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いろいろな問題の解説

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IOI2013 直前合宿にて, HotterColder, SaveIt, Parrots, Maze, Disparityの解説

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いろいろな問題の解説

  1. 1. いろいろな問題の解説 Masaki Hara IOI2013直前合宿にて
  2. 2. 目次 • Hotter Colder (IOI 2010) • SaveIt (IOI 2010) • Parrots (IOI 2011) • Maze (IOI 2010) • Disparity (JOI Open 2013)
  3. 3. Hotter Colder • 1以上N以下の整数を当てたい • 1以上N以下の整数を質問する • 直前に聞いたときよりも近いか遠いかがわか る • できるだけ少ない回数で当てたい
  4. 4. Hotter Colder • 考察 △ △ 直前に質問した位置 今回質問した位置
  5. 5. Hotter Colder • 考察 △ ● △ 直前に質問した位置 今回質問した位置 Colder
  6. 6. Hotter Colder • 考察 △ ● △ 直前に質問した位置 今回質問した位置 Same
  7. 7. Hotter Colder • 考察 △ ● △ 直前に質問した位置 今回質問した位置 Hotter
  8. 8. Hotter Colder • 考察 Colder Same Hotter 直前に質問した位置 今回質問した位置
  9. 9. Hotter Colder • 考察 Colder Same Hotter 直前に質問した位置 今回質問した位置
  10. 10. Hotter Colder • 考察 • 大きいか小さいかがわかる • 基準: (直前のクエリ + 今回のクエリ) / 2
  11. 11. Hotter Colder • 普通の「大きい/小さい」問題との違い
  12. 12. Hotter Colder • 普通の「大きい/小さい」問題との違い – 思った通りの質問ができないことがある – 例1: 直前に5を質問しているときに5との大小 – 例2: 直前に5を質問しているときに1との大小
  13. 13. Hotter Colder • 対策
  14. 14. Hotter Colder • 対策1: 1クエリに2回質問する – こうすれば必ず好きな質問ができる • (50点)
  15. 15. Hotter Colder • 対策2: 大きい/小さい/同じ の3値情報である ことを利用する – クエリの回数を少しだけ減らせる • (75点)
  16. 16. Hotter Colder • 満点解法
  17. 17. Hotter Colder • 満点解法を考える前に、小さいケースで試す
  18. 18. Hotter Colder • 問題 – Nが与えられたとき、質問回数を最小化しなさい – N <= 100
  19. 19. Hotter Colder • 問題 – Nが与えられたとき、質問回数を最小化しなさい – N <= 100 • 解答 – DP – dp[直前の質問,絞り込んだ範囲] =そこからの質問回数
  20. 20. Hotter Colder • これを実際に実行するとわかること – 十分小さいときは、1→3→5→7の順番で質問する のが良い – それより大きいときは、𝑁 = 3 ⋅ 2 𝑛 − 1のときが一 番効率がよい
  21. 21. Hotter Colder • 𝑁 = 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略
  22. 22. Hotter Colder • 𝑁 = 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個
  23. 23. Hotter Colder • 𝑁 = 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● 1回目の質問
  24. 24. Hotter Colder • 𝑁 = 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● ● 1回目の質問 2回目の質問
  25. 25. Hotter Colder • 𝑁 = 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● ● 1回目の質問 2回目の質問
  26. 26. Hotter Colder • 𝑁 = 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● ● ● 1回目の質問 2回目の質問 3回目の質問
