero:
Después,
Por último.
Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

11. Que representa la ecuación: , es decir, que no tiene
solución.

12. Nota del alumno:
El trabajo presenta más de 6 páginas ya que como se observa los ejemplos utilizan
imágenes las cuales ocupan un espacio considerable, pero las mismas expresan bien el
tema.
Gracias por su tiempo y atención.