Números Reales

TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.1 – Clasificación de los números reales

1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS
• Los Números naturales (N) son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,....
• Los Números enteros (Z) son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,....
• Los Números fraccionarios (a/b) donde a no es múltiplo de b
• Decimales exactos: a,bc
• Decimales periódicos puros: a,bcbcbc.....
• Decimales periódicos mixtos: a,bcccc....
• Los Números racionales (Q) : incluyen los enteros y los fraccionarios
• Los Números irracionales (I) : son aquellos que no son racionales: Decimales
no periódicos Π , 2 , 7 ,...
3

1.1 – Clasificación de los números reales

1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa

1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
Se efectúa la división:

8
= 2 ⇒ Natural
4
9
= 2,25 ⇒ Decimal exacto
4
4 
= 1,3333... ≈ 1,3 ⇒ Decimal periódico puro
3
7 ˆ
= 1,16666... ≈ 1,16 ⇒ Decimal periódico mixto
6

TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas

1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa .

1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
• Números decimales exactos

Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero
N = 2,38

100N = 238 Despejar N

238 119
N= Simplificar la fracción, si es posible N=
100 50



Números decimales periódicos puros

Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el
N = 2,383838... mismo periodo

100N = 238,3838...Restarlos

Despejar N
99N = 236

236 236
99 99



Números decimales periódicos mixtos

Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puro
N = 2,3888...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con
10N = 23,888... el mismo periodo.

100N = 238,888... Restarlos

90N = 215 Despejar N

215 215
90 90

1.3 – Números aproximados

1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS
SIGNIFICATIVAS
Al expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar con
una cantidad adecuada de cifras significativas.

Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número
aproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste.

Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras
significativas recurrimos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos
es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra
significativa y si es menor que cinco la dejamos con está.


1.3 – Números aproximados

1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDO

Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.

El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición
Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición|

El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real
Error absoluto
Error relativo =
Valor Real

Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los
errores con menor o igual número de cifras significativas.

1.4 – Notación científica

1.4.1 – DEFINICIÓN
Un número puesto en notación científica consta de:
• Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las
unidades).
• El resto de cifras significativas puestas como parte decimal.
• Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.
N = a , bcd......x10 n

Si n es positivo, el número N es “grande”.
Si n es negativo, el número N es “pequeño”.


1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
• Sumas y restas: Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 para
poder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro).

• Productos y cocientes: Se multiplican (dividen) los números, por un lado y las
potencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:

10a.10 b = 10a + b 10 : 10 = 10
a b a −b

• Potencias: Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10,
teniendo en cuenta las reglas de las potencias:

(10 )
a b
= 10 a .b



1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA

- Notación científica con 3 cifras significativas:
MODE + 8 + 3
- Quitar la notación científica
MODE + 9
Parte entera

Parte decimal

Exponente de
base 10


1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD
Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños),
existen algunos prefijos:

Giga 10 9
Nano 10 −9
Mega 10 6 Micro 10 −6
Kilo 10 3
Mili 10 −3

Hecto 10 2
Centi 10 −2
Deca 10 1
Deci 10 −1

1.5 – Números no racionales

Los números no racionales se llaman irracionales y son aquellos que no se
pueden poner como cociente de dos números enteros:

2 es irracional
p es irracional, si p no es un cuadrado perfecto
n p es irracional, si p no es una potencia n - ésima
π es irracional
Los números decimales no periódicos son irracionales
En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos
números irracionales.

1.6 – Los números reales

1.6.1 - DEFINICIÓN

El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama
conjunto de números reales y se designa por R

1.6.2 – LA RECTA REAL

Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número
irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.

1.7 – Representación de números sobre la recta real

1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

1.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

2,6 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,7


1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOS
Se divide cada unidad en tantas
partes como tenga el
denominador y se toman tantas
como tenga el numerador.
1 u.
1 u.
1 u.
1 u.
1 u.

O 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5
U


1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOS
Se utiliza el teorema de
Pitágoras, donde la hipotenusa
es lo que queremos dibujar.

