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いろいろな問題の解説
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Masaki Hara
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IOI2013 直前合宿にて, HotterColder, SaveIt, Parrots, Maze, Disparityの解説
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いろいろな問題の解説
1.
いろいろな問題の解説 Masaki Hara IOI2013直前合宿にて
2.
目次 • Hotter Colder
(IOI 2010) • SaveIt (IOI 2010) • Parrots (IOI 2011) • Maze (IOI 2010) • Disparity (JOI Open 2013)
3.
Hotter Colder • 1以上N以下の整数を当てたい •
1以上N以下の整数を質問する • 直前に聞いたときよりも近いか遠いかがわか る • できるだけ少ない回数で当てたい
4.
Hotter Colder • 考察 △
△ 直前に質問した位置 今回質問した位置
5.
Hotter Colder • 考察 △
● △ 直前に質問した位置 今回質問した位置 Colder
6.
Hotter Colder • 考察 △
● △ 直前に質問した位置 今回質問した位置 Same
7.
Hotter Colder • 考察 △
● △ 直前に質問した位置 今回質問した位置 Hotter
8.
Hotter Colder • 考察 Colder
Same Hotter 直前に質問した位置 今回質問した位置
9.
Hotter Colder • 考察 Colder
Same Hotter 直前に質問した位置 今回質問した位置
10.
Hotter Colder • 考察 •
大きいか小さいかがわかる • 基準: (直前のクエリ + 今回のクエリ) / 2
11.
Hotter Colder • 普通の「大きい/小さい」問題との違い
12.
Hotter Colder • 普通の「大きい/小さい」問題との違い –
思った通りの質問ができないことがある – 例1: 直前に5を質問しているときに5との大小 – 例2: 直前に5を質問しているときに1との大小
13.
Hotter Colder • 対策
14.
Hotter Colder • 対策1:
1クエリに2回質問する – こうすれば必ず好きな質問ができる • (50点)
15.
Hotter Colder • 対策2:
大きい/小さい/同じ の3値情報である ことを利用する – クエリの回数を少しだけ減らせる • (75点)
16.
Hotter Colder • 満点解法
17.
Hotter Colder • 満点解法を考える前に、小さいケースで試す
18.
Hotter Colder • 問題 –
Nが与えられたとき、質問回数を最小化しなさい – N <= 100
19.
Hotter Colder • 問題 –
Nが与えられたとき、質問回数を最小化しなさい – N <= 100 • 解答 – DP – dp[直前の質問,絞り込んだ範囲] =そこからの質問回数
20.
Hotter Colder • これを実際に実行するとわかること –
十分小さいときは、1→3→5→7の順番で質問する のが良い – それより大きいときは、𝑁 = 3 ⋅ 2 𝑛 − 1のときが一 番効率がよい
21.
Hotter Colder • 𝑁
= 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略
22.
Hotter Colder • 𝑁
= 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個
23.
Hotter Colder • 𝑁
= 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● 1回目の質問
24.
Hotter Colder • 𝑁
= 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● ● 1回目の質問 2回目の質問
25.
Hotter Colder • 𝑁
= 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● ● 1回目の質問 2回目の質問
26.
Hotter Colder • 𝑁
= 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● ● ● 1回目の質問 2回目の質問 3回目の質問
27.
Hotter Colder • 𝑁
= 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● ● ● 1回目の質問 2回目の質問 3回目の質問 両方右側に進んだ場合: 右端で2分探索 (毎回のクエリを必ず実行できる)
28.
Hotter Colder • 𝑁
= 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● ● ● 1回目の質問 2回目の質問 3回目の質問 右左の順に進んだ場合: 中央で2分探索 (毎回のクエリを必ず実行できる)
29.
Hotter Colder • 𝑁
= 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● ● 1回目の質問2回目の質問 最初に左に進んだ場合: 左端で2分探索 (2回目の結果は使わない)
30.
Hotter Colder • これによりどの場合でも均等に効率よくクエリ を消費することができる
31.
Hotter Colder • これによりどの場合でも均等に効率よくクエリ を消費することができる •
あとは、境界条件に注意しながらNが一般の 場合に拡張する(結構むずい)
32.
Hotter Colder • Hotter
Colder 教訓: 実験は大事
33.
SaveIt • グラフ中の最短経路を何セットか求めたい – 高々1000個の頂点と高々36個のハブの間の最 短経路たちを求めたい •
通信計算量を小さくしてね – 質問をそのまま送っても、答えをそのまま送って も、損失が出る
34.
SaveIt • グラフ中の最短経路を何セットか求めたい – 高々1000個の頂点と高々36個のハブの間の最 短経路たちを求めたい •
通信計算量を小さくしてね – 質問をそのまま送っても、答えをそのまま送って も、損失が出る
35.
SaveIt • 質問をそのまま送る: 25点 •
答えをそのまま送る: 50点
36.
SaveIt • 共通する構造を抜き出す • 差分をとることで情報を圧縮する •
ということから、次のように考える
37.
SaveIt • 全域木を1つ決める • ハブとの距離は、親との差分で定める
38.
SaveIt • 全域木を1つ決める • ハブとの距離は、親との差分で定める
39.
SaveIt • 全域木を1つ決める • ハブとの距離は、親との差分で定める 2 1 0 112
40.
SaveIt • 全域木を1つ決める • ハブとの距離は、親との差分で定める +1
-1 +1-10
41.
SaveIt • 全域木の情報 – ノード数1000
× ノード番号10bit = 10000bit • ハブからの距離 – ハブ数36 × ノード数1000 × 差分2bit = 72000bit
42.
SaveIt • 全域木の情報 – ノード数1000
× ノード番号10bit = 10000bit • ハブからの距離 – ハブ数35 × ノード数1000 × 差分2bit = 70000bit • 全域木を、ハブ0からのBFSで構築すると、情 報を節約できる • (75点)
43.
SaveIt • 全域木の情報 – ノード数1000
× ノード番号10bit = 10000bit • ハブからの距離 – ハブ数36 × ノード数1000 × 差分5/3bit = 60000bit • 差分は3通りなので3つまとめて5bitで送れる • (100点)
44.
Parrots • オウムに乗せてデータを送る • データの到着順はわからない
45.
Parrots • SaveItのパクリっぽい問題 • 何か良い圧縮方法がある?
46.
Parrots • SaveItのパクリっぽい問題 • 何か良い圧縮方法がある?
47.
Parrots • SaveItのパクリっぽい問題 • 何か良い圧縮方法がある?
48.
Parrots • SaveItのパクリっぽい問題 • 何か良い圧縮方法がある?
49.
Parrots • 単に番号をつければいい
50.
Parrots • 単に番号をつければいい 状況 番号 オウム0羽
0 オウム1羽(0) 1 : : オウム1羽(255) 256 オウム2羽(0,0) 257 オウム2羽(0,1) 258 : :
51.
Parrots • どのように番号をつけるか?
52.
Parrots • どのように番号をつけるか? • 前処理:
常に一定数のオウムを送るものとし て扱う(送らない分は256というデータだと考え る)
53.
Parrots • どのように番号をつけるか? • 「y未満の自然数x個からなる単調非減少列」 を考えればよい •
これは何個あるか?
54.
Parrots • どのように番号をつけるか? • 「y未満の自然数x個からなる単調非減少列」 を考えればよい •
これは何個あるか? • 実は、 𝑦 + 𝑥 𝑥 個ある
55.
Parrots • 証明 – 𝑥
= 0のとき、空の列はちょうど1通り。 – 𝑦 = 0のとき、0からなる列はちょうど1通り。 – 数列の末尾が𝑦 − 1に等しい場合の列は帰納法 の仮定より 𝑦 + 𝑥 − 1 𝑥 − 1 通り 一方、それ以外の場合の列は帰納法の仮定より 𝑦 + 𝑥 − 1 𝑥 通り なので帰納法より正しい
56.
Parrots • この証明と同じ手順で符号化・復号ができる
57.
Parrots • この証明と同じ手順で符号化・復号ができる
58.
Parrots / SaveIt •
Parrots / SaveIt 教訓: – SaveItみたいに発想力が試されるものもある – でもParrotsみたいにただ対応させるだけというも のもある
59.
Maze • 畑を切り開いて迷路を作ります • 幅優先探索したときの深さを大きくしたい •
切り開ける場所と切り開けない場所がありま す • 10問
60.
Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク
61.
Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク – 基本は局所探索
62.
Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク – 基本は局所探索 –
ランダム要素を加えて局所探索+繰り返し試行 がオススメ • 実装が簡単 • 時間をかければ多少は改善するようになる
63.
Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク – 基本は局所探索 –
ランダム要素を加えて局所探索+繰り返し試行 がオススメ – 少し工夫したいならSAっぽいことをやると良い
64.
Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク – 基本は局所探索 –
ランダム要素を加えて局所探索+繰り返し試行 がオススメ – 職人の技が光るところ • 近傍の定め方 • 評価関数の定め方 • 焼きなまし等のパラメーター
65.
Maze • 入力の傾向
66.
Maze • Field1 – むっちゃ簡単
67.
Maze • Field2,4 – 簡単そう
68.
Maze • Field2 – これはよく見るとどうやって生成したかわかる
69.
Maze • Field3,5 – 格子が入っている
70.
Maze • Field3,5 – 格子が入っている –
NP困難性の証明に使われた?
71.
Maze • Field7,8 – 小さい
72.
Maze • Field6,9 – まっしろ
73.
Maze • FieldA – おおきい
74.
Maze • FieldAの特徴: 大域的な探索をうまくする必 要があって難しい –
手でやる?
75.
Maze • FieldAの特徴: 大域的な探索をうまくする必 要があって難しい –
手でやる? – 手で大域的な解を作って局所探索をするという手 もある
76.
Maze • FieldAの特徴: 大域的な探索をうまくする必 要があって難しい –
手でやる? – 手でやる場合の注意: 斜めに進んだほうが効率 的
77.
Disparity • 有権者の数ができるだけ均等になるように小 選挙区を定めて下さい • 5問
78.
Disparity • データの傾向
79.
Disparity • データの傾向 – 01,03,05
80.
Disparity • データの傾向 – 04
81.
Disparity • データの傾向 – 04
82.
Disparity • データの傾向 – 02
83.
Disparity • 近傍の定め方 • 以下の近傍はどうか?
84.
Disparity • 近傍の定め方 • 以下の近傍はどうか? •
あんまり良くない(幅が大きすぎて微調整がき かない)
85.
Disparity • 近傍を次のようにとる 境界10個くらいを抽出 一番良い境界を探す
86.
Disparity • 評価関数の定め方:disparityそのものを評価 関数とする?
87.
Disparity • 評価関数の定め方:disparityそのものを評価 関数とする? – 最大の地域・最小の地域を動かさないと評価に 反映されない
88.
Disparity • 評価関数の定め方:disparityそのものを評価 関数とする? – 最大の地域・最小の地域を動かさないと評価に 反映されない –
例えば:分散を使うと勾配がきれいにつく
89.
まとめ • これをやれば良いという定石はあんまないっ ぽい
90.
まとめ • これをやれば良いという定石はあんまないっ ぽい • せっかくなので楽しんで
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