pembuktian dari kebenaran suatu validitas pembuktian dalam logika

1. BAB III
PEMBAHASAN
A. Pembuktian dengan menggunakan Aksiomatik
1. Pembuktian Kebenaran Modus Ponens
( p → q ) ˄ p → q
≡ ┐[ ( p → q ) ˄ p] ˅ q Hukum Ekivalensi Logis Implikasi
≡ ┐[ (┐p ˅ q ) ˄ p] ˅ q Hukum Ekivalensi Logis Implikasi
≡ ┐[ (┐p ˄ p ) ˅ (q ˄ p)] ˅ q Hukum Distributif
≡ ┐[ 0 ˅ (q ˄ p)] ˅ q Hukum 11 d
≡ ┐( q ˄ p ) ˅ q Hukum 11 b
≡ ( ┐q ˅ ┐p ) ˅ q Hukum De Morgan
≡ ( ┐p ˅ ┐q ) ˅ q Hukum Komutatif
≡ ┐p ˅ (┐q ˅ q) Hukum Assosiatif
≡ ┐p ˅ 1 Hukum 11 a
≡ 1 Hukum 11 a
2. Pembuktian Kebenaran Modus Tollens
( p → q ) ˄ ┐q → ┐p
≡ ┐[ ( p → q ) ˄ ┐q] ˅ ┐p Hukum Ekivalensi Logis Implikasi
≡ ┐[ (┐p ˅ q ) ˄ ┐q] ˅ ┐p Hukum Ekivalensi Logis Implikasi
≡ ┐[ (┐p ˄ ┐q ) ˅ (q ˄ ┐q)] ˅ ┐p Hukum Distributif
≡ ┐[ (┐p ˄ ┐q ) ˅ 0 ] ˅ ┐p Hukum 11 d
≡ ┐(┐p ˄ ┐q ) ˅ ┐p Hukum 11 b
≡ (p ˅ q ) ˅ ┐p Hukum De Morgan

2. ≡ (q ˅ p ) ˅ ┐p Hukum Komutatif
≡ q ˅ (p ˅ ┐p) Hukum Assosiatif
≡ q ˅ 1 Hukum 11 a
≡ 1 Hukum 11 a
3. Pembuktian Kebenaran Silogisme Disjungtif
( p ˅ q ) ˄ ┐q → p
≡ ┐[ ( p ˅ q ) ˄ ┐q] ˅ p Hukum Ekivalensi Logis Implikasi
≡ ┐[ ( p ˄ ┐q) ˅ ( q ˄ ┐q) ] ˅ p Hukum Distributif
≡ ┐[ ( p ˄ ┐q) ˅ 0 ] ˅ p Hukum 11 d
≡ ┐ ( p ˄ ┐q) ˅ p Hukum 11 b
≡ (┐p ˅q) ˅ p Hukum De Morgan
≡ ( q ˅┐p) ˅ p Hukum Komutatif
≡ q ˅(┐p˅ p) Hukum Assosiatif
≡ q ˅1 Hukum 11 a
≡ 1 Hukum 11 c
4. Pembuktian Kebenaran Aturan Konjungsi
( p ˄ q ) → ( p ˄ q )
≡ ┐( p ˄ q ) ˅ ( p ˄ q ) Hukum Ekivalensi Logis Implikasi
≡ (┐p ˅ ┐q ) ˅ ( p ˄ q ) Hukum De Morgan
≡ ┐p ˅ (┐q ˅ ( p ˄ q )) Hukum Assosiatif
≡ ┐p ˅ ((┐q ˅ p) ˄ (┐q ˅ q )) Hukum Distributif
≡ ┐p ˅ ((┐q ˅ p) ˄ 1 ) Hukum 11 a
≡ ┐p ˅ (┐q ˅ p) Hukum 11 f

3. ≡ ┐p ˅ (p ˅ ┐q ) Hukum Komutatif
≡ (┐p ˅ p ) ˅ ┐q Hukum Assosiatif
≡ 1 ˅ ┐q Hukum 11 a
≡ 1 Hukum 11 c
5. Pembuktian Kebenaran Aturan Disjungsi
p → p ˅ q
≡ ┐p ˅ ( p ˅ q ) Hukum Ekivalensi Logis Implikasi
≡ ( ┐p ˅ p ) ˅ q Hukum Assosiatif
≡ 1 ˅ q Hukum 11 a
≡ 1 Hukum 11 c
B. Pembuktian dengan menggunakan tabel Kebenaran
1. Modus Ponen
p q p → q (p → q) ˄ p [(p → q) ˄ p] → q
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
2. Pembuktian Modus Tollens
p q P̅
q̅ p → q (p → q) ˄ q̅ [(p → q) ˄ q̅] → p̅
B B S S B S B
B S S B S S B
S B B S B S B
S S B B B B B

4. 3. Silogisme
p q r p → q q → r p → r (p → q)
˄ (q → r)
[(p → q) ˄ (q →
r)] → (p → r)
B B B B B B B B
B B S B S S S B
B S B S B B S B
B S S S B S S B
S B B B B B B B
S B S B S B S B
S S B B B B B B
S S S B B B B B
4. Silogisme Disjungtif
P q q̅ p ˅ q (p˅q) ˄ q̅ (p ˅ q) ˄ q̅ → p
B B S B S B
B S B B B B
S B S B S B
S S B S S B
5. Aturan Konjungsi
P q p ˄ q ( p ˄ q ) → ( p ˄ q )
B B B B
B S S B
S B S B
S S S B
6. Aturan Disjungsi
p q p ˅ q p → p ˅ q
B B B B
B S B B
S B B B
S S S B

5. 7. Dilema Konstruktif
P q r S p →
q
r
→
s
(p → q)
˄ (r → s)
p
˅ r
[(p → q) ˄
(r → s)] ˄
( p˅ r)
q ˅ s [[(p → q) ˄
(r → s)] ˄
( p˅ r)] →
(q ˅ s)
B B B B B B B B B B B
B B B S B S S B S B B
B B S B B B B B B B B
B B S S B B B B B B B
B S B B S B S B S B B
B S B S S S S B S S B
B S S B S B S B S B B
B S S S S B S B S S B
S B B B B B B B B B B
S B B S B S S B S B B
S B S B B B B S S B B
S B S S B B B S S B B
S S B B B B B B B B B
S S B S B S S B S S B
S S S B B B B S S B B
S S S S B B B S S S B

6. 8. Dilema Destruktif
P q R s ┐p ┐q ┐r ┐s p
→
q
r
→
s
(p → q)
˄
(r → s)
┐q
˅
┐s
[(p →
q)˄ (r
→ s)]
˄( ┐q
˅ ┐s)
┐p
˅
┐r
[[(p → q) ˄
(r → s)] ˄
(┐q ˅ ┐s)]
→
(┐p ˅ ┐r)
B B B B S S S S B B B S S S B
B B B S S S S B B S S B S S B
B B S B S S B S B B B S S B B
B B S S S S B B B B B B B B B
B S B B S B S S S B S B S S B
B S B S S B S B S S S B S S B
B S S B S B B S S B S B S B B
B S S S S B B B S B S B S B B
S B B B B S S S B B B S S B B
S B B S B S S B B S S B S B B
S B S B B S B S B B B S S B B
S B S S B S B B B B B B B B B
S S B B B B S S B B B B B B B
S S B S B B S B B S S B S B B
S S S B B B B S B B B B B B B
S S S S B B B B B B B B B B B