( 2) 2
= 12 + 12 2

2


1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

2,6 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,7

1.8 – Intervalos y semirrectas

1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS
• Intervalo abierto: (a, b) = {x∈R / a < x < b}

a b

Números comprendidos entre a y b

• Intervalo cerrado: [a, b] = {x∈R / a ≤ x ≤ b}

a b
Números comprendidos entre a y b, incluidos a y
b


1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS
• [a, b) = {x∈R / a ≤ x < b}

a b

Números comprendidos entre a y b, incluido a

• (a, b] = {x∈R / a < x ≤ b}

a b
Números comprendidos entre a y b, incluido b


1.8.3 – SEMIRRECTAS
• (∞, a) = {x∈R / x < a} Números menores que a

a
• (∞, a] = {x∈R / x ≤ a} Números menores o iguales que a

a
• (a, ∞) = {x∈R / a < x} Números mayores que a

a
• [a, ∞) = {x∈R / a ≤ x} Números mayores o iguales que a

a

1.8 – Entornos

1.8.4 – Entornos
• E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r)

a-r a+r
• E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a}

a-r a a+r
• E − (a , r ): Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a)

a-r a
• E + (a , r ) : Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r)

a a+r

1.9 – Valor absoluto de un número real

1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real, a, es el propio
número, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo.
a si a ≥ 0
a =
- a si a < 0

1.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Se
iguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera.
x − a = b  x = a + b
| x − a |= b ⇒  ⇒  ⇒ x ∈ { a − b, a + b}
 x − a = −b x = a − b
x − a = b  x = a + b
| x − a |< b ⇒  ⇒  ⇒ x ∈ ( a − b, a + b )
x − a = − b  x = a − b
x − a = b  x = a + b
| x − a |≥ b ⇒  ⇒  ⇒ x ∈ (−∞, a − b]  [a + b,+∞)
 x − a = −b  x = a − b

1.10 – Potencias

PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS

a =1
0
a .b = (a.b)
n n n

a : b = ( a : b)
n
a =a
1 n n

a .a = a
m n m+n
1 1
a =
−1
a −n
= n
a a
a :a = a
m n m−n
−n n
 a  b  bn
(a )
m n
=a m.n  
b
=  = n
a a

1.11 – Raíces

1.11.1 – DEFINICIÓN

n Índice
b= a ⇔b = a
n

radical radicando
1.11.2 – PECULIARIDADES
Si a ≥ 0 ⇒ n a existe cualquiera que sea n.
Si a < 0 ⇒ n a sólo existe si n es impar.

1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES
1 m
n
a =a n n
a =a m n

1.11 – Raíces

1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA

Raíces cuadradas :" "
180 ⇒ " " "180" " =" ⇒ 13,41640786

Potencias : " x y "
264 ⇒ "2" " x y " "64" " =" ⇒ 1,84467440719 ⇒ 1,844674407.1019

Raíces con la tecla : " x y "
2
5
483 ⇒ 483 ⇒ "483" " (" "2" ":" "5" " )" " =" ⇒ 11,84619432
2 5

Tecla " x y " o " x "
1 1
5
350 = 350 ⇒ "350" " x ""5"" =" ⇒ 3,227108809
5 y

1.12 – Propiedades y operaciones con raíces

1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

a = n a (Se puede simplificar)
np p

n
a .n b = n ab
n
a n a
=
n
b b
( a)n
p
= n ap
m n
a = m.n a

1.12 – Propiedades y operaciones con raíces

1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCES

Suma o diferencia de radicales: Tienen que ser los radicales
iguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas)

Producto o cociente de radicales: Tienen que tener el mismo
índice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común)

Racionalizar : Quitar las raíces del denominador
• Si no hay sumas: Multiplicar y dividir por la raíz adecuada, para
que se vaya la raíz del denominador.
• Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado.

1.13 – Logaritmos

1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO

Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama logaritmo en base a de P,
al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
log a P = x ⇔ a x = P
1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

log a a = 1 log a (P n ) = n. log a P
log a 1 = 0 log b P
log a P =
log a (P.Q) = log a P + log a Q log b a
log a (P / Q) = log a P − log a Q

1.13 – Logaritmos

1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOS

Logaritmo decimal o en base 10 :

log10 P = log P

Logaritmo neperiano o en base e :

log e P = ln P

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