Guía N°3 de matemáticas del Preuniversitario CEPECH. Año 2012.

1. Estimado alumno:
Aquí encontrarás las claves de corrección, las habilidades y los procedimientos de
resolución asociados a cada pregunta, no obstante, para reforzar tu aprendizaje es
fundamental que asistas a la corrección mediada por tu profesor, ya que sólo en esta
instancia podrás resolver cualquier duda subyacente.
CLAVES DE CORRECCIÓN
SGUC3AMTA04003V2
GUÍA DE EJERCITACIÓN FACTORES Y PRODUCTOS
PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel
1 E Aplicación
2 C Aplicación
3 A Aplicación
4 B Aplicación
5 A Aplicación
6 E Análisis
7 D Aplicación
Aplicación
8 C GUIA DE EJERCITACIÓN
Análisis
9 B Factores y productos
10 C Evaluación
1

2. Estimado alumno:
Aquí encontrarás las claves de corrección, las habilidades y los procedimientos de
resolución asociados a cada pregunta, no obstante, para reforzar tu aprendizaje es
fundamental que asistas a la corrección mediada por tu profesor, ya que sólo en esta
instancia podrás resolver cualquier duda subyacente.
CLAVES DE CORRECCIÓN
GUÍA FACTORES Y PRODUCTOS
PREGUNTA ALTERNATIVA Nivel
1 E Comprensión
2 E Aplicación
3 C Aplicación
4 B Aplicación
5 B Análisis
6 A Aplicación
7 D Análisis
8 A Aplicación
9 C Análisis
10 D Aplicación
11 A Aplicación
12 E Análisis
13 C Aplicación
14 D Aplicación
15 A Análisis
16 D Análisis
17 B Análisis
18 C Análisis
19 B Evaluación
20 A Evaluación
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3. 1. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Comprensión
ab
Si p cajas de lápices cuestan $ (a – b), entonces cada caja de lápices cuesta $ .
p
3(a  b)
Luego, el valor de 3 cajas está representado por $ .
p
2. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
(7x – 3y)2 = (Desarrollando el cuadrado de binomio)
(7x)2 – 2 ∙ 7x ∙ 3y + (3y)2 = (Resolviendo)
49x2 – 42xy + 9y2
3. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
(8m + 5n)(8m – 5n) = (Desarrollando la suma por diferencia)
(8m)2 – (5n)2 = (Resolviendo)
64m2 – 25n2
4. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
(x + 9)(x – 11) = (Desarrollando)
x2 + (9 – 11)x + 9 ∙ – 11 = (Resolviendo)
x2 – 2x – 99
3

4. 5. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Análisis
Para un cuadrado se utilizan 4 palitos, para dos cuadrados se utilizan 7 palitos, para tres
cuadrados se utilizan 10 palitos, etc.
1 cuadrado  3n + 1 = 4 , con n = 1
2 cuadrados  3n + 1 = 7 , con n = 2
3 cuadrados  3n + 1 = 10 , con n = 3
Utilizando 55 palitos, tenemos:
 3n + 1 = 55
3n = 55 – 1
54
n=
3
n = 18
Se forman 18 cuadrados.
6. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
(4x – 1)2 – 2(9x – 6)(9x + 6) = (Desarrollando)
(4x)2 – 2 ∙ 4x ∙ 1 + 12 – 2((9x)2 – 62) = (Resolviendo)
16x2 – 8x + 1 – 2(81x2 – 36) = (Distribuyendo)
16x2 – 8x + 1 – 162x2 + 72 = (Reduciendo términos semejantes)
– 146x2 – 8x + 73
4

5. 7. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Análisis
El área del cuadrado MNOP es (3a + 3b)2 = 9a2 + 18ab + 9b2.
QN = a + b y RN = a + b, entonces el área del cuadrado interior es
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Restando las áreas, tenemos:
9a2 + 18ab + 9b2 – (a2 + 2ab + b2) = 9a2 + 18ab + 9b2 – a2 – 2ab – b2
= 8a2 + 16ab + 8b2
8. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
(3p + 3q)2 – 36pq = (Desarrollando)
(3p)2 + 2 ∙ 3p ∙ 3q + (3q)2 – 36pq = (Resolviendo)
9p2 + 18pq + 9q2 – 36pq = (Reduciendo términos semejantes)
9p2 – 18pq + 9q2 = (Factorizando)
(3p – 3q)2
9. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Análisis
Elevando al cuadrado la igualdad a – b = q, tenemos:
(a – b)2 = q2
a2 – 2ab + b2 = q2, (Reemplazando ab por r)
a2 – 2r + b2 = q2
a2 + b2 = q2 + 2r
5