  27. 27. Hotter Colder • 𝑁 = 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● ● ● 1回目の質問 2回目の質問 3回目の質問 両方右側に進んだ場合: 右端で2分探索 (毎回のクエリを必ず実行できる)
  28. 28. Hotter Colder • 𝑁 = 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● ● ● 1回目の質問 2回目の質問 3回目の質問 右左の順に進んだ場合: 中央で2分探索 (毎回のクエリを必ず実行できる)
  29. 29. Hotter Colder • 𝑁 = 3 ⋅ 2 𝑛 − 1 の場合の戦略 23 − 1個 23 − 1個 23 − 1個 ● ● 1回目の質問2回目の質問 最初に左に進んだ場合: 左端で2分探索 (2回目の結果は使わない)
  30. 30. Hotter Colder • これによりどの場合でも均等に効率よくクエリ を消費することができる
  31. 31. Hotter Colder • これによりどの場合でも均等に効率よくクエリ を消費することができる • あとは、境界条件に注意しながらNが一般の 場合に拡張する(結構むずい)
  32. 32. Hotter Colder • Hotter Colder 教訓: 実験は大事
  33. 33. SaveIt • グラフ中の最短経路を何セットか求めたい – 高々1000個の頂点と高々36個のハブの間の最 短経路たちを求めたい • 通信計算量を小さくしてね – 質問をそのまま送っても、答えをそのまま送って も、損失が出る
  34. 34. SaveIt • グラフ中の最短経路を何セットか求めたい – 高々1000個の頂点と高々36個のハブの間の最 短経路たちを求めたい • 通信計算量を小さくしてね – 質問をそのまま送っても、答えをそのまま送って も、損失が出る
  35. 35. SaveIt • 質問をそのまま送る: 25点 • 答えをそのまま送る: 50点
  36. 36. SaveIt • 共通する構造を抜き出す • 差分をとることで情報を圧縮する • ということから、次のように考える
  37. 37. SaveIt • 全域木を1つ決める • ハブとの距離は、親との差分で定める
  38. 38. SaveIt • 全域木を1つ決める • ハブとの距離は、親との差分で定める
  39. 39. SaveIt • 全域木を1つ決める • ハブとの距離は、親との差分で定める 2 1 0 112
  40. 40. SaveIt • 全域木を1つ決める • ハブとの距離は、親との差分で定める +1 -1 +1-10
  41. 41. SaveIt • 全域木の情報 – ノード数1000 × ノード番号10bit = 10000bit • ハブからの距離 – ハブ数36 × ノード数1000 × 差分2bit = 72000bit
  42. 42. SaveIt • 全域木の情報 – ノード数1000 × ノード番号10bit = 10000bit • ハブからの距離 – ハブ数35 × ノード数1000 × 差分2bit = 70000bit • 全域木を、ハブ0からのBFSで構築すると、情 報を節約できる • (75点)
  43. 43. SaveIt • 全域木の情報 – ノード数1000 × ノード番号10bit = 10000bit • ハブからの距離 – ハブ数36 × ノード数1000 × 差分5/3bit = 60000bit • 差分は3通りなので3つまとめて5bitで送れる • (100点)
  44. 44. Parrots • オウムに乗せてデータを送る • データの到着順はわからない
  45. 45. Parrots • SaveItのパクリっぽい問題 • 何か良い圧縮方法がある?
  46. 46. Parrots • SaveItのパクリっぽい問題 • 何か良い圧縮方法がある?
  47. 47. Parrots • SaveItのパクリっぽい問題 • 何か良い圧縮方法がある?
  48. 48. Parrots • SaveItのパクリっぽい問題 • 何か良い圧縮方法がある?
  49. 49. Parrots • 単に番号をつければいい
  50. 50. Parrots • 単に番号をつければいい 状況 番号 オウム0羽 0 オウム1羽(0) 1 : : オウム1羽(255) 256 オウム2羽(0,0) 257 オウム2羽(0,1) 258 : :
  51. 51. Parrots • どのように番号をつけるか?
  52. 52. Parrots • どのように番号をつけるか? • 前処理: 常に一定数のオウムを送るものとし て扱う(送らない分は256というデータだと考え る)
  53. 53. Parrots • どのように番号をつけるか? • 「y未満の自然数x個からなる単調非減少列」 を考えればよい • これは何個あるか?