6. 10. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
8k  4 8k 4
La cuarta parte de m está representada por =  = 2k – 1.
4 4 4
8k  4 8k 4
La mitad de m está representada por =  = 4k – 2.
2 2 2
Entonces:
(2k – 1) – (4k – 2) – 1 = 2k – 1 – 4k + 2 – 1 = – 2k.
11. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
x2 – 8x – 20 (Factorizando)
(x + 2)(x – 10)
Entonces, uno de los factores es (x – 10).
12. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Análisis
3x2 + 9x – 84 = (Factorizando por 3)
3(x2 + 3x – 28) = (Factorizando el paréntesis)
3(x – 4)(x + 7)
I) Verdadera.
II) Verdadera.
III) Verdadera.
6

7. 13. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
Recordar que el área del rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho.
Si el ancho de un rectángulo mide m2 cm y su área mide (m4 + m2n2) cm2, entonces:
m4  m2n 2
Largo del rectángulo = (Factorizando por m2)
m2
m 2 (m 2  n 2 )
= (Simplificando)
m2
= m + n2
2
14. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Aplicación
4n – 2m = – 5 (Factorizando)
– 2(– 2n + m) = – 5 (Despejando (m – 2n))
5
– 2n + m =
2
5
m – 2n =
2
2
Luego, 80  = (Simplificando y multiplicando)
5
32
7

8. 15. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Análisis
x2 + 10x + 25 = (Factorizando)
(x + 5)2
Luego, CF = 5 y FB = x
Como GBFI es un rectángulo de lados x y 5, entonces los lados del rectángulo GBCH,
son (x + 5) y 5, por lo tanto su área es 5(x + 5) = 5x + 25
16. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Análisis
s+t=a (Elevando al cubo)
(s + t)3 = a3
s3 + 3s2t + 3st2 + t3 = a3
s3 + 3st(s + t) + t3 = a3
17. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Análisis
1
Se pide x2 – = (Desarrollando)
y2
x2 y2 1
y2
Además:
1
x2 + = 12 (Desarrollando)
y2
x2 y2 1
= 12
y2
x4 y4 1
= 24 (Factorizando)
y4
8

9. ( x 2 y 2  1)( x 2 y 2  1)
= 24 (Descomponiendo)
y4
x2 y2 1 x2 y2 1 x2 y2 1
 = 24 (Reemplazando )
y2 y2 y2
x2 y2 1
12 ∙ = 24
y2
x 2 y 2  1 24
=
y2 12
x2 y2 1
=2
y2
18. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Análisis
Estableciendo la igualdad planteada, para formar la expresión:
3a2 – 6a – 6 = 3(a – x)2 + y (Factorizando por 3)
3(a2 – 2a – 2) = 3(a – x)2 + y (Sumando y restando 1 en el primer paréntesis)
3(a – 2a + 1 – 1 – 2) = 3(a – x)2 + y
2
3((a – 1)2 – 3) = 3(a – x)2 + y (Desarrollando)
3(a – 1)2 – 9 = 3(a – x)2 + y
Se puede establecer que x = 1 y que y = – 9, entonces (x + y) = 1 – 9 = – 8
19. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Evaluación
(1) q = 2. Con esta información y la del enunciado, no es posible determinar que la
expresión (5p + pq) es par, ya que dependemos del valor de p.
(2) p = 2. Con esta información y la del enunciado, es posible determinar que la
expresión (5p + pq) es par, ya que factorizando por p y sabiendo que su valor es 2,
establecemos que siempre es par.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
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10. 20. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática Álgebra
Habilidad Evaluación
(1) (ax + by)3 = 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3. Con esta información, es posible
determinar el valor de x e y, ya que:
(ax + by)3 = (ax)3 + 3(ax)2by + 3ax(by)2 + (by)3 (Igualando cada término)
(ax)3 = 8a3 x=2
3(ax)2by = 36a2b
3ax(by)2 = 54ab2
(by)3 = 27b3 y=3
(2) (ax + by)(ax – by) = 4a2 – 9b2. Con esta información, no es posible determinar el
valor de x e y, ya que:
(ax + by)(ax – by) = (ax)2 – (by)2 (Igualando cada término)
(ax)2 = 4a2 x=2 ox=–2
(by)2 = 9b2 y=3oy=–3
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. .
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