  54. 54. Parrots • どのように番号をつけるか? • 「y未満の自然数x個からなる単調非減少列」 を考えればよい • これは何個あるか? • 実は、 𝑦 + 𝑥 𝑥 個ある
  55. 55. Parrots • 証明 – 𝑥 = 0のとき、空の列はちょうど1通り。 – 𝑦 = 0のとき、0からなる列はちょうど1通り。 – 数列の末尾が𝑦 − 1に等しい場合の列は帰納法 の仮定より 𝑦 + 𝑥 − 1 𝑥 − 1 通り 一方、それ以外の場合の列は帰納法の仮定より 𝑦 + 𝑥 − 1 𝑥 通り なので帰納法より正しい
  56. 56. Parrots • この証明と同じ手順で符号化・復号ができる
  57. 57. Parrots • この証明と同じ手順で符号化・復号ができる
  58. 58. Parrots / SaveIt • Parrots / SaveIt 教訓: – SaveItみたいに発想力が試されるものもある – でもParrotsみたいにただ対応させるだけというも のもある
  59. 59. Maze • 畑を切り開いて迷路を作ります • 幅優先探索したときの深さを大きくしたい • 切り開ける場所と切り開けない場所がありま す • 10問
  60. 60. Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク
  61. 61. Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク – 基本は局所探索
  62. 62. Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク – 基本は局所探索 – ランダム要素を加えて局所探索+繰り返し試行 がオススメ • 実装が簡単 • 時間をかければ多少は改善するようになる
  63. 63. Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク – 基本は局所探索 – ランダム要素を加えて局所探索+繰り返し試行 がオススメ – 少し工夫したいならSAっぽいことをやると良い
  64. 64. Maze • 困難な最適化問題の一般的なテク – 基本は局所探索 – ランダム要素を加えて局所探索+繰り返し試行 がオススメ – 職人の技が光るところ • 近傍の定め方 • 評価関数の定め方 • 焼きなまし等のパラメーター
  65. 65. Maze • 入力の傾向
  66. 66. Maze • Field1 – むっちゃ簡単
  67. 67. Maze • Field2,4 – 簡単そう
  68. 68. Maze • Field2 – これはよく見るとどうやって生成したかわかる
  69. 69. Maze • Field3,5 – 格子が入っている
  70. 70. Maze • Field3,5 – 格子が入っている – NP困難性の証明に使われた?
  71. 71. Maze • Field7,8 – 小さい
  72. 72. Maze • Field6,9 – まっしろ
  73. 73. Maze • FieldA – おおきい
  74. 74. Maze • FieldAの特徴: 大域的な探索をうまくする必 要があって難しい – 手でやる?
  75. 75. Maze • FieldAの特徴: 大域的な探索をうまくする必 要があって難しい – 手でやる? – 手で大域的な解を作って局所探索をするという手 もある
  76. 76. Maze • FieldAの特徴: 大域的な探索をうまくする必 要があって難しい – 手でやる? – 手でやる場合の注意: 斜めに進んだほうが効率 的
  77. 77. Disparity • 有権者の数ができるだけ均等になるように小 選挙区を定めて下さい • 5問
  78. 78. Disparity • データの傾向
  79. 79. Disparity • データの傾向 – 01,03,05
  80. 80. Disparity • データの傾向 – 04
  81. 81. Disparity • データの傾向 – 04
  82. 82. Disparity • データの傾向 – 02
  83. 83. Disparity • 近傍の定め方 • 以下の近傍はどうか?
  84. 84. Disparity • 近傍の定め方 • 以下の近傍はどうか? • あんまり良くない(幅が大きすぎて微調整がき かない)
  85. 85. Disparity • 近傍を次のようにとる 境界10個くらいを抽出 一番良い境界を探す
  86. 86. Disparity • 評価関数の定め方:disparityそのものを評価 関数とする?
  87. 87. Disparity • 評価関数の定め方:disparityそのものを評価 関数とする? – 最大の地域・最小の地域を動かさないと評価に 反映されない
  88. 88. Disparity • 評価関数の定め方:disparityそのものを評価 関数とする? – 最大の地域・最小の地域を動かさないと評価に 反映されない – 例えば:分散を使うと勾配がきれいにつく
  89. 89. まとめ • これをやれば良いという定石はあんまないっ ぽい
  90. 90. まとめ • これをやれば良いという定石はあんまないっ ぽい • せっかくなので楽しんで